Автореферат (Стратификация пространств функций на комплексных кривых)

На правах рукописиБычков Борис СергеевичСтратификация пространствфункций на комплексных кривых01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чиселАвтореферат диссертациина соискание ученой степеникандидата физико-математических наукМосква — 2015Работа выполнена на факультете математики Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики».Научный руководитель:доктор физико-математических наук, Сергей Константинович Ландо,профессор факультета математики Национального исследовательскогоуниверситета «Высшая школа экономики».Официальные оппоненты:доктор физико-математических наук, Гаянэ Юрьевна Панина, ведущий научный сотрудник ФГБУН Санкт-Петербургский институт информатики и автоматизации Российской академии наук.доктор физико-математических наук, Олег Карлович Шейнман, ведущий научный сотрудник отдела геометрии и топологии математического института им В.

А. Стеклова Российской академии наук.Ведущая организация:Институт математики им. С. Л. Соболева сибирского отделения Российской академии наук, г. Новосибирск.Защита диссертация состоится 27 октября 2015 года в 16:00 на заседании диссертационного совета Д 002.077.03 при Институте проблемпередачи информации им. А.А. Харкевича РАН, расположенном по адресу: 127051, г. Москва, Большой Каретный переулок, 19, стр.

1.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Институте проблем передачи информации им. А.А. Харкевича РАН и на сайте iitp.ru.Автореферат разослан «» сентября 2015 годаУченый секретарьдиссертационного советадоктор физико-математических наукА. Н. СоболевскийОбщая характеристика работыАктуальность работыПространства мероморфных (рациональных) функций на комплексных алгебраических кривых данного рода являются фундаментальнымпредметом изучения современной математики.

Эти пространства называются пространствами Гурвица; их изучение было начато еще А. Гурвицем в конце XIX века. Они обладают комплексной структурой и разнообразными интересными топологическими и геометрическими свойствами.Для того, чтобы задать конкретное пространство Гурвица, обычнофиксируют род кривых и степень рассматриваемых на этих кривых мероморфных функций.

Также можно зафиксировать дополнительные данные, например, порядки полюсов функций, точные определения см. ниже. Общая функция в пространстве Гурвица имеет простые (морсовские)критические точки, а ее критические значения невырождены и попарно различны. Вырождения критических значений функций определяютстратификацию соответствующего пространства Гурвица.В работе с разных точек зрения и разными методами исследуютсястраты пространств Гурвица. Основные результаты касаются стратовнаибольшей коразмерности — нульмерных и одномерных, — и стратовнаименьшей коразмерности — открытых стратов.Страты наибольшей коразмерности состоят из функций с наименьшим возможным количеством критических значений, а именно, с 3 критическими значениями. Функции, образующие эти страты, называютсяфункциями Белого.

Они играют ключевую роль в современном понимании теории Галуа. Несмотря на важность функций Белого, их конкретное вычисление является технически очень сложной задачей, кругпосчитанных примеров невелик, а общие методы вычисления неразвиты.Пара алгебраическая кривая и функция на ней с тремя критическимизначениями называется парой Белого. А. Гротендик в своей программе [32] ввел понятие детский рисунок — это двумерная поверхность играф, вложенный в нее так, что дополнение гомеоморфно несвязномуобъединению открытых дисков. Прообраз отрезка, соединяющего двакритических значения мероморфной функции, — это детский рисунок.В свою очередь, для каждого детского рисунка есть реализующая егопара Белого.

Эта пара по сути дела единственна. Г. В. Белый в [9] показал, что на любой кривой, определенной над полем алгебраическихчисел есть функция с тремя критическими значениями. Детские рисунки связывают между собой алгебраическую геометрию, теорию чисел,теорию римановых поверхностей, теорию струн и др. Многие естествен1но возникающие задачи, связанные с детскими рисунками, оказываютсядостаточно трудными. Например, задачи связанные с орбитами действиягруппы Галуа. Задача построения пар Белого далека от своего полногорешения, однако есть много частичных результатов в этой области: [3],[4], [7], [8], [23], [37], [42], [43]. Наши результаты состоят в вычислениипар Белого всех шестиреберных детских рисунков рода 3 с единственнойвершиной и нетривиальной группой автоморфизмов.В свою очередь, одномерные страты состоят из функций с 4 критическими значениями. Каждый такой страт распадается в объединениекривых, на каждой из которых задана функция Белого.

Тем самым, одномерные страты в пространствах Гурвица дают конкретные примерыфункций Белого, однако их явное вычисление также является труднойзадачей. Следуя [47], мы называем детские рисунки, отвечающие функциям Белого на одномерных стратах, мегакартами. Наши результатысостоят в явном описании мегакарт для целого ряда конкретных одномерных стратов в пространствах Гурвица.Страты максимальной размерности состоят из общих функций. Основным инструментом анализа геометрии таких стратов является отображение Ляшко–Лойенги, сопоставляющее каждой функции неупорядоченный набор ее критических значений.

Степень отображения Ляшко–Лойенги это число Гурвица, и развитие способов подсчета этих чиселтакже является важной задачей.Пусть µ1 , . . . , µr — разбиения числа d, k1 , . . . , kn — еще одно разбиение:k1 + k2 + . . . + kn = d. Обобщенное число Гурвица hg;µ1 ,...,µr ;k1 ,...,kn перечисляет разветвленные накрытия X → CP 1 степени d поверхностью X родаg, такие что:− точка ∞ ∈ CP 1 имеет ровно n различных пронумерованных прообразов кратностей k1 , . . . , kn соответственно;− существует нефиксированное число точек ветвления, которые в дальнейшем будут называться простыми, кратности прообразов которых образуют разбиения 1d−2 21 .− существует ровно r пронумерованных непростых точек ветвленияс кратностями прообразов, равными частям разбиений µ1 , .

. . , µr ;Количество m простых точек ветвления определяется по формулеРимана–Гурвица:nX2 − 2g = 2d − m −(ki − 1) − K(P ),i=12где K(P ) — это сумма по всем r разбиениям µ1 , . . . , µr уменьшенных наединицу частей разбиений.Как будет видно из основного текста диссертации, числоhg;µ1 ,...,µr ;k1 ,...,kn также равно количеству разложений перестановки в произведение перестановок или количеству созвездий с определенными условиями.В случае g = r = 0 обобщенные числа Гурвица называются просточислами Гурвица h0;k1 ,...,kn .Первая формула для чисел, перечисляющих разветвленные накрытия, принадлежит Гурвицу.

Более ста лет назад в 1891 году в [34] имполучена формула для чисел h0;k1 ,...,kn :nh0;k1 ,...,kn(k1 + . . . + kn + d − 2)! Y kiki,=|Aut(k1 , . . . , kn )|k!i=1 iгде |Aut(k1 , . . . , kn )| равно произведению факториалов совпадающих частей разбиения.После этого, в целом, задача была забыта до работы Г. Вейля [46]1931 года и А. Д. Медных [16], [40] 1980-90 годов. Всплеск интереса кней случился совсем недавно — в конце XX, начале XXI века, в связи собнаружением связей задачи Гурвица с геометрией пространства модулей комплексных кривых и теорией особенностей.Коллективом авторов в работе [28] числа Гурвица hg;k1 ,...,kn были выражены через кратности ограничения так называемого отображения Ляшко–Лойенги на страты дискриминанта пополненного пространства Гурвица(здесь мы вынуждены отсылать за точными формулировками в раздел1.1 основного текста диссертации).

Пополненное пространство Гурвица,в свою очередь, является конусом над пространством модулей кривых,таким образом была получена замкнутая формула для чисел hg;k1 ,...,kn :! ZnY1 − λ1 + . . . + (−1)g λgkiki.hg;k1 ,...,kn =k!(1−kψ)·...·(1−kψ)i11nni=1Mg;nЗдесь λi — это классы Черна расслоения Ходжа голоморфных 1-формнад пространством модулей Mg;n , а ψi — это первый класс Черна расслоения Li над пространством модулей Mg;n , слой которого совпадает скокасательным пространством к кривой в i-ой отмеченной точке.В разделе 3.1, основываясь на геометрических соображениях, связанных с отображением Ляшко–Лойенги, мы получили новое доказательство замкнутой формулы для более общих чисел bσ0 (r).3Естественно, вследствие того, что замкнутые формулы для обобщенных чисел Гурвица и других чисел, перечисляющих разветвленные накрытия, получить не удавалось, появилось большое количество попыток написания разнообразных производящих рядов, перечисляющих разветвленные накрытия.

С этой точки зрения большой интерес представляет то, что получающиеся производящие функции являются решениями интегрируемых иерархий. Явно такого рода утверждение впервыебыло доказано А. Окуньковым в 2000 году в [41]: он показал, что производящая функция для двойных чисел Гурвица (так мы называем числаГурвица с двумя непростыми точками ветвления) является решениемиерархии решетки Тоды.После работы Окунькова появилось много естественных примеровкомбинаторных объектов, производящие функции которых являются решениями интегрируемых иерархий.В частности, производящим функциям, перечисляющим разветвленные накрытия, и связанным с ними интегрируемым иерархиям посвящены многочисленные работы Гульдена и Джексона, например, [31].

Ихподход состоит в том, чтобы используя рекуррентные соотношения начисла Гурвица показать, что производящая функция, их перечисляющая, удовлетворяет соотношениям Плюккера и, тем самым, является τ функцией.В разделе 3.2 мы представляем новый метод получения производящейфункции чисел bg,ν,m и ее разложения по родам.Цель работыЦель работы состоит в описании стратов пространства Гурвица мероморфных функций на комплексных кривых и вычислении чисел Гурвица. В диссертации вычислены конкретные пары Белого, соответствующие стратам размерности 0, описаны конкретные страты размерности1 — мегакарты — в пространствах Гурвица функций малых родов и малых степеней, получены новые формулы для чисел Гурвица и развитыновые методы их получения.Основные результаты диссертации1.

Вычислены все пары Белого шестиреберных детских рисунков рода3 с единственной вершиной и нетривиальной группой автоморфизмов.2. Получены комбинаторные описания детских рисунков, отвечающих мегакартам функций небольших степеней на кривых малыхродов.43. Получено новое доказательство частного случая формулы для чисел Буске-Мелу–Шеффера.Научная новизнаРезультаты глав 2 и 3.1 являются новыми. В главе 3.2 получен новый эффективный метод получения производящих рядов, перечисляющих числа Гурвица.Основные методы исследованияВ диссертации используются различные комбинаторные, алгебраические и алгебро-геометрические методы.Теоретическая и практическая ценностьДиссертация имеет теоретический характер.

Полученные в диссертации результаты могут представлять интерес для специалистов в областиалгебраической геометрии, комбинаторики, теории графов.Апробация работыРезультаты диссертации докладывались на следующих научно-исследовательских семинарах:− Семинар «Характеристические классы и теория пересечений» подруководством д.ф.-м.н. профессора С. К. Ландо и д.ф.-м.н. профессора М. Э. Казаряна (НИУ ВШЭ, 2011-2014 гг., неоднократно).− Семинар «Графы на поверхностях и алгебраические кривые над конечными полями» под руководством д.ф.-м.н.