Автореферат (О некоторых операциях между теориями когомологий алгебраических многообразий)
Описание файла
Файл "Автореферат" внутри архива находится в папке "О некоторых операциях между теориями когомологий алгебраических многообразий". PDF-файл из архива "О некоторых операциях между теориями когомологий алгебраических многообразий", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физико-математические науки" из Аспирантура и докторантура, которые можно найти в файловом архиве НИУ ВШЭ. Не смотря на прямую связь этого архива с НИУ ВШЭ, его также можно найти и в других разделах. , а ещё этот архив представляет собой кандидатскую диссертацию, поэтому ещё представлен в разделе всех диссертаций на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
Федеральное государственное автономноеобразовательное учреждение высшего образования«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ«ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ»Íà ïðàâàõ ðóêîïèñèСЕЧИН Павел АндреевичО некоторых операциях междутеориями когомологий алгебраических многообразий01.01.06 Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà, àëãåáðà è òåîðèÿ ÷èñåëÀÂÒÎÐÅÔÅÐÀÒäèññåðòàöèè íà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíèêàíäèäàòà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêМосква — 2017Ðàáîòà âûïîëíåíà â ôåäåðàëüíîì ãîñóäàðñòâåííîì àâòîíîìíîì îáðàçîâàòåëüíîì ó÷ðåæäåíèè âûñøåãî îáðàçîâàíèÿ ¾Íàöèîíàëüíûé èññëåäîâàòåëüñêèé óíèâåðñèòåò ¾Âûñøàÿ øêîëà ýêîíîìèêè¿.Íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü:Марат Зефирович РовинскийÎôèöèàëüíûå îïïîíåíòû:Бондарко Михаил Владимирович,äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêäîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê,ôåäåðàëüíîå ãîñóäàðñòâåííîå áþäæåòíîåîáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèåâûñøåãî îáðàçîâàíèÿ¾Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûéóíèâåðñèòåò¿, ïðîôåññîðЯгунов Сергей Алексеевич,äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê,ôåäåðàëüíîå ãîñóäàðñòâåííîå áþäæåòíîåó÷ðåæäåíèå íàóêè Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîåîòäåëåíèå Ìàòåìàòè÷åñêîãî èíñòèòóòàèì.
Â.À.Ñòåêëîâà ÐÀÍ,ñòàðøèé íàó÷íûé ñîòðóäíèêÂåäóùàÿ îðãàíèçàöèÿ:ôåäåðàëüíîå ãîñóäàðñòâåííîåáþäæåòíîå ó÷ðåæäåíèå íàóêèÌàòåìàòè÷åñêèé èíñòèòóòèì. Â.À. Ñòåêëîâà ÐÀÍÇàùèòà äèññåðòàöèè ñîñòîèòñÿ "08" èþíÿ 2017 ã. â 11 ÷àñîâ íà çàñåäàíèèäèññåðòàöèîííîãî ñîâåòà Ä 212.048.19, ñîçäàííîãî íà áàçå ôåäåðàëüíîãî ãîñóäàðñòâåííîãî àâòîíîìíîãî îáðàçîâàòåëüíîãî ó÷ðåæäåíèÿ âûñøåãî îáðàçîâàíèÿ ¾Íàöèîíàëüíûé èññëåäîâàòåëüñêèé óíèâåðñèòåò ¾Âûñøàÿ øêîëà ýêîíîìèêè¿ ïî àäðåñó: 123458, Ìîñêâà, óë. Óñà÷¼âà, ä.
6, ê. 306.Ñ äèññåðòàöèåé ìîæíî îçíàêîìèòüñÿ â áèáëèîòåêå Íàöèîíàëüíîãî èññëåäîâàòåëüñêîãî óíèâåðñèòåòà ¾Âûñøàÿ øêîëà ýêîíîìèêè¿ ïî àäðåñó: 101000,Ìîñêâà, óë. Ìÿñíèöêàÿ, ä.20, è íà ñàéòå http://www.hse.ru/sci/diss/.Àâòîðåôåðàò ðàçîñëàí "Ó÷åíûé ñåêðåòàðüäèññåðòàöèîííîãî ñîâåòàÄ 212.048.19, ê.ô-ì.í., äîö."2017 ã.Ëåîíèä Ãðèãîðüåâè÷ Ðûáíèêîâ2Общая характеристика работыАктуальность темы исследованияÊîãîìîëîãèè àëãåáðàè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèé ýòî îäíè èç íàèáîëåå ðàçðàáîòàííûõ è íàèáîëåå äîñòóïíûõ äëÿ âû÷èñëåíèé èíâàðèàíòîâ â àëãåáðàè÷åñêîéãåîìåòðèè. Ïîäõîäÿùèå èíâàðèàíòû ñîäåðæàò èíôîðìàöèþ î òîïîëîãèè è ãåîìåòðèè ìíîãîîáðàçèé, à òàêæå îá èõ "àðèôìåòèêå", â îñîáåííîñòè â ñëó÷àå,åñëè îñíîâíîå ïîëå íå ÿâëÿåòñÿ àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòûì.Ïåðâûå òåîðèè êîãîìîëîãèé (ñèíãóëÿðíûå, ñèìïëèöèàëüíûå, Áåòòè) ïîÿâèëèñü â êîíöå 19 íà÷àëå 20 âåêà êàê èíâàðèàíòû òîïîëîãè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèé.
Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ñî âðåìåíåì èõ îáîáùåíèå ðàçâèâàëîñü â äâóõíàïðàâëåíèÿõ.Âî-ïåðâûõ, Ýéëåíáåðãîì è Ñòèíðîäîì áûëè ñôîðìóëèðîâàíû1 àêñèîìûîáîù¼ííîé òåîðèè êîãîìîëîãèé, êîòîðûå ïîçäíåå ïðèâåëè ê èçó÷åíèþ ñòàáèëüíîé òåîðèè ãîìîòîïèé2 . Êàæäàÿ îáîáù¼ííàÿ òåîðèÿ êîãîìîëîãèé ïðåäñòàâèìà îáúåêòîì ãîìîòîïè÷åñêîé êàòåãîðèè ñïåêòðîâ, áëàãîäàðÿ ÷åìó èçó÷åíèå ðàçëè÷íûõ ñòðóêòóð íà ýòèõ òåîðèÿõ è (ñòàáèëüíûõ) îïåðàöèé ìåæäóíèìè ìîæåò áûòü âûïîëíåíî ïðè ïîìîùè èçó÷åíèÿ ýòèõ îáúåêòîâ. Íàïðèìåð,ñèíãóëÿðíûå êîãîìîëîãèè ïðåäñòàâëåíû ñïåêòðîì Ýéëåíáåðãà-Ìàêëåéíà, àêîìïëåêñíàÿ Ê-òåîðèÿ ïðåäñòàâëåíà äåêàðòîâûì ïðîèçâåäåíèåì êëàññèôèöèðóþùåãî ïðîñòðàíñòâà áåñêîíå÷íîé óíèòàðíîé ãðóïïû è äèñêðåòíîãî ìíîæåñòâà èç ñ÷¼òíîãî ÷èñëà òî÷åê ( × Z)2 .Äëÿ èçó÷åíèÿ îáîáù¼ííûõ òåîðèé êîãîìîëîãèé çà÷àñòóþ ïðèõîäèòñÿ îãðàíè÷èâàòü èõ êëàññ, ïîñêîëüêó ñâîéñòâà ïðîèçâîëüíîãî ñïåêòðà (íàïðèìåð,ñïåêòðà ñôåð) ìîãóò áûòü óñòðîåíû íåâåðîÿòíî ñëîæíî.
Êëàññ îðèåíòèðóåìûõ îáîáù¼ííûõ òåîðèé êîãîìîëîãèé ÿâëÿåòñÿ äîñòóïíûì äëÿ âû÷èñëåíèéè ñîñòîèò èç òàêèõ òåîðèé, â êîòîðûõ, ãðóáî ãîâîðÿ, ñîãëàñîâàííî âûáðàíèçîìîðôèçì Òîìà äëÿ âñåõ âåêòîðíûõ ðàññëîåíèé. Óíèâåðñàëüíîé îðèåíòèðóåìîé òåîðèåé êîãîìîëîãèé ÿâëÿþòñÿ êîìïëåêñíûå êîáîðäèçìû, à äðóãèìèïðèìåðàìè ÿâëÿþòñÿ êîìïëåêñíàÿ Ê-òåîðèÿ, êîãîìîëîãèè Áðàóíà-Ïåòåðñîíàè Ê-òåîðèè Ìîðàâû3 .Âî-âòîðûõ, â ïðèìåíåíèè ê àëãåáðàè÷åñêèì ìíîãîîáðàçèÿì òåîðèè êîãîìîëîãèé íà÷àëè îáðåòàòü íåêîòîðóþ "æ¼ñòêîñòü" è ñòàëè ñîäåðæàòü íå òîëüêîèíôîðìàöèþ î òîïîëîãè÷åñêîì òèïå ñîîòâåòñòâóþùåãî ìíîãîîáðàçèÿ, íî è îåãî ãåîìåòðèè.
ßðêèì ïðèìåðîì òàêîãî îáîáùåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå ñòðóêòóðû Õîäæà (÷èñòîé, èçâåñòíîé òàêæå êàê êîãîìîëîãèè Õîäæà, è ñìåøàííîé),êîòîðîå, íàïðèìåð, ïîçâîëÿåò ðàçëè÷àòü ìåæäó ñîáîé ýëëèïòè÷åñêèå êðèâûåíàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè (õîòÿ âñå ýëëèïòè÷åñêèå êðèâûå ãîìåîìîðôíûìåæäó ñîáîé). Ïîìèìî êîãîìîëîãèé Õîäæà ïîÿâèëèñü òàêæå àëãåáðàè÷åñêèåêîãîìîëîãèè äå Ðàìà, ýòàëüíûå (èëè -àäè÷åñêèå) êîãîìîëîãèè, êðèñòàëëè÷åñêèå (èëè êðèñòàëüíûå) êîãîìîëîãèè. Ïîèñê "óíèâåðñàëüíîé" òåîðèè êîãîìî1 EilenbergS., Steenrod N. E. Axiomatic approach to homology theory //Proceedings of theNational Academy of Sciences.
– 1945. – Т. 31. – №. 4. – С. 117-120.2 Adams J. F., Adams J. F. Stable homotopy and generalised homology. – University ofChicago press, 1995.3 Quillen D. Elementary proofs of some results of cobordism theory using Steenrod operations//Advances in Mathematics. – 1971. – Т. 7. – №. 1.
– С. 29-56.3ëîãèé, ïîëó÷èâøåé íàçâàíèå ìîòèâîâ, êîòîðûé áûë íà÷àò À. Ãðîòåíäèêîì â60-õ ãîäàõ, íà äàííûé ìîìåíò äàë¼ê îò óñïåøíîãî çàâåðøåíèÿ.Íà÷èíàÿ ñ ñåðåäèíû 90-õ ãîäîâ, ñ ïîÿâëåíèåì ìîòèâíîé òåîðèè ãîìîòîïèé àëãåáðàè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèé, ðàçðàáîòàííîé Â.
Âîåâîäñêèì è Ô. Ìîðåëåì4 , â àëãåáðàè÷åñêîé ãåîìåòðèè ïîÿâèëèñü òàêæå àíàëîãè îðèåíòèðóåìûõòåîðèé êîãîìîëîãèé, â ÷àñòíîñòè, àíàëîã êîìïëåêñíûõ êîáîðäèçìîâ, ïîëó÷èâøèé íàçâàíèå àëãåáðàè÷åñêèõ êîáîðäèçìîâ Âîåâîäñêîãî.  2000-õ Ì. Ëåâèíüè Ô. Ìîðåëü ñìîãëè ïîñòðîèòü áîëåå ìåíåå ÿâíóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ ìîäåëüäëÿ "÷èñòîé ÷àñòè" àëãåáðàè÷åñêèõ êîáîðäèçîâ Âîåâîäñêîãî, ïîëó÷èâøåé íàçâàíèå àëãåáðàè÷åñêèõ êîáîðäèçìîâ Ëåâèíà-Ìîðåëÿ5 . Àíàëîãè âñåâîçìîæíûõîðèåíòèðóåìûõ òåîðèé, ñóùåñòâóþùèõ â òîïîëîãèè, ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû èçêîáîðäèçìîâ Ëåâèíà-Ìîðåëÿ çàìåíîé êîýôôèöèåíòîâ, çàäàâàåìîé âûáîðîìôîðìàëüíîãî ãðóïïîâîãî çàêîíà íàä ïðîèçâîëüíûì êîììóòàòèâíûì êîëüöîì.Ðàçëè÷íûå òåîðèè òàêîãî òèïà óæå ïîëó÷èëè ïðèìåíåíèå ê èçó÷åíèþ ãåîìåòðèè êâàäðèê6 , ñåìåéñòâ êâàäðèê7 , ê îáîáùåíèþ ôîðìóë ñòåïåíè Ðîñòà8 , áûëèîáíàðóæåíû ñâÿçè êîáîðäèçìîâ ñ èíâàðèàíòàìè Ãðîìîâà-Âèòòåíà9 .Äëÿ èçó÷åíèÿ ñâÿçåé ìåæäó òåîðèÿìè êîãîìîëîãèé èñïîëüçóþòñÿ îïåðàöèè, ïðè÷¼ì ïîëåçíûìè îêàçûâàþò äàæå îïåðàöèè èç òåîðèè êîãîìîëîãèé âñåáÿ.
Ñ îäíîé ñòîðîíû, åñëè íåêîòîðûå èíâàðèàíòû ìîãóò áûòü âû÷èñëåíûïðîñòî äëÿ íåêîòîðîãî ìíîãîîáðàçèÿ, òî îïåðàöèè ïîçâîëÿþò ñòðîèòü ýëåìåíòû â äðóãèõ òåîðèÿõ êîãîìîëîãèé, êîòîðûå ïîñòðîèòü äðóãèì ñïîñîáîì ìîæåòáûòü äîñòàòî÷íî ñëîæíî. Íàïðèìåð, êëàññû ×åðíà âåêòîðíûõ ðàññëîåíèé ïîçâîëÿþò ñòðîèòü ýëåìåíòû â ãðóïïàõ ×æîó ìíîãîîáðàçèé, Ê-òåîðèÿ êîòîðûõâû÷èñëåíà (êàê, íàïðèìåð, ó îäíîðîäíûõ ïðîñòðàíñòâ).  ÷àñòíîñòè, ãàììàôèëüòðàöèÿ íà Ê-òåîðèè ïîçâîëÿåò ýôôåêòèâíî îöåíèâàòü êðó÷åíèå â ïåðâûõíåñêîëüêèõ ãðóïïàõ ×æîó (äî êîðàçìåðíîñòè , åñëè èçó÷àåòñÿ -êðó÷åíèå)10 .Ñ äðóãîé ñòîðîíû, îïåðàöèè (â òîì ÷èñëå, è ýíäî-îïåðàöèè) íå ìîãóò ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì äåéñòâîâàòü íà êîãîìîëîãèÿõ è äîëæíû ñîõðàíÿòü ìíîãèå äîïîëíèòåëüíûå ñòðóêòóðû. Îêàçûâàåòñÿ, äàæå òàêîå ïðîñòîå íàáëþäåíèåïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü äîïîëíèòåëüíûå ñâåäåíèÿ î êîãîìîëîãè÷åñêèõ èíâàðèàíòàõ â íåêîòîðûõ ñèòóàöèÿõ. ïåðâîé ÷àñòè äàííîé ðàáîòû èçó÷àåòñÿ ïîâåäåíèå äåéñòâèÿ àëãåáðû äèôôåðåíöèðîâàíèé êîìïëåêñíûõ ÷èñåë íà ñòðóêòóðàõ Õîäæà, ÿâëÿþùèõñÿ ïîñëåäîâàòåëüíûìè ðàñøèðåíèÿìè ñòðóêòóð Òåéòà (ò.í.
ñòðóêòóð Õîäæà-Òåéòà). ãåîìåòðèè ýòè îïåðàöèè áîëåå èçâåñòíû êàê àáñîëþòíàÿ ñâÿçíîñòü ÃàóññàÌàíèíà. Îäíàêî, Ì. Ðîâèíñêèé ïðåäëîæèë íåêîòîðóþ êîíñòðóêöèþ ýòèõ îïå4 MorelF., Voevodsky V. A 1-homotopy theory of schemes //Publications mathématiques del’IHÉS.
– 1999. – Т. 90. – №. 1. – С. 45-143.5 Levine M., Morel F. Algebraic cobordism. – Springer Science & Business Media, 2007.6 Vishik A. Generic points of quadrics and Chow groups //manuscripta mathematica. – 2007.– Т. 122. – №. 3. – С. 365-374.7 Panin I. Rationally isotropic quadratic spaces are locally isotropic //Inventionesmathematicae. – 2009. – Т. 176. – №.
2. – С. 397-403.8 Levine M. Steenrod operations, degree formulas and algebraic cobordism //Pure andApplied Mathematics Quarterly. – 2007. – Т. 3. – №. 1. – С. 283-306.9 Levine M., Pandharipande R. Algebraic cobordism revisited //Inventiones mathematicae.– 2009. – Т. 176. – №. 1. – С. 63-130.10 Karpenko N. A. Codimension 2 cycles on Severi–Brauer varieties //K-theory. – 1998.
– Т.13. – №. 4. – С. 305-330.4ðàöèé íà âñåõ ñòðóêòóðàõ Õîäæà-Òåéòà11 (â òîì ÷èñëå òåõ, êîòîðûå íå ÿâëÿþòñÿ êîãîìîëîãèÿìè àëãåáðàè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèé) è äîêàçàë, ÷òî îíà åäèíñòâåííà ïðè åñòåñòâåííûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ.Èçâåñòíàÿ îáîáù¼ííàÿ ãèïîòåçà Õîäæà óòâåðæäàåò, ÷òî àáåëåâà êàòåãîðèÿ ìîòèâîâ íàä C ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé ïîäêàòåãîðèåé â êàòåãîðèè ñòðóêòóðÕîäæà, îòêóäà, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî íà ñòðóêòóðå Õîäæà, ÿâëÿþùåéñÿêîãîìîëîãèÿìè íåêîòîðîãî àëãåáðàè÷åñêîãî ìíîãîîáðàçèÿ, ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ àáñîëþòíàÿ ñâÿçíîñòü Ãàóññà-Ìàíèíà.
Èç ãåîìåòðè÷åñêèõ ñâîéñòâýòîé ñâÿçíîñòè ñëåäóåò, ÷òî îíà äîëæíà áûòü ïëîñêîé, èëè, äðóãèìè ñëîâàìè, ÷òî äåéñòâèå àëãåáðû äèôôåðåíöèðîâàíèé ÿâëÿåòñÿ äåéñòâèåì àëãåáðûËè. Ìû ñòðîèì íåêîòîðóþ ïîäêàòåãîðèþ â êàòåãîðèè ñòðóêòóð Õîäæà-Òåéòà,ñîñòîÿùóþ èç "ïëîñêèõ" îáúåêòîâ, è, òàêèì îáðàçîì, ãèïîòåòè÷åñêè ñîäåðæàùóþ âñå ñòðóêòóðû Õîäæà, ïðèõîäÿùèå èç ãåîìåòðèè. Ïîëó÷èâøàÿñÿ êàòåãîðèÿ ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðûì ïðèáëèæåíèåì ê ãèïîòåòè÷åñêîé êàòåãîðèè ìîòèâîâÒåéòà íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè, è ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê èíòåðåñíûéòåñòîâûé ïðèìåð.Âî âòîðîé ÷àñòè äàííîé ðàáîòû èçó÷àþòñÿ îïåðàöèè èç àëãåáðàè÷åñêèõ Êòåîðèé Ìîðàâû â ãðóïïû ×æîó è äðóãèå îðèåíòèðîâàííûå òåîðèè. Ê-òåîðèèÌîðàâû (ïàðàìåòðèçóåìûå ïðîñòûì ÷èñëîì è íàòóðàëüíûì ÷èñëîì ) ÿâëÿþòñÿ çàãàäî÷íûìè îáîáùåíèÿìè Ê-òåîðèè Ãðîòåíäèêà, îäíàêî, íå îáëàäàþùèìè íà äàííûé ìîìåíò ÿâíîé ãåîìåòðè÷åñêîé êîíñòðóêöèåé.
