Автореферат (Числа Бетти и трианалитические подмногообразия гиперкэлеровых многообразий), страница 2

Доклад “Connections on nilmanifolds”, Geometric structures on manifoldsand their applications, Marburg, Germany, 1-7.07.2012.2. Доклад “On the dynamics of codimension one holomorphic foliations withample normal bundle”, Workshop on complex geometry and foliations, dedicatedto the memory of Marco Brunella, September 17-21, 2012.3. Доклад “Связности на нильмногообразиях”, Летняя школа-конферен­ция по проблемам алгебраической геометрии и комплексного анализа, Яро­славль, 20-25.05.2013.4. Доклад “The second Betti number of hyperkähler manifolds”, The School“Carnival Differential Geometry” (Torino), 24-27.02.2014.5.

Доклад “The inequalities involving the Betti numbers of hyperkahlermanifolds”, Геометрическая теория управления и анализ на метрическихструктурах, 3-8.08.2014.6. Постер “Inequalities with Betti and Hodge numbers for hyperkaehlermanifolds”, British Algebraic Geometry meeting (BrAG) (Warwick),19-21.09.2014.7. Постер “Trianalytic subvarities in hyperkahler manifolds”,Hyperbolicity-2015, Ilhabela, Brazil, 5-15.01.2015.8. Доклад “Absolutely trianalytic tori in the generalized Kummer variety”,Conference “Hyperkahler Saturday”, Moscow, Russia, 23.05.2015.9. Доклад “Absolutely trianalytic tori in the generalized Kummer variety”,V школа-конференция по алгебраической геометрии и комплексному анализудля молодых математиков России, 17-22.08.2015.10.

Доклад “The second Betti number of hyperkahler manifolds”, Conference“Workshop on almost hermitian and contact geometry”, Bedlewo, Poland,18.10.-24.10.2015.11. Постер “Cohomology and subvarieties of hyperkähler manifolds”, BrAG,Edinburgh, 13-17 April, 2016.12. Доклады “Inequalities involving Betti numbers of hyperkähler manifolds”and “Trianalytic subvarities”, miniPAGES Semester, Warsaw, May, 2016.13.

Доклад “Ограничения на когомологии гиперкэлеровых многообра­зий”, VI Международная конференция по алгебраической геометрии, ком­плексному анализу и компьютерной алгебре, Коряжма, 03-09.08.2016.7ПубликацииРезультаты диссертации опубликованы в 5 работах (в т.ч. 2 – в изданиях,входящих в перечень ВАК), список которых приведен в конце автореферата.Структура и объём диссертацииДиссертация состоит из четырёх глав и списка литературы. Полный объ­ем диссертации – 78 страниц, список литературы состоит из 75 наименований.Краткое содержание работы— введение. В ней формулируются основные вопросы,изучаемые в этой работе, даётся общий обзор хода доказательства, обознача­ются перспективы дальнейших исследований, вводятся используемые обозна­чения.Во второй главе приведены необходимые определения и предваритель­ные сведения о гиперкэлеровых многообразиях и их когомологиях, абсолютнотрианалитических подмногоообразиях, инвариантах Розанского-Виттена.Третья глава диссертации посвящена ограничениям на числа Беттигиперкэлеровых многообразий.В размерности четыре ограничения на числа Бетти удалось получитьГуану в [5, 6].

Важной задачей является получение ограничений на числаБетти в больших размерностях.В данной диссертации исследуется задача, как можно обобщить теоремуГуана на размерность шесть и выше. На данный вопрос даётся следующийответ:Первая главаТеорема.Пусть – шестимерное гиперкэлерово многообразие. Тогда37195 23 2,2 3822 − 10302 + 757297 + 3 − 4 − + ℎ 6.22222 + 1(1)Доказательство этой теоремы основано на инвариантах Розанского-Вит­тена ([7]), при этом результат Гуана также оказывается следствием нера­венств на инварианты Розанского-Виттена:8Пусть – неприводимое гиперкэлеровое многообразие комплекс­ной размерности 2. ТогдаЛемма.− Θ ≤ (2 + 2( − 1))Θ−2 Θ2 .(2)Доказанное неравенство вместе с недавними результатами Сейвона [27]позволяет получить ограничения на числа Бетти многообразия О’Грэди,а также доказать конечность числа возможных наборов чисел Бетти длягиперкэлеровых многообразий в размерности шесть для некоторых значений2 ≤ 23.

В частности, для фиксированного 2 = 23 у нас имеется конечноечисло возможностей. При этом актуальным остаётся вопрос, могут ли бытьдеформационно неэквивалентные схеме Гильберта многообразия с 2 = 23.мы изучаем абсолютно трианалитические торы вобобщённом многообразии Куммера.Рассмотрим гиперкэлеровое многообразие (, , , ).

Любое триана­литическое подмногообразие гиперкэлерового многообразия → имеет̃︀ в ; эта иммерсия в общей точкегладкую гиперкэлерову нормализацию биективна на образ. Тем самым, естественным является вопрос, какие абсо­лютно трианалитические подмногообразия могут содержаться в известныхпримерах простых гиперкэлеровых многообразий.Вербицкий доказал, что любая деформация схемы Гильберта 3 поверх­ности не содержит комплексных подмногообразий [17].

Аналогичное утвер­ждение предполагалось Калединым и Вербицким и в случае обообщённой по­верхности Куммера [1]. Однако, затем они ([29]) обнаружили контрпример,действительно, рассмотрим инволюцию : → −, действующую на торе.Эта инволюция может быть продолжена до инволюции схемы Гильберта то­ра [+1] , и, так как она коммутирует с отображением Альбанезе [+1] −→ ,то сохраняет обобщённое многообразие Куммера ( ). Замыкание множе­ства пар неподвижных точек деформационно эквивалентно схеме Гильберта.Случай многообразий О’Грэди рассмотрен в [4].В четвёртой главе[4] Пусть является гиперкэлеровым многообразием макси­мальной голономии, – гиперкэлеров тор, и → гиперкэлерова им­мерсия с абсолютно трианалитическим образом.

ТогдаТеорема.dimC ( ) > 292 ( )−1)2,где 2 ( ) – второе число Бетти.Это позволяет доказать, что в многообразиях О’Грэди нет абсолютнотрианалитических торов. Также из соображений размерности вторых кого­мологий следует отсутствие известных простых гиперкэлеровых многообра­зий в качестве абсолютно трианалитических подмногообразий многообразияО’Грэди 10 [4].Согласно следующей теореме [30] трианалитические многообразия свя­заны с теорией калибраций.Пусть (, , , , ) – гиперкэлерово многообразие, , , 2 (2 +2 +)соответствующие симплектические формы и Θ :=стан­дартная (2)-инвариантная 4-форма, нормированная константой =∑︀ (!)2−. Тогда Θ калибрация и её грани это -мерные кватер­=1 (!)2 (2)!4Теорема.нионные подпространства . Кроме того, форма Ξ :=калибрация с теми же гранями.2 (2 +)2(!) 4такжеПодмногообразия, калибруемые формой Θ называются трианалити­ческими подмногообразиями.В настоящей диссертации исследуется вопрос наличия абсолютно три­аналитических торов в многообразии Куммера.

Выясняется, что таких торовтам нет(Основная теорема). Пусть ( ) – обобщённое многообразиеКуммера, и ⊂ ( ) абсолютно трианалитическое многообразие. Тогда не является тором.ТеоремаВместе с результатами предыдущих исследователей она позволяет ска­зать, что в известных примерах гиперкэлеровых многообразий нет абсолют­но трианалитических торов. Таким образом, в этой части классификациязавершена. Если рассматривать только известные деформационные типы ги­перкэлеровых многообразий, то открытым остаётся вопрос существованияабсолютно трианалитических подмногообразий деформационного типа 10в обобщённом многообразии Куммера, а также схем Гильберта точек на3 в многообразии О’Грэди 6 .Для доказательства основного результата мы рассматриваем образ ()трианалитического тора в симметрической степени тора (общего) и соответ­ствующий прообраз −1 (()) в .10> () < −1 (())> ∨> () <∨ []∨ ,где [] – схема Гильберта точек тора, () – симметрическая степеньтора, отображение это отображение Гильберта-Чжоу, отображение фак­торизации → () , и квадрат декартов.Было доказано, что отображения : −1 (()) → () и : → ()конечны в общей точке, для второго отображения это следует из результатовКаледина о разрешении симплектических особенностей [31].

Поскольку отоб­ражения и конечности, то, в частности, абсолютно трианалитический тор и прозвольная компонента в −1 (()) изогенны.Пусть ⊂ [] – абсолютно трианалитический тор вобобщённом многообразии Куммера. Рассмотрим диаграммуПредложение 2.˜<>−1(())><()где ˜ – расслоенное произведение и −1 (()). Тогда и любая ком­понента −1 (()) изогенные торы.Из этого предложения следует, что группа Пикара любой неприводимойкомпоненты −1 (()) равна 0. Далее, используя теорию калибраций, былиподсчитаны симплектический и кэлеров объёмы для исходного тора и дляподтора −1 (()) в . Отношения этих объёмов из-за гиперкэлерового усло­вия должны быть равны, однако, в нашем случае, это оказывается не так, чтоприводит к противоречию.БлагодарностиАвтор выражает благодарность своему научному руководителю М.

Вер­бицкому, без внимания и неоценимой помощи которого эта диссертация не11могла быть написана. Также автор выражает благодарность за обсуждениярезультатов работы Ф. Богомолову, С. Галкину, В. Жгуну, Д. Каледину, А.Солдатенкову.Работа была выполнена при поддержке Лаборатории АлгебраическойГеометрии и ее приложений НИУ-ВШЭ в рамках государственной поддерж­ки ведущих университетов Российской Федерации “5-100” и гранта прави­тельства РФ дог. 11.G34.31.0023, гранта РНФ (соглашение 14-21-00052 от11.08.14). Автор поддержан грантом Фонда Саймонса (2013), грантом “Моло­дая математика России” (2016) и грантом МК-1297.2014.1 (соисполнитель).Также автор признателен всем близким и друзьям за поддержку во вре­мя работы над диссертацией.12Список публикаций автора по теме диссертации[Ku1] Курносов Н.М., “О неравенстве для чисел Бетти гиперкэлеровых многоообразийразмерности шесть” // Матем.

Заметки, 99:2 (2016), 309–313. An inequality forBetti numbers of hyper-Kähler manifolds of dimension 6 // Mathematical Notes., 99, 1,pp. 330-334, 2016.[Ku2] Kurnosov N., Absolutely trianalytic tori in the generalized Kummer variety, Advancesin Mathematics, 298, 6, pp. 473-483, 2016.[Ku3] Kurnosov N., Boundness of 2 for hyperkähler manifolds with vanishing odd-Bettinumbers.