Автореферат (Числа Бетти и трианалитические подмногообразия гиперкэлеровых многообразий)

Федеральное государственное автономное образовательное учреждениевысшего образования«Национальный исследовательский университет«Высшая школа экономики»На правах рукописиКурносов Никон МихайловичЧисла Бетти и трианалитическиеподмногообразия гиперкэлеровыхмногообразийСпециальность:01.01.04 – Геометрия и топологияАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукМосква — 2016Работа выполнена на факультете математики Национального иссле­довательского университета «Высшая школа экономики».НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:ВЕРБИЦКИЙ Михаил Сергеевич - Ph.D.

(Harvard University), профес­сор факультета математики Федерального государственного автономного об­разовательного учреждения высшего образования «Национальный исследо­вательский университет «Высшая школа экономики».ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:ПАНИН Иван Александрович - доктор физико-математических наук,член-корреспондент РАН, главный научный сотрудник Лаборатории алгеб­ры и теории чисел Санкт-Петербургского отделения Федерального государ­ственного бюджетного учреждения науки Математический институт им. В.А.Стеклова Российской академии наук (специальность 01.01.06).ПАНОВ Тарас Евгеньевич - доктор физико-математических наук, про­фессор кафедры высшей геометрии и топологии механико-математическогофакультета Федерального государственного бюджетного образовательногоучреждения высшего образования «Московский государственный универси­тет имени М.В.Ломоносова» (специальность – 01.01.04).ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институтпроблем передачи информации им.

А.А. Харкевича Российской академии на­ук (ИППИ РАН).Защита состоится 26 января 2017 года в 14:00 часов на заседании диссертаци­онного совета Д 002.022.03 при Математическом Институте им. В.А. Стекло­ва Российской Академии Наук, расположенному по адресу: 119991, г.Москва,ул.

Губкина, д. 8.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического институ­та им. В.А. Стеклова Российской академии наук и на сайте МИАН по адресу:http://www.mi.ras.ru/dis/ref16/kurnosov/dis.pdfАвтореферат разосланноября 2016 года. Отзывы и замечания по авто­реферату в двух экземплярах, заверенные печатью, просьба высылать повышеуказанному адресу на имя учёного секретаря диссертационного совета.Учёный секретарьДиссертационного совета Д 002.022.03,д.ф.-м.н., ведущий научный сотрудникКоролев М.А.Общая характеристика работыАктуальность темыДанная работа посвящена изучению когомологий и абсолютно триана­литических подмногообразий гиперкэлеровых многообразий.

Этим вопросыизучаются в большом числе работ, например, [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7] имногих других. Гиперкэлерово многообразие – это риманово многообразие стройкой согласованых с метрикой комплексных структур, удовлетворяющихкватернионным соотношениям, кэлеровы формы которых замкнуты. Такиемногообразия являются также голоморфно симплектическими, а обратноеверно при условии кэлеровости [8]. Согласно теореме Богомолова [9] любоекомпактное гиперкэлерово многообразие накрывается произведением торови гиперкэлеровых многообразий с максимальной голономией (простых). Об­щая теория гиперкэлеровых многообразий была разработана Богомоловым,Бовилем и Фуджики (см.

[9–11]). Затем значительные результаты получилиХойбрехтс [12] и Вербицкий [13], доказавший, в частности, глобальную Тео­рему Торелли.Понятие трианалитических и абсолютно трианалитических подмного­бразий было введено Вербицким ([2]).Пусть (, , , ) является компактным голоморфно сим­плектическим кэлеровым многообразием и ⊂ (, ) комплексное подмного­образие, которое является комплексно-аналитическим по отношению к любойгиперкэлеровой структуре, совместимой с . Тогда называется абсолютнотрианалитическим подмногообразием.Определение.Трианалитические подмногообразия всегда голоморфно симплектичны,потому что они гиперкэлеровы, достаточно общая деформация гиперкэлеро­ва многообразия всегда неалгебраична, и все комплексные подмногообразиятакого многообразия трианалитичны.Вообще говоря, абсолютно трианалитические многообразия возникаюткак многообразия калибраций, и как графики в × для автоморфизмовгиперкэлеровых многообразий, действующих тривиально на вторых когомо­логиях.

Группа таких автоморфизмов конечна [12]. Для схем Гильберта над3 она тривиальна [12]. И была изучена в случае обобщённых многообра­зий Куммера Огизо ([14]), Буассье, Нипер-Вайскирхен и Сарти ([15]), и для3многообразий О’Грэди Монгарди и Ванделем ([16]).Ранее Вербицкий, Каледин [1, 17, 18] доказали отсутствие абсолютнотрианалитических подмногообразий в схемах Гильберта точек на 3, атакже заметили, что схема Гильберта является абсолютно трианалитическимподмногообразием в обобщённом многообразии Куммера. Считается, что дру­гих нетривиальных примеров абсолютно трианалитических подмногообразийдля известных примеров простых гиперкэлеровых многообразий нет.

НедавноВербицкий и Солдатенков, используя -симплектические структуры и их раз­мерности, доказали отсутствие известных примеров гиперкэлеровых много­образий как абсолютно трианалитических подмногообразий в многообразияхО’Грэди [4]. В случае обобщённых многообразий Куммера их доказательствоне работает, однако ранее Гинзбург и Каледин [19] показали, что абсолютнотрианалитическим подмногообразиями в обобщённом многообразии Куммерамогут быть только деформации разрешения особенностей для фактора торапо действию группы Вейля , , . Тем не менее, вопрос наличия абсолют­но трианалитических торов в обобщённом куммеровом многообразии долгоевремя был открытым.В данный момент известно всего четыре примера простых гиперкэлеро­вых многообразий с точностью до деформационной эквивалентности.

А имен­но, схемы Гильберта точек над 3, обобщённые многообразия Куммера [10] идва примера О’Грэди [20, 21]. В своё время Каледин, Лен, Зоргер в работе [22]показали, что для всех векторов Мукаи соответствующее пространство моду­лей полустабильных пучков ранга 2 на 3 или абелевой поверхности либоне имеет симплектического разрешения особенностей, либо, если оно есть, тополученное гиперкэлерово многообразие деформационно эквивалентно схемеГильберта над 3 или спорадическим примерам О’Грэди. Бовиль сформули­ровал гипотезу [23]:Существует только конечное число простых компактных ги­перкэлеровых многообразий в каждой размерности с точностью до дефор­мационной эквивалентности.Гипотеза 1.Важным шагом в направлении доказательства этой гипотезы служатрезультаты, связанные с ограниченностью возможных чисел Бетти гиперк­элеровых многообразий.Гуан в своей работе [5] доказал, что существует конечное число возмож­4ностей для наборов чисел Бетти для гиперкэлеровых многообразий в ком­плексной размерности четыре, в частности, второе число Бетти 2 не превы­шает 23.

Вычисления Гуана основываются на неравенстве, полученном Вер­бицким, который построил действие алгебры Ли so(4, 2 −2) на когомологиях[24], и равенстве Саламона [25], являющимся следствием формулы Римана­Роха-Хирцебруха. Результаты Гуана не обобщаются напрямую в большиеразмерности. Однако, они тесно связаны с инвариантами Розанского-Витте­на.

Эти инварианты изучались в работах [7], [26] и определяются они каксвёртка по всем рёбрам тривалентного графа с 2 вершинами двойственнойголоморфно-симплектической формы и тензора, состоящего из прозведения2 -копий тензора кривизны.

В работах Сейвона и Хитчина были подсчитаныинварианты для наиболее простых графов.Сейвону [27] удалось получить точную оценку на второе число Беттигиперкэлеровых многообразий в размерности шесть, используя результатыВербицкого [24] и Луенги-Лунца [28]. В настоящей диссертации полученыобобщения результатов Гуана и оценки на второе число Бетти в размерностяхвосемь и десять.Цель работыЦель работы состоит в доказательстве отсутствия абсолютно трианали­тических торов в обобщённом многобразии Куммера. Также целью являет­ся обобщение результатов Гуана для гиперкэлеровых многообразий большейразмерности и получении ограничений на числа Бетти гиперкэлеровых мно­гоообразий.Методы исследованияВ диссертации использованы методы комплексной алгебраической гео­метрии – разрешение особенностей, теория калибраций. Применяется теоремаКаледина о разрешении симплектических особенностей для доказательстваизогенности трианалитического тора компоненте торов в произведении.Применяются инварианты Розанского-Виттена, для получения обобще­ния результатов Гуана используются формула Саламона и теоремы Вербиц­кого и Луенги-Лунца, а также результаты Сейвона о строении кольца кого­мологий гиперкэлеровых многообразий в размерности шесть.5Научная новизнаУтверждения 3.2.5, 3.3.3, 3.4.1, 3.4.4, 3.5.1, 4.3.1, 4.3.4, 4.3.5, 4.3.8 явля­ются новыми.

Основные результаты диссертации состоят в следующем:∙ Получено неравенство на числа Бетти гиперкэлеровых многообразий вразмерности шесть.∙ Получены следствия основного неравенства, включающие конечностьчисла гиперкэлеровых многообразий в размерности шесть с 2 = 23.∙ Доказано отсутствие абсолютно трианалитических торов в обобщённоммногообразии Куммера.Теоретическая и практическая ценностьДиссертация имеет теоретический характер. Результаты диссертации мо­гут быть полезны математикам, занимающимся комплексной алгебраическойгеометрией, гиперкэлеровой геометрией, изучающих многообразия Калаби­Яу.Апробация результатовРезультаты диссертации докладывались на следующих научно-исследо­вательских семинарах:– семинар Геометрические структуры на многообразиях;– семинар Постникова;– семинар Лаборатории Понселе, НМУ и сектора 4.1 ИППИ РАН;– Доклад “Absolutely trianalytic tori in the generalized Kummer varieties”,MAGIC seminar, Imperial College, 28.09.2015.;– Доклад “Betti numbers of hyperkahler manifolds”, Algebra/AlgebraicGeometry seminar, University of Sheffield, 29.09.2015.;– Доклад “Betti numbers of hyperkahler manifolds”, ULB Geometry seminar,ULB, Brussels, 10.11.2015.;– Доклад “On the boundness of the second Betti number of hyperkählermanifolds”, Algebraic Geometry Seminar, NYU, 02.02.2016.;Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:61.