Автореферат (Вероятностно-статистический анализ максимумов временных рядов с псевдостационарным трендом)

На правах рукописиКудров Александр ВладимировичВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МАКСИМУМОВВРЕМЕННЫХ РЯДОВ С ПСЕВДОСТАЦИОНАРНЫМ ТРЕНДОМСпециальность 08.00.13 – «Математические и инструментальныеметоды экономики»Специальность 01.01.05 – «Теория вероятностей и математическаястатистика»Авторефератдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукМосква 2009Работа выполнена в Государственном университете Высшей Школе ЭкономикиНаучные руководители:доктор физико-математических наук, профессорАйвазян Сергей Арутюнович;доктор физико-математических наук, профессорПитербарг Владимир ИльичОфициальные оппоненты:доктор физико-математических наукБродский Борис Ефимович;доктор физико-математических наук, профессорТюрин Юрий Николаевич.Ведущаяорганизация:УчреждениеРоссийскойакадемиинаукВычислительный центр им.

А. А. Дородницына РАН.Защита состоится «16» марта 2009 г. в 12.00 часов на заседании Диссертационногосовета Д 002.013.02 в Учреждении Российской академии наук Центральномэкономико-математическом институте РАН по адресу: 117418, г. Москва,Нахимовский проспект, д. 47, ауд. 520.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ЦЭМИ РАН.Автореферат разослан «12» февраля 2009 г.Ученый секретарь диссертационного советакандидат физико-математических наукС.В.

Борисова2I. Общая характеристика работы.Актуальность темы. Задачи статистического оценивания распределения экстремальныхзначений экспериментальных данных и статистических выборок является одной из важнейшихзадач теории вероятностей и математической статистики.

Поведение экстремальных значенийстатистической выборки как правило является предметом первоочередного вниманияисследователя. При оценивании вероятностей экстремальных природных явлений, таких какнаводнения, ураганы, высокие концентрации загрязнений, при моделировании сценариевтяжелых аварий сложных технических устройств, таких как ядерные установки, при оцениваниивероятностей больших страховых выплат, ценовых пиков, продолжительности жизни в задачахстрахования исследователь в первую очередь интересуется распределением экстремальныхзначений. Классическая вероятностно-статистическая теория экстремумов родилась в первойполовине XX столетия работами Р.

Фишера и Л. Типпета (1928) и Б. В. Гнеденко (1943). Воснове вероятностной части теории лежит фундаментальная предельная теорема Гнеденко длямаксимума случайной выборки и метод ее доказательства, базирующийся на теории правильноменяющихся функций. Далее вероятностная теория экстремумов интенсивно развивалась попути получения уточнений теоремы Гнеденко и ее обобщений на случай зависимых выборок(отрезков временного ряда) и на непрерывное время. Статистическая часть теории развиваласьпо пути оценивания параметров предельного распределения максимума, и, как следствие,эффективному оцениванию квантилей высокого уровня исходной функции распределения ипрогнозу вероятности высокого максимума выборки. Эти задачи решались как в классическойпостановке, когда наблюдается последовательность независимых одинаково распределенныхслучайных величин, так и для зависимых наблюдений, что чрезвычайно важно приисследовании экономических и финансовых рядов, динамики природных явлений.

В настоящеевремя имеется большое число методов оценивания вероятностей экстремумов как вклассической постановке, когда имеется стандартная выборка независимых одинаковораспределенных числовых или векторных наблюдений, так и в случае, когда наблюдаетсястационарный временной ряд или стационарный случайный процесс. Современное состояниевероятностно-статистической теории в основном описано в монографиях 1,2. Однако в реальнойпрактике возникают серии наблюдений, которые не могут удовлетворять стандартным условиямоднородности выборки.

Обычной ситуацией в конкретных статистических исследованияхявляется пропуск или утеря, по тем или иным причинам, некоторых наблюдений. В случаенаблюдения временного ряда с определенной структурой зависимости, это может достаточносильно повлиять на выбор методики исследования. Теория непараметрического ипараметрического оценивания в статистике временных рядов и случайных процессов предлагаетсоответствующие методики.

В то же время развитие соответсвующих методов в статистикеэкстремумов только начинается. Далее, временные ряды и случайные процессы, которые мынаблюдаем в экономике, финансах, окружающей среде, не всегда можно считать однородными.Как правило, присуствует тренд и сезонные составляющие. Исследуя экстремальные явления,где явно присутствует сезонная составляющая, статистики, как правило, сужают выборку,рассматривая лишь максимальные значения по периодам (дневные, сезонные годичныемаксимумы).

Представляется, что при этом теряется определенная часть информации,1A. Fereira, L. de Haan, (2006). Extreme value theory. An introduction. Springer Series in Operations Research andFinancial Engineering. Springer.2Leadbetter M.R., Lingren G., Rootzén H., (1983). Extreme and related properties of random sequences and precesses.Springer Statistics Series. Berlin-Heidelberg-New York:Springer.3поскольку ближайшие к абсолютным сезонным максимумам значения также содержатинформацию о распределении максимальных значений. Исследования в этих направленияхнаходятся в начальной стадии 3,4. В первой работе рассмотрено поведение оценкиэкстремального индекса временного ряда в случае пропущенных наблюдений, во второйрассмотрена стандартная статистическая выборка с добавленным малым почти периодическимтрендом.

В настоящей работе эти две задачи объединяются в одну - мы исследуем предельноераспределение максимума временного ряда с добавленным малым почти периодическим(псевдостационарным) трендом и рассматриваем поведение статистических оценок, основанныхна этой модели. Таким образом, в настоящей работе рассмотрены две актуальные задачистатистической теории экстремумов - задача об оценивании вероятности высокого максимумапри наличии пропусков в наблюдениях и с учетом тренда типа сезонной составляющей.Основные цели работы:• вывод приближенной формулы для распределения максимума отрезка случайногостационарного временного ряда с добавленным трендом и доказательство соответствующейпредельной теоремы в условиях слабой зависимости далекоотстоящих экстремумов;• вывод приближенной формулы для совместного распределения максимума отрезкавременного ряда и того же отрезка с пропущенной частью наблюдений;• конкретизация условий слабой зависимости в данной постановке для случаягауссовской последовательности;• исследование предложенных приближений при помощи методов статистическогомоделирования и на реальных данных.Научная новизна диссертации заключается в разработке методов анализа макимумовпрореженных нестационарных временных рядов.

Доказаны предельные теоремы о совместномраспределении максимума случайной стационарной последовательности с добавленнымпсевдостационарным трендом и ее прореженной подпоследовательности. Для доказательствавведено новое условие перемешивания (слабой зависимости) далеко отстоящих экстремумов. Вслучае гауссовской последовательности получен окончательный результат о предельномраспределении максимума. Все полученные теоретические результаты являются новыми идоказаны автором лично. На основании этих математических результатов предложена новаяметодика обработки данных об экстремальных значениях временных экономических рядов. Этаметодика апробирована на данных, полученных методом статистического моделирования, и нареальных данных – потребление электроэнергии в России и температура в центральной частиАнглии.

Последние данные достаточно часто используются в литературе для апробации новыхстатистических методов.Методы исследования. Использован аппарат асимптотического анализа (методЛапласа), асимптотической теории гауссовских процессов, методы стохастического3Mladenoviґc P., Piterbarg V.I. (2008). On estimation of the exponent of regular variation using a sample with missingobservations. Statistics and probability letters, 78, 4, 327-335.4Кузнецов Д. С. (2005). Предельные теоремы для максимума случайных величин.

Вестник МГУ, Сер. Матем.Механ., 3, 6-9.4моделирования, методы статистического анализа экстремумов, такие как методы оцениванияквантилей и экстремального индекса. Также использовались типичные для статистическогоанализа методы визуализации данных (квантильные бумаги и графики Пикандса) споследующим применением методов линейного регрессионного анализа.Теоретическая и практическая ценность. В работе получены важные аппроксимациидля функции распределения максимума стационарной случайной последовательности сдобавленным псевдостационарным трендом.

Эти аппроксимации позволяют оцениватьвысокопроцентные квантили распределения и вероятности высоких максимумов с большойточностью. Полученные предельные теоремы представляют собой новый шаг в развитиивероятностно-статистического анализа экстремумов. Численные исследования разработанныхна основании полученных аппроксимаций статистических методов показали их хорошуюэффективность по сравнению с классическими, применяемыми в моделях с малым трендом.Апробация результатов исследования. Основные результаты работы докладывались на:1). Cеминаре "Многомерный статистический анализ и вероятностное моделирование реальныхпроцессов" в ЦЭМИ РАН.2).

VII-ой международной школы-семинара по многомерному статистичесому анализу иэконометрики, пос. Цахкадзор (Республика Армения), 2008 год.3). Научном семинаре кафедры математической экономики и эконометрики, ГУ ВШЭ.4). Cеминаре по теории вероятностей университета Черногории, Подгорица.5). Cеминаре по теории вероятностей на механико-математическом факультете МГУ.Публикации.

По теме диссертации опубликовано 4 научные работы (в том числе 3основные работы) общим объемом 2,5 п. л., личный вклад автора 2,4 п. л., 1 работаопубликована в журнале, рекомендованном ВАК.Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав,заключения, списка литературы из 87 наименований, 1 таблицы, 36 рисунков.II. Основное содержание работы.Во введении обосновывается актуальность темы и дается краткое содержание работы.В первой главе рассматривается задача аппроксимации распределения максимумапрореженных значений временного рядаYi( n ) = X i + an mi , i = 1,2,..., n = 1,2,...(1)где { X i , i = 1,2,...} – строго стационарная случайная последовательность, где случайнаявеличина X 1 имеет функцию распределение F (x) , которое предполагается максимумустойчивым; {mi , i = 1,2,...} – тренд, ведущий себя стационарным образом в определенномниже смысле (например, сезонная составляющая), а ( an ), (bn ) – последовательности, длякоторых выполняется предельное соотношение:5nlim F (an x + bn ) = H ( x),(2)n→∞где H (x) − невырожденная функция распределения.1212Обозначим u n = an x + bn , u n = an y + bn , u n = max(u n , u n ) .В первом параграфе первой главы вводится условие типа Лидбеттера на перемешивание212больших значений в модели (1), которое носит название условие D (u n , u n , an , {mk }k =1,..., n ) .Оно состоит в следующем:последовательностьслучайныхвеличин{ X i , i = 1,2,...} удовлетворяет условиюD 2 (u1n , u n2 , an , {mk }k =1,..., n ) , если найдется семейство чисел {α n,l } , n,l = 1,2,...