Введение в мат анализ в вопросах и задачах. Учебное пособие Анчиков А.М, страница 7

Îáîçíà÷åíèÿ:lim f (x) = b èëè f (x0 + 0) = b (ñîîòâåòñòâåííîx→x0 +0lim f (x) = b èëè f (x0 − 0) = b ).x→x0 −06◦ . Ïðåäåë ôóíêöèè ïðè x → ∞.×èñëî b íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèè f (x) ïðè x → +∞[ lim f (x) = b ], åñëè ∀ ε > 0, ∃ Aε > 0 òàêîå, ÷òî ∀ x > Aεx→+∞âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî | f (x) − b | < ε. Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ lim f (x).x→−∞Á.

Êîíòðîëüíûå âîïðîñû è çàäàíèÿ.1. Äîêàæèòå ýêâèâàëåíòíîñòü äâóõ îïðåäåëåíèé ïðåäåëà ôóíêöèè â òî÷êå x0 .2. Äàéòå ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ ïðåäåëà ôóíêöèè.3. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ñóùåñòâóåò ïðåäåë ôóíêöèè â òî÷êåx0 , òî îí åäèíñòâåííûé.4. Ñôîðìóëèðóéòå îòðèöàíèÿ äâóõ îïðåäåëåíèé ïðåäåëà ôóíêöèè â òî÷êå.5. Ñôîðìóëèðóéòå îïðåäåëåíèå îäíîñòîðîííèõ ïðåäåëîâ âòî÷êå íà ÿçûêå ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé.6. Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ èç ñóùåñòâîâàíèÿ îäíîñòîðîííèõ ïðåäåëîâ (ïðåäåëà ôóíêöèè) ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëà ôóíêöèè (îäíîñòîðîííèõ ïðåäåëîâ)?7.

Ñôîðìóëèðóéòå äâà îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëà ôóíêöèè ïðèx → +∞ (x → −∞).8. Äàíà ôóíêöèÿ f (x) = |x|. Îïðåäåëåíà ëè îíà â òî÷êåxx = 0? ßâëÿåòñÿ ëè òî÷êà x = 0 ïðåäåëüíîé òî÷êîé îáëàñòè53îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè? Ñóùåñòâóåò ëè lim f (x) ?x→0Â. Ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷.Ïðèìåð36. Îïðåäåëèòü îáëàñòüñóùåñòâîâàíèÿ ôóíêöèé:q√a) y =sin√x;b) y = (x + |x|) x sin2 πx; c) y = (2x)!Ðåøåíèå. a) Âûðàæåíèå èìååò ñìûñë ïðè óñëîâèè, ÷òî√√sin x ≥ 0, òî åñòü åñëè 2kπ ≤ x ≤ π + 2kπ, (x ≥ 0) (k =0, 1, 2, ...). Îòñþäà 4k 2 π 2 ≤ x ≤ π 2 (1 + 2k)2 (k = 0, 1, 2, ...).b) Âûðàæåíèå x + |x| èìååò ñìûñë âñåãäà, ñëåäîâàòåëüíî, ïðîèçâåäåíèå îïðåäåëåíî, åñëè x · sin2 πx ≥ 0. Ðåøàÿ ýòîíåðàâåíñòâî, íàõîäèì, ÷òî x ≥ 0 è x = −1, −2, ...

.c) Ýòà ôóíêöèÿ èìååò ñìûñë, åñëè 2x = n (n = 1, 2, ...)ïîýòîìó îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ åñòü ìíîæåñòâî { 21 , 1, 23 , 2, 25 , 3, ...}.Ïðèìåð 37. Îïðåäåëèòü îáëàñòü ñóùåñòâîâàíèÿ è ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ôóíêöèé:a) y = (−1)x ;2xb) y = arccos 1+x2; 0, åñëè x èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî,c) y = D(x) = 1, åñëè x ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî. +1, åñëè x > 0,d) y = sgnx =  0, åñëè x = 0,−1, åñëè x < 0.Ðåøåíèå.

a) Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè ñîñòîèò òîëüêî èç ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë. Òàê êàê (−1)x = ±1 òî äåéñòâèòåëüíûé êîðåíü ýòîãî óðàâíåíèÿ ñóùåñòâóåò òîëüêî ïðè íå÷¼òpíîì ïîêàçàòåëå êîðíÿ, x = 2q+1, ãäå p è q öåëûå ÷èñëà. Ïðèýòîì y = ±1.542xb) Î÷åâèäíî, ÷òî −1 ≤ 1+x2 ≤ 1 ïðè ∀ x ∈ R . Ïîýòîìó îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ åñòü âñÿ ÷èñëîâàÿ îñü (−∞, +∞) , àîáëàñòü çíà÷åíèé åñòü ñåãìåíò [ 0, π ] .c) Ôóíêöèÿ çàäàíà íà âñåé ÷èñëîâîé îñè à ìíîæåñòâî å¼çíà÷åíèé ñîñòîèò èç äâóõ òî÷åê 0 è 1, òî åñòü {y} = {0, 1}. Ýòàôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé Äèðèõëå.d) Ôóíêöèÿ çàäàíà íà âñåé ÷èñëîâîé îñè, ìíîæåñòâî å¼çíà÷åíèé ñîñòîèò èç òðåõ òî÷åê: −1, 0, +1, òî åñòü {y} ={−1, 0, +1}.Ïðèìåð 38. Ïóñòü f (x) + f (y) = f (z).

Îïðåäåëèòü z, åñëèa) f (x) = x1 ; b) f (x) = log 1+x.1−xÐåøåíèå. a) Èç óñëîâèÿ x1 + y1 = z1 íàõîäèì z =xy,x+yx 6= −y.+ log 1+y= log 1+z, íàõîb) Ïîòåíöèðóÿ ðàâåíñòâî log 1+x1−x1−y1−zäèì, ÷òî(1+x)(1+y)(1−x)(1−y)=1+z,1−zîòêóäà z =x+y.1+xy√Ïðèìåð 39. Íàéòè f (x), åñëè f ( x1 ) = x+ 1 + x2 (x > 0).Ðåøåíèå. Ïóñòü z = 1/x. Òîãäà x = 1/z è, òàê êàê z > 0,òî f (z) = 1/z +Îòñþäà f (x) =q1 + 1/z 2 = 1/z +√1 + z2|z|=1+√1+z 2.z√1+ 1+x2.xÏðèìåð 40. Îïðåäåëèòü îáðàòíóþ ôóíêöèþ x = ϕ(y) è√îáëàñòü å¼ ñóùåñòâîâàíèÿ, åñëè: a) y = 1 − x2 ïðè 1) − 1 ≤x ≤ 0; 2) 0 ≤ x ≤ 1; b) y = sh x = 1/2(ex − e−x ) −ãèïåðáîëè÷åñêèé ñèíóñ.Ðåøåíèå.a) Íà ñåãìåíòå [ −1, 0 ] ôóíêöèÿ ìîíîòîííî âîçðàñòàåò îò 0 äî 1 .

Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ. Ðåøàÿ ðàâåíñòâî îòíîñèòåëüíî x íàõîäèì:55√x = − 1 − y 2 , (0 ≤ y ≤ 1). Àíàëîãè÷íî ïðåäóäóùåìó ñëó÷àþíà [ 0, +1 ] ôóíêöèÿ ìîíîòîííî óáûâàåò îò 1 äî 0. Èìååì:√x = 1 − y 2 , (0 ≤ y ≤ 1).b) Òàê êàê íà èíòåðâàëå (−∞, +∞) ôóíêöèÿ sh x ìîíîòîííî âîçðàñòàåò îò −∞ äî +∞, òî íà èíòåðâàëå −∞ <y < +∞ ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ. Èìååì√e2x − 2yex − 1 = 0, îòêóäà ex = y ± y 2 + 1. Âûáèðàÿ â ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå çíàê (+) (òàê êàê ex > 0 ) è ëîãàðèôìèðóÿ,√ïîëó÷èì x = Arsh y = ln(y + y 2 + 1), (−∞ < y < +∞).Ïðèìåð 41.

Ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ f (x) = sin x1 íå èìååòïðåäåëà ïðè x → 0.Ðåøåíèå. Âîçüì¼ì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn }, ãäå xn ==2,π(2n+1)(n = 1, 2, 3, ...). Ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðè n → ∞ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, à ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü çíà÷åíèé ôóíêöèè f (xn ) = (−1)n âîâñå íå èìååò ïðåäåëà. Ñëåäîâàòåëüíî, äàííàÿ ôóíêöèÿ íå èìååò ïðåäåëà â òî÷êå x = 0.Ïðèìåð 42. Íà ÿçûêå ”ε − δε ” ïîêàçàòü, ÷òî lim sin x = 1.x→π/2Ðåøåíèå.

Îöåíèì ðàçíîñòü | 1 − sin x | . Èìååì1 − sinx=¯¯¯¯¯¯¯¯òî |1 − sin x| ≤ ¯ π2 − x¯ . Ñëåäîâàòåëü¯¯¯¯íåðàâåíñòâà 0 < ¯ π2 − x¯ < δε ñëåäóåò= 2 cos( π4 + x2 )·sin( π4 − x2 ). Òàê êàê äëÿ ëþáîãî x : ¯cos( π4 + x2 )¯ ≤ 1¯¯¯¯¯¯¯¯è ¯sin( π4 − x2 )¯ ≤ ¯ π4 − x2 ¯ ,íî, åñëè δε = ε, òî èçíåðàâåíñòâî | 1 − sin x¯ | < ε.Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ∀ ε > 0¯¯π¯∃ δε = ε, ∀ x : 0 < ¯ 2 − x¯ < δε ⇒ |1 − sin x| < ε, òî åñòülim sin x = 1.x→π/256x,sin x,Ïðèìåð 43. Ïóñòü f (x) = ïðè x < 0,( f (x)ïðè x > 0.íå îïðåäåëåíà ïðè x = 0. ) Ñóùåñòâóåò ëè lim f (x) ?x→0Ðåøåíèå. Âû÷èñëèì â òî÷êå x = 0 îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû ôóíêöèè f (x). f (0 + 0) =lim sin x = lim sin x = 0;x→0+0x→+0f (0 − 0) = lim x = lim x = 0.

Îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû ôóíêx→0−0x→−0öèè f (x) â òî÷êå x = 0 ñóùåñòâóþò è ðàâíû 0. Ñëåäîâàòåëüíî,lim f (x) = 0.x→0Ã. Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîéðàáîòû.Âû÷èñëèòü ïðåäåëû:x2 + x − 6; [1].x2 − 3x + 2√√· ¸3425 + x − 3 29 − x√2. lim;.x→227x − 2x√3. lim ( x2 + 2x − x); [1].1. x→∞limx→+∞√√331+x−441+x+1√4. lim; [0].x→02−2 1−x√√5.

lim ( 1 + 2x + x2 − x2 − 4x + 1); [3].x→+∞√√· ¸331+x−441+x+1 1√;.6. limx→062−2 1−x+x577. limx→∞q³q´ h i√3x 3 (x + 4)2 − 3 (x − 1)2 ; 10.3"#mn(m − n)[(1 + mx)n − (1 + nx)m ]8. lim; m, n ∈ N ;.2x→0x2√"#√m1 + ax − n 1 + bxab9. lim; m, n ∈ N ;−.x→0xm n√"#√m1 + ax · n 1 + bx − 1ab;+.10. limx→0xm n"#x + x2 + ... + xn − nn(n − 1)11. lim; −.x→11−x24.2. Ðàñêðûòèå íåîïðåäåëåííîñòåé.À. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ.Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (x)/g(x).Åñëèlim f (x) = 0 èx→x0lim g(x) = 0, òî ïðåäåë ôóíêöèè f (x)/g(x) ïðè x → x0 íåëüçÿíàéòè ïîëüçóÿñü òåîðåìîé î ïðåäåëå îòíîøåíèÿ, òàê êàê ïðåäåëçíàìåíàòåëÿ ðàâåí íóëþ.

 ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî èìååòñÿíåîïðåäåë¼ííîñòü âèäà 00 . Çäåñü x0 ìîæåò áûòü êîíå÷íûì÷èñëîì èëè ±∞. Àíàëîãè÷íî ââîäÿòñÿ ñèìâîëè÷åñêèå îáîçíà÷åíèÿ íåîïðåäåëåííîñòåé ∞, 0 · ∞, ∞ − ∞, ∞0 , 00 , 1∞ .∞ òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà èìååò ìåñòî íåîïðåäåë¼ííîñòü, äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðåäåëà ”ðàñêðûòèÿ íåîïðåäåë¼ííîñòè” ïðåîáðàçîâûâàþò îòíîøåíèå òàê, ÷òîáû ïîëó÷èòü âîçìîæíîñòü åãî âû÷èñëèòü. Äëÿ òàêèõ ïðåîáðàçîâàíèé èñïîëüçóþòñÿ èëè òîæäåñòâåííûå ñîîòíîøåíèÿ, ëèáî ñðàâíåíèå ïîâåäåíèÿ ôóíêöèé ïðèñòðåìëåíèè àðãóìåíòà ê ïðåäåëüíîé òî÷êå.x→x058Â. Ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷.x2 + x − 6.x→2 x2 − 3x + 2Ðåøåíèå.

Ïðè x → 2 ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü ñòðåìÿòñÿê íóëþ, òî åñòü x0 = 2 ÿâëÿåòñÿ êîðíåì ÷èñëèòåëÿ è çíàìåíàòåëÿ.  îêðåñòíîñòè òî÷êè x = 2 : x2 + x − 6 = (x − 2)(x + 3),x2 − 3x + 2 = (x − 2)(x − 1). ÏîýòîìóÏðèìåð 44. Âû÷èñëèòü: limx2 + x − 6(x − 2)(x + 3)(x + 3)= lim= lim= 5.2x→2 x − 3x + 2x→2 (x − 2)(x − 1)x→2 (x − 1)√Ïðèìåð 45. Âû÷èñëèòü x→−∞lim ( x2 + 4x + 5 + x) (íåîïðåäåë¼ííîñòü òèïà ∞ − ∞ ).limÐåøåíèå. Åñëè x < 0, òî√x2 + 4x + 5 + x = √ñëåäîâàòåëüíî4x + 54 + 5/xq=,x2 + 4x + 5 − x− 1 + 4/x + 5/x2 − 1√lim ( x2 + 4x + 5 + x) = −2.x→−∞ln(x2 − x + 1)Ïðèìåð 46.

Âû÷èñëèòü x→∞lim(íåîïðåäåë¼íln(x10 + x + 1)∞).íîñòü òèïà ∞Ðåøåíèå. Âûíîñÿ çà ñêîáêè â ÷èñëèòåëå è çíàìåíàòåëå ñòàðøèå ñòåïåíè x, íàõîäèì:ln(x2 − x + 1)2 ln x + ln(1 − 1/x + 1/x2 )1=lim= .x→∞ ln(x10 + x + 1)x→∞ 10 ln x + ln(1 + 1/x + 1/x10 )5√Ïðèìåð 47. Âû÷èñëèòü lim 1 + cos x · tg x2 (íåîïðåäålimë¼ííîñòü òèïà 0 · ∞. )x→π+059Ðåøåíèå.

Åñëè π < x <√= − 2 cos x2 .√= − 2.lim√x→π+03π,2òî1 + cos x · tg x2q√1 + cos x = 2 cos2 x2 =√= lim (− 2 cos x2 · tg x2 ) =x→π+0Ðàñêðûòèå íåîïðåäåëåííîñòåé òèïà ∞0 , 00 , 1∞ ïðîèçâîäèòñÿ , ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé lim u(x)v(x) = lim ev(x)·ln u(x) =x→x0lim [v(x)·ln u(x)]x→x0e. Çäåñü u(x) > 0, ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà (÷òî áóäåò ðàññìîòðåíî ïîçäíåå).x→x0Ïðèìåð 48. Âû÷èñëèòü lim xx (íåîïðåäåë¼ííîñòü òèïà 00 ).x→+0lim x·ln xÐåøåíèå. lim xx = lim ex·ln x = ex→+0x→+0−αx→+0. Ïîëîæèì x =2 . Òîãäà óñëîâèå x → +0 ýêâèâàëåíòíî óñëîâèþ α → +∞.Òîãäà lim x ln x = lim −α2αln 2 = 0. Ñëåäîâàòåëüíî lim xx =x→+0lim e0 = 1.α→+∞x→+0x→+0Ã. Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû.1.