Введение в мат анализ в вопросах и задачах. Учебное пособие Анчиков А.М, страница 6

Êîíòðîëüíûå âîïðîñû è çàäàíèÿ.1. Êàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàçûâàåòñÿ ñõîäÿùåéñÿ ?2. Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn + yn } ñõîäèòñÿ. Ñëåäóåòëè îòñþäà ñõîäèìîñòü {xn } è {yn } ?3. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ñõîäèìîñòè {xn } ê ÷èñëó a íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî íîìåðà n0 , xn =a + αn , ãäå {αn } − á. ì. ï..444. Ïóñòü lim xn = a, ïðè÷åì äëÿ ∀ n, xn > b (xn < b).n→∞Ñëåäóåò ëè îòñþäà, ÷òî a) a > b, b) a ≥ b? ( c) a < b, d) a ≤ b ?)Ïðèâåäèòå ïðèìåðû.Â. Ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷.Ïðèìåð 31. Âû÷èñëèòü ïðåäåëû:3n22;n→∞ 2−nb) lim [(n + 1)k − nk ] , 0 < k < 1;n→∞q√c) lim n [ n(n − 2) − n2 − 3 ] ;a) limn→∞23n −2nn+1 +2nn→∞ 3n+...+a; e) lim 1+a+a2n , |a| < 1, |b| < 1;n→∞ 1+b+b +...+b√√ √√3 2n2f ) n→∞lim ( 2 · 4 2 · ...

· 2 2) ; g) n→∞lim n−n√+2−5n.4n −n+1d) limÐåøåíèÿ.. ×èña) Ýòîò ïðåäåë ÿâëÿåòñÿ íåîïðåäåëåííîñòüþ òèïà ∞∞3n22ëèòåëü è çíàìåíàòåëü ïîäåëèì íà n , òîãäà ïîëó÷èì lim 2−n2 =lim 2 3n→∞ n2 −1=lim 3n→∞lim ( 22 −1)n→∞ nn→∞= −3.b) Ìû èìååì çäåñü íåîïðåäåëåííîñòü âèäà (∞ − ∞). Ïðåîáðàçóåì, âûíîñÿ nk çà ñêîáêè: 0 < (n + 1)k − nk = nk [ (1 + n1 )k −11−1] < nk [(1 + n1 ) − 1] = n1−k.

Òàê êàê n1−k→ 0, òî è ïîäàâíî(n + 1)k − nk → 0.c) Èçáàâèìñÿ îò èððàöèîíàëüíîñòè â ÷èñëèòåëå, óìíîæàÿ íàñîïðÿæåííîå âûðàæåíèå:q√n(n−2)−n2 − 3] =limn[n→∞√√√√n [ n(n−2)− n2 −3] [ n(n−2)+ n2 −3]n (n2 −2n−n2 +3)√√√= n→∞lim= n→∞lim √=22[= lim√n→∞ n[n(n−2)+ n −3]n(3−2n)q21− n+1−3]n2[= lim √n→∞3−2nq21− n+451−3n2= ∞.n(n−2)+ n −3]nlim [1−(2/3)n ]nn3 −2d) n→∞lim 3n+1= n→∞lim 1−(2/3)=+2n3+(2/3)n2nlim 1+a+a2 +...+ann→∞ 1+b+b +...+be)=1−b1−an+1=· n→∞lim 1−a1−bn+1=1−b1−a·= 13 .n→∞lim [3+(2/3)n ]n→∞n+1lim ( 1−a1−an→∞lim (1−an+1 )n→∞lim (1−bn+1 )·1−b)1−bn+1=n→∞=1−b;1−a√ √√2nnf ) lim ( 2 · 4 2 · ...

· 2 2) = lim 21/2+1/2 +...+1/2 =n→∞= lim 2n→∞n1 1−(1/2)·2 1−(1/2)n→∞g)nn= lim 21−(1/2) = 2 lim 2−1/2 = 2;n→∞√3 22lim n−n√+2−5nn4 −n+1n→∞n→∞= lim√( 3 n2 +2/n2 )−5qn→∞ (1/n−1−1/n3 +1/n4 )=q3= lim1/n4 +2/n6 −5= 5.qn→∞ (1/n−1−1/n3 +1/n4 )Ïðèìåð 32. Íàéòè n→∞lim xn , åñëè xn =√3n+1−√3n − 1.Ðåøåíèå.

Ïðè âû÷èñëåíèè áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîéam − bm = (a − b)(am−1 + am−2 b + am−3 b3 + ... + abm−2 + bm−1 ).√√√ íàøåì ñëó÷àå a = 3 n + 1, b = 3 n − 1, m = 3. lim ( 3 n + 1−n→∞√√√√√√√( 3 n+1− 3 n−1) · ( 3 (n+1)2 + 3 n+1 · 3 n−1 + 3 (n−1)2 )√√− 3 n − 1) = lim=√√333322n→∞= n→∞lim √3(n+1−n+1√(n+1)2 + 3 n2 −1 +(√3(n+1) +(n−1)2 )n+1n−1 +(n−1) )= 0, òàê êàê çíàìåíàòåëü ñòðå-ìèòñÿ ê ∞.Ïðèìåð 33. Íàïèñàòü îáùèé ÷ëåí, äîêàçàòü ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn } è íàéòè å¼ ïðåäåë, åñëè x1 = 4; xn+1 =√6 + xn .46Ðåøåíèå. Çäåñü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü çàäàíà ðåêóððåíòíûì√6+4 =ñîîòíîøåíèåì.

Íàéäåì îáùèé ÷ëåí:rx1 = 4; x2 =qq√√√= 10 , x3 =6 + 10 , x4 =6 + 6 + 10 , ... , xn ==vuuts6+r6+q6 + ... +6+√10. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìî-íîòîííî óáûâàåò è îãðàíè÷åíà ñíèçó ÷èñëîì 3 . Òîãäà ñóùåñòâóåò ïðåäåë, êîòîðûé îáîçíà÷èì ÷åðåç c. Òîãäà èç ðåêóððåíò√íîãî ñîîòíîøåíèÿ íàõîäèì ( â ïðåäåëå) c = 6 + c. Îòñþäàc2 − c − 6 = 0, c1,2 = 12 ± 25 . c1 = 3, c2 = −2.

Ïðåäåëîì äàííîéïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî 3, òàê êàê âñå ÷ëåíû xnïîëîæèòåëüíû.Ã. Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû.1. Ïðèâåäèòå ïðèìåðû ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé {xn } è {yn },äëÿ êîòîðûõ:a) n→∞lim (xn/yn ) = 0;b) n→∞lim (xn/yn ) = c, c = const 6= 0;c) lim (xn/yn ) = ∞; d) {xn/yn } ðàñõîäèòñÿ, íî îãðàíè÷åíà.n→∞2. Íàéòè ïðåäåëû:√3 2n ·sin(n!);n+2n→∞2b) lim [ n13 + n3 3 + ...

+a) limc)lim ( 1n→∞ 2+[ a) 0; b)3224;3+523n→∞+ ... +n!+(n+2)!.n→∞ (n−1)!+(n+2)!2n−1);2nd) limc) 3; d) 1 ].3. Âû÷èñëèòü ïðåäåëû:22n√ −2n+1 ;n4 +1−n√3 2 √ 2n − n +5lim √;5 7 √n − n+1n→∞(n+3)3 +(n+4)344;n→∞ (n+3) −(n+4)a) limb) limc)d) limn→∞12 +32 +...+(2n−1)2222 ;n→∞ 2 +4 +...+(2n)47(2n−1)2];n3q√√√ √3e) lim ( n2 + 3n − n2 − 3); f ) lim 3 n[ n2 − 3 n(n − 1)].n→∞[ a) 2;n→∞b) −1;2c) 0;d) 1;e)3;2f ) 13 ].n +(−2)n4.

Äîêàçàòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü { 2ïðåäåëà, à ïîñëåäîâàòåëüíîñòü { 2n +(−2)n3n2n} íå èìååò} èìååò ïðåäåë. ×åìóîí ðàâåí? [ 0 ].3.5. Ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë.À. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ.1. ×èñëî z0 íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë {zn } è ïèøóò lim zn = z0 , åñëè äëÿ ∀ ε >n→∞0 ∃ nε òàêîå, ÷òî ïðè ∀ n > nε âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî| zn − z0 | < ε .2. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {zn } íàçûâàþò ñõîäÿùåéñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè è ïèøóò lim zn = ∞, åñëè äëÿ ∀ M > 0 ∃ n0 òàêîå,n→∞÷òî äëÿ ∀ n > n0 âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî | zn | > M .Á.

Êîíòðîëüíûå âîïðîñû è çàäàíèÿ.1. Äàéòå ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ ïîíÿòèÿì ïðåäåëàïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ê áåñêîíå÷íîñòè èç ïðåäûäóùåãî ïóíêòà.2. Ïóñòü çàäàíû ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {zn }, ãäå zn = xn +iynè z0 = x0 + iy0 . Äîêàæèòå, ÷òî íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûìóñëîâèåì ñõîäèìîñòè {zn } ê z0 ÿâëÿåòñÿ ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé {xn }, è {yn }, ê Rez0 = a,Imz0 = b,ñîîòâåòñòâåííî.483.

Ïóñòü lim zn = z0 6= ∞, lim wn = w0 6= ∞. Äîêàçàòü,n→∞n→∞÷òî:a) lim (zn + wn ) = z0 + w0 ;b) lim (zn · wn ) = z0 · w0 ;n→∞c)lim ( zn )n→∞ wnn→∞=z0,w0ãäå w0 6= 0, íî ìîæåò ñîâïàäàòü ñ ∞.4. Ñôîðìóëèðóéòå îïðåäåëåíèÿ îãðàíè÷åííîñòè è íåîãðàíè÷åííîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {zn }, à òàêæå äàéòå èõ ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ.Â.

Ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷.Ïðèìåð 34. Ïîêàçàòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {zn }, ãäå2−n, îãðàíè÷åíà, íî ðàñõîäèòñÿ.zn = (−1)n + i 2+nÐåøåíèå.q==Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì1 + (2 − n)2 /(2 + n)2 =q| zn | =1 + (1 − 2n/(2 + n))2 =q1 + 1 − 4n/(2 + n) + (2n/(2 + n))2 ≤ 6 .Îòñþäà ñëåäóåò îãðàíè÷åííîñòü {zn }.Òåïåðü ïîêàæåì ðàñõîäèìîñòü. Çäåñü xn = (−1)n . Ïðåäåëýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íå ñóùåñòâóåò. Ïîýòîìó, äàæå åñëè ñóùåñòâóåò ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {yn } ( â íàøåì ñëó÷àå2−nlim yn = n→∞lim 2+n= −1 ) ïðåäåë {zn } íå áóäåò ñóùåñòâîâàòü.n→∞Çäåñü èç íàøåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìîæíî âûäåëèòü äâåïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñ ÷ëåíàìè: z2k = (−1)2k + i 2−2k= 1+2+2k1−k2−2k+13−2k2k−1i 1+k ; z2k−1 = (−1)+ i 2+2k+1 = −1 + i 3+2k .

Ýòè ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñõîäÿòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ê 1 − i è −1 − i(ïðåäåëüíûå òî÷êè).Ïðèìåð 35. Ïóñòü ϕ − äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî. Äîêàçàòü,÷òî lim (1 + i ϕn )n = cos ϕ + i sin ϕ = eiϕ .n→∞49Ðåøåíèå. ×ëåíû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè zn = (1 + i ϕn )n ïðåäñòàâèìâ ïîêàçàòåëüíîéôîðìå: zn = rn eiϕn , ãä寯2n¯¯rn = ¯(1 + i ϕn )n ¯ = (1 + ϕn2 ) 2 ,ϕn = arg(1 + i ϕn )n = n · arg(1 + i ϕn ) = n · arctg ϕn .Äàëåå âû÷èñëèì ïðåäåëû:22lim rn =n→∞lim ϕn =n→∞2nlim ϕϕ2 ϕ2 ϕ2n2n = en→∞lim[(1+]= 1,)2nn→∞arctg ϕlim n · arctg ϕn = ϕ · lim ϕ n =n→∞n→∞nϕ.Cëåäîâàòåëüíî,lim (1 + i ϕn )n = 1 · (cos ϕ + i sin ϕ) = eiϕ .n→∞Ã. Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîéðàáîòû.1.

Âû÷èñëèòü ïðåäåëû:a) lim = (−i +n→∞2+i);n1−ni;n→∞ 1+3nib) limc) n→∞lim [3n + i(1 − n2 )]; d) n→∞lim[ a) − i; b) −1;3c) ∞; d)n kPi.3kk=0310· (3 + i) ].2. Ïîêàçàòü, ÷òî {zn } îãðàíè÷åíà, íî ðàñõîäèòñÿ, åñëèa) zn = in ;b) zn = 12 [in + (−i)n ].3. Ïîêàçàòü, ÷òî {zn }, ãäå zn = 12 (1 + in ) íå îãðàíè÷åíà,íîíå ñõîäèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè.4. Äîêàçàòü ñõîäèìîñòü è íàéòè ïðåäåë, åñëèzna) zn = z n , | z | < 1; b) zn = 1+z2n , | z | < 1.[ a) 0;b) 0 ].50Ÿ4. Ôóíêöèÿ è å¼ ïðåäåë.4.1.

Ïîíÿòèå ôóíêöèè. Ïðåäåë ôóíêöèè.À. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ.1◦ . Ïóñòü x âåùåñòâåííàÿ ïåðåìåííàÿ èç ìíîæåñòâà {X}.Åñëè êàæäîìó x èç {X} ïîñòàâëåíî â ñîîòâåòñòâèå îäíî âåùåñòâåííîå y èç {Y }, òî ãîâîðÿò, ÷òî íà {X} çàäàíà ôóíêöèÿ,è ïèøóò y = f (x) (ò.å. f : {X} → {Y } ). {X} − íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè, à ñîâîêóïíîñòü {Y } âñåõ÷àñòíûõ çíà÷åíèé ôóíêöèè íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì çíà÷åíèéôóíêöèè f (x).Ìíîæåñòâî {X} ìîæåò áûòü: èíòåðâàëîì ( a, b ), îòðåçêîì(ñåãìåíòîì) [ a, b ], ïîëóîòðåçêîì [ a, b ) èëè ( a, b ], ïîëóïðÿìîé [ a, +∞) èëè (−∞, b ], âñåé áåñêîíå÷íîé ïðÿìîé(−∞, +∞). Ìíîæåñòâî {X} ìîæåò ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé ñèñòåìó èíòåðâàëîâ èëè îòðåçêîâ èëè èõ êîìáèíàöèþ, à òàêæåñîñòîÿòü èç äèñêðåòíûõ òî÷åê.2◦ .

Ôóíêöèÿ y = f (x) íàçûâàåòñÿ íåóáûâàþùåé (íåâîçðàñòàþùåé) íà ìíîæåñòâå {X}, åñëè äëÿ ∀x1 , x2 ∈ {X}, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ x1 < x2 ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî f (x1 ) ≤f (x2 )(f (x1 ) ≥ f (x2 )). Íåóáûâàþùèå è íåâîçðàñòàþùèåôóíêöèè îáúåäèíÿþòñÿ îäíèì îáùèì íàçâàíèåì: ìîíîòîííûåôóíêöèè. Åñëè äëÿ ∀x1 , x2 ∈ {X}, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþx1 < x2 ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî f (x1 ) < f (x2 )(f (x1 ) >f (x2 )), òî ôóíêöèÿ y = f (x) íàçûâàåòñÿ ñòðîãî ìîíîòîííîâîçðàñòàþùåé (óáûâàþùåé) ôóíêöèåé.3◦ . Åñëè ïîä x ïîíèìàòü ëþáîå çíà÷åíèå, óäîâëåòâîðÿþùååóðàâíåíèþ y = f (x), ãäå y ôèêñèðîâàííîå ÷èñëî èç {Y }, òî51ýòî ñîîòâåòñòâèå îïðåäåëÿåò íà ìíîæåñòâå {Y } íåêîòîðóþ, âîîáùå ãîâîðÿ ìíîãîçíà÷íóþ ôóíêöèþ x = f −1 (y), íàçûâàåìóþîáðàòíîé ïî îòíîøåíèþ ê ôóíêöèè f (x). Ôóíêöèè y = f (x)è x = f −1 (y), íàçûâàþòñÿ âçàèìíî îáðàòíûìè.Îíè îáëàäàþòñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: f (f −1 (y)) = y, f −1 (f (x)) = x.

Åñëèôóíêöèÿ y = f (x) ìîíîòîííà â ñòðîãîì ñìûñëå, òî ñóùåñòâóåòîáðàòíàÿ ôóíêöèÿ x = f −1 (y), òàêæå ñòðîãî ìîíîòîííàÿ â òîìæå ñìûñëå.4◦ . Òî÷êà x0 ( x0 ∈ {X} èëè x0 ∈/ {X}) íàçûâàåòñÿïðåäåëüíîé òî÷êîé ìíîæåñòâà {X}, åñëè â ëþáîé îêðåñòíîñòèòî÷êè x0 èìåþòñÿ òî÷êè {X}, îòëè÷íûå îò òî÷êè x0 .Îïðåäåëåíèå 1. ×èñëî b íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèèf (x) â òî÷êå x0 , ïðè x → x0 , åñëè ∀ ε > 0 ∃ δε òàêîå, ÷òî ∀ x,óäîâëåòâîðÿþùåãî óñëîâèÿì x ∈ {X}, 0 < | x − x0 | < δε ,âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî | f (x) − b | < ε.Îïðåäåëåíèå 2. ×èñëî b íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèèf (x) â òî÷êå x0 , åñëè ëþáîé ñõîäÿùåéñÿ ê x0 ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn } òàêîé, ÷òî xn ∈ {X}, xn 6= x0 ñîîòâåòñòâóþùàÿïîñëåäîâàòåëüíîñòü çíà÷åíèé ôóíêöèè {f (xn )} ñõîäèòñÿ ê b. ýòîì ñëó÷àå ïèøóò lim f (x) = b èëè f (x) → b ïðèx→x0x → x0 .

Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.Ïóñòü f (x) è g(x) îïðåäåëåíû â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòèòî÷êè x0 , êðîìå ìîæåò áûòü ñàìîé òî÷êè x0 , è lim f (x) = b,x→x0lim g(x) = c. Òîãäà: a) lim [f (x)±g(x)] = b±c; b) lim [f (x)·x→x0g(x)] = b · c; c)x→x0f (x)= cblimx→x0 g(x)x→x0ïðè óñëîâèè, ÷òî c 6= 0.5◦ . Îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû.×èñëî b íàçûâàåòñÿ ïðàâûì (ëåâûì) ïðåäåëîì ôóíêöèè52f (x) â òî÷êå x0 , åñëè ∀ ε > 0 ∃ δε > 0 òàêîå, ÷òî ∀ x óäîâëåòâîðÿþùåãî óñëîâèÿì x ∈ {X}, x0 < x < x0 + δε (x0 − δε <x < x0 ) âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî |f (x) − b| < ε.