Введение в мат анализ в вопросах и задачах. Учебное пособие Анчиков А.М, страница 5

Îòñþäà 1 < 2n−1 ·ε, èëè 1/ε < 2n−1 . Ëîãàðèôìèðóÿîáå ÷àñòè ýòîãî íåðàâåíñòâà, èìååì log2 (1/ε) < n − 1, èëèn > 1 + log2 (1/ε). nε = [1 + log2 (1/ε)].=12n−1Ïðèìåð 23. Äîêàçàòü, ÷òî n→∞lim 2n! = 0.nÐåøåíèå. Ïî îïðåäåëåíèþ, n! = 1 · 2 · 3 · ... · n. Òîãäà2n= 12 · 22 · 23 · ... · n2 < 2 · ( 23 )n−2 = 29 · ( 23 )n < ε. Îòñþäà íàõîäèìn!( 32 )n < 29 ε. Ëîãàðèôìèðóÿ îáå ÷àñòè ýòîãî ðàâåíñòâà, ïîëó÷èìn lg( 92 ) > lg( 29 · ε).

Èòàê, n > lg( 29 · ε) · lg−1 ( 23 ).Ïðèìåð 24.Äîêàçàòü, ÷òî n→∞lim n · q n = 0, åñëè |q| < 1..¯ ¯n¯ 1 ¯ = n/ n ,¯q¯bÐåøåíèå. Ðàññìîòðèì |n · q n | = n¯ ¯¯1 ¯¯ /q ¯ > 1.ãäå b ≡Äàëåå ïåðåïèøåì n/bn = n/(1 + s)n , ãäå s > 0.Ïðèìåíÿÿ â çíàìåíàòåëå ôîðìóëó áèíîìà Íüþòîíà, ïîëó÷èìn/ n = n/nb(1 + s)n = /(1 + s · n + s2 · n(n − 1)/2! + ... + sn ) <36< 2n/n(n − 1)s2 = 2/(n − 1)s2 → 0 ïðè n → ∞..√Ïðèìåð 25.

Ïîêàçàòü, ÷òî n→∞lim 1 n n! = 0.Ðåøåíèå. Ïîêàæåì ñíà÷àëà (ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè), ÷òî n! > ( n3 )n . Ïðè n = 1 íåðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ.Ïóñòü ïðè n = k èìååò ìåñòî k! > ( k3 )k Îáå ÷àñòè ýòîãîíåðàâåíñòâà óìíîæèì íà (k + 1) : k!(k + 1) > ( k3 )k (k + 1),3k+1 k+1èëè (k + 1)! > ( k3 )(k + 1) = ( k+1)k+1 · (1+1/k),k > ( 3 )31 kò.ê. (1 + k ) < 3 (äîêàçàòü ñàìîñòîÿòåëüíî). Ñëåäîâàòåëüíî, n!.> ( n3 )n ñïðàâåäëèâî ïðè ∀n ∈ N. . Äàëåå èìååì331/ < 1 qnn!(n/3)n = /n < ε ïðè ∀n > nε = [ ε ].Ïðèìåð 26. Äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn } íàéòè n→∞lim xnnnè lim xn åñëè xn = (−1)+ 1+(−1).n2n→∞Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì ÷ëåíû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè: x1 =1− 1 , x2 = 12 + 1, x3 = − 13 , x4 = 14 + 1, x5 = − 51 , ...

Îòñþäà âèäíî, ÷òî ÷ëåíû ñ íå÷åòíûìè èíäåêñàìè îáðàçóþò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü −1, − 13 , − 15 , − 71 , ... ÷ëåíû êîòîðîé âñå îòðèöàòåëüíû,â ëþáîé ëåâîé îêðåñòíîñòè íóëÿ ñîäåðæèòñÿ áåñêîíå÷íîå ÷èñëîýòîé ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè, îòñþäà íóëü ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîéòî÷êîé.Äàëåå ðàññìîòðèì ÷ëåíû ñ ÷åòíûìè èíäåêñàìè. Îíè îáðà1çóþò ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü { 2k+ 1}, , êîòîðàÿ ñõîäèòñÿ ê1 . Ñëåäîâàòåëüíî, a = 1 òàêæå ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîé òî÷êîé.Îòñþäà lim xn = 0, lim xn = 1.n→∞n→∞Ã. Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîéðàáîòû.1.

Äàíû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn } ñ îáùèìè ÷ëåíàìè:37a) xn = sin n; b) xn = (−1)n ; c) xn = (−1)n n1 ; d) xn =nn+ 1+(−1). Êàêèå èç íèõ îãðàíè÷åíû, ñõîäÿòñÿ. Îòâåòû= (−1)n2îáîñíóéòå.2. Ïîëüçóÿñü ÿçûêîì ”ε − nε ” äîêàæèòå, ÷òî: (óêàæèòå nε )nn3na) n→∞lim n+5= 3; b) n→∞lim cosn3n = 0; c) n→∞lim 23n−7·6= −7;+6n3n2 +22n→∞ 4n −1d) lim5·3nnn→∞ 3 −2= 34 ; e) lim= 5; f )lim logn 2 = 0.n→+∞3.

Ñ ïîìîùüþ ”ε − nε ” ðàññóæäåíèé äîêàçàòü ñõîäèìîñòüïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn } ê a :n(−1)n+1,na = 0; b) xn = 2+(−1), a = 0; c) xn =n√a = 13 ; d) xn = n c (c > 1), a = 1.a) xn =hn2 +n−2,3n2 +2n−4i1a) nε = [ 1ε ]; b) nε = [ 3ε ]; c) nε = [ 1ε ]; d) nε = [ log (1+ε)] .c√√4. Äîêàæèòå, ÷òî: a) lim n a = 1, (a > 0); b) lim n n = 1;n→∞c) lim ( 12 · 34 · ... ·n→∞2n−1)2nn→∞= 0; d) lim q n = 0, (|q| < 1).n→∞5. Äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn } íàéòè âñå ïðåäåëüíûå òî÷êè, lim xn è lim xn , åñëè a) xn = 1 − n1 ; b) xn = (−1)n (2 +n→∞3);c)xn =n[ a) 0,n→∞nnn(−1) ; d) xn = n(−1) ; e) xn = 1 + n+1cos nπ.21; b) − 2, +2; c) − 1, +1; d) lim xn =n→∞0, lim xn = ∞; e) − 1, 0; +1, e) lim xn = −1, lim xn = ∞ ].n→∞n→∞n→∞6. Íàéòè ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè√ 1+ √n12 +2 + ...

+ √n12 +n .n2 +1[ Óêàçàíèå: zn < xn < yn , zn =38√ n,n2 +n{xn },yn =åñëè√ nn2 +1].xn =3.2. Êðèòåðèé Êîøè.À. Îñíîâíàÿ òåîðåìà.Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } ñõîäèëàñü, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ ε > 0 ∃ nε òàêîå, ÷òîäëÿ ∀n > nε è äëÿ ∀p ∈ N âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî|xn+p − xn | < ε.Âòîðóþ ïîëîâèíó ýòîé òåîðåìû ìîæíî çàìåíèòü : "...÷òî äëÿ∀n > nε è ∀m > nε âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî |xm − xn | < ε. "Á. Êîíòðîëüíûå çàäàíèÿ.1. Ñôîðìóëèðóéòå êðèòåðèé Êîøè ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.2.

Äàéòå ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ ýòîé òåîðåìû.Â. Ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷.Ïðèìåð 27. Ïîëüçóÿñü êðèòåðèåì Êîøè, äîêàçàòü ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn }, ãäå xn =nPcos(k!)k=1k(k+1).Ðåøåíèå. Îöåíèì |xn+p − xn | . Èìååì |xn+p − xn | =¯¯¯ n+p¯¯ P cos(k!) ¯111=¯+ (n+2)(n+3)+ ... + (n+p)(n+p+1)=¯ ≤ (n+1)(n+2)¯k=n+1 k(k+1) ¯1= ( n+1−<1n+11)n+21+ ( n+2−1)n+31+ ...( n+p−1)n+p+1=1n+1−1n+p+1<< ε.Îòñþäà, ïðè n > nε = [ 1ε −1 ] êðèòåðèé Êîøè âûïîëíÿåòñÿ.Ñëåäîâàòåëüíî, äàííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ.Ïðèìåð 28.

Ïîëüçóÿñü êðèòåðèåì Êîøè, äîêàçàòü ðàñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn }, åñëè xn =39nP1.kk=1Ðåøåíèå. Îöåíèì |xn+p − xn | . Èìååì |xn+p − xn | ==n+pPk=n+11k>p.n+pÝòî íåðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâî äëÿ ∀n, ∀p ∈N.  ÷àñòíîñòè, ïðè p = n èìååì |xn+p − xn | > 1/2 äëÿ∀n ∈ N.

Ïîýòîìó, åñëè â êà÷åñòâå ε âçÿòü 1/2, òî ïðè ∀nè n = p, èìååì: |xn+p − xn | > ε. Ýòî äîêàçûâàåò, ÷òî íàøàïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàñõîäèòñÿ.Ã. Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû.1. Ïîëüçóÿñü êðèòåðèåì Êîøè, äîêàçàòü ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn }, åñëè:a) xn = a0 + a1 · q + a2 · q 2 + ... + an · q n , ãäå |ak | < M,(k = 0, 1, 2, ...) è |q| < 1.b) xn =nPsin k;2kk=1c) xn =nP1;k2d) xn =k=1nP1.k!k=12. Ïîëüçóÿñü êðèòåðèåì Êîøè, äîêàçàòü ðàñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn }, åñëè:a) xn =nPk=1(−1)n ; b) xn =nP√1 .k=1k3.3. Ìîíîòîííûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Áåñêîíå÷íîìàëûå è áåñêîíå÷íî áîëüøèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.À.

Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è òåîðåìû.1. {xn } íàçûâàåòñÿ ìîíîòîííî âîçðàñòàþùåé (óáûâàþùåé),åñëè äëÿ ∀n ∈ N (èëè íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî íîìåðà) âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî xn ≤ xn+1 (xn ≥ xn+1 ). Ïðè ñòðîãîìíåðàâåíñòâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn íàçûâàåòñÿ ñòðîãî ìîíîòîííîé.40Òåîðåìà 1. Âñÿêàÿ îãðàíè÷åííàÿ ñâåðõó (ñíèçó) ìîíîòîííîâîçðàñòàþùàÿ (óáûâàþùàÿ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìååò ïðåäåë,ïðè÷åì lim xn = sup{xn } ( lim xn = inf{xn }).n→∞n→∞2. {xn } íàçûâàåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé (á. ì.), åñëè ∀ε > 0 ∃ nεòàêîå, ÷òî ∀ n > nε : |xn | < ε (ïèøóò lim xn = 0 ) .n→∞3. {xn } íàçûâàåòñÿ áåñêîíå÷íî áîëüøîé (á.

á.), åñëè äëÿ∀ M > 0 ∃ NM òàêîå, ÷òî ∀n > NM : |xn | > M, (ïèøóòlim xn = ∞ ).n→∞Òåîðåìà 2. Àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà êîíå÷íîãî ÷èñëà á.ì.ï. ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ.Òåîðåìà 3. Ïðîèçâåäåíèå á.ì.ï. íà îãðàíè÷åííóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÿâëÿåòñÿ á.ì.ï.Á. Êîíòðîëüíûå çàäàíèÿ.1. Äëÿ êàêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îãðàíè÷åííîñòü ÿâëÿåòñÿíåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ñõîäèìîñòè?2. Äîêàæèòå ìîíîòîííîñòü è îãðàíè÷åííîñòü (ñíèçó ÷èñëîì2, ñâåðõó - ÷èñëîì 3) ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn } ñ îáùèì ÷ëåíîìxn = (1 + n1 )n .

Òîãäà lim (1 + n1 )n ñóùåñòâóåò è ñîâïàäàåò ñn→∞÷èñëîì e ≈ 2, 7182818284590.3. Äàéòå ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ á.ì.ï. è á.á.ï.4. Ïóñòü áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ÷ëåíîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íàõîäèòñÿ: à) â ëþáîé îêðåñòíîñòè íóëÿ; á) âíå ëþáîé îêðåñòíîñòè íóëÿ. Ñëåäóåò ëè èç ýòèõ óñëîâèé à) èëè á), ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÿâëÿåòñÿ á.ì.?, á.á.?, îãðàíè÷åííîé?, íåîãðàíè÷åííîé? Ñëåäóåò ëè èç ýòèõ óñëîâèé, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íånnÿâëÿåòñÿ á.ì.?, á.á.? ( Ðàññìîòðåòü ïðèìåð xn = (−1)+ 1+(−1)).n25. Êàêîâà ñâÿçü ìåæäó á.ì.

è á.á. ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿìè?416. Êàêîâà ñâÿçü ìåæäó íåîãðàíè÷åííîé è á.á.ï.?7. Ïóñòü 1) lim xn = lim yn = 0; 2) lim xn = lim yn = ∞.n→∞n→∞n→∞n→∞Ìîæåò ëè {xn/yn }, ãäå äëÿ ∀ n yn 6= 0, áûòü á.á.?, á.ì.?,ñõîäÿùåéñÿ?, ðàñõîäÿùåéñÿ, íî íå á.á.? Îòâåòû îáîñíîâàòü ïðèìåðàìè.8. Åñëè {xn + yn } − á.ì.ï., òî {xn } è {yn } òàêæå á.ì..Âñåãäà ëè âåðíî ýòî óòâåðæäåíèå? Îòâåò îáîñíóéòå ïðèìåðàìè.9. Ïóñòü {xn · yn }− á.ì.ï.. ×òî ìîæíî ñêàçàòü î {xn } è {yn }?Â. Ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷.Ïðèìåð 29.

Äîêàçàòü, ÷òî x→∞lim qnn = 0, åñëè q > 1.Ðåøåíèå. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè xn =n,qnlim n+1n→∞ nqòî xn+1 = qn+1n+1 =n+1xn äëÿ ∀n ∈ N. Ïîñêîëüêó= 1q (äîêàæèòånqñàìîñòîÿòåëüíî), òî ∃ n0 , ÷òî ïðè ∀ n > n0 n+1< 1 (ò.ê.qn1< 1 ). Òàêèì îáðàçîì, ïðè n > n0 áóäåì èìåòü xn+1 < xn ,qò.å. ïîñëå ÷ëåíà xn0 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn ìîíîòîííî óáûâàåò. ×ëåíû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïîëîæèòåëüíû, îíà îãðàíè÷åíàñíèçó. Çíà÷èò, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìååò ïðåäåë.Ïóñòü a − ïðåäåë {xn }.

Èç ñîîòíîøåíèÿ xn+1 = n+1· xnnqn+1n+1ñëåäóåò a = lim xn+1 = lim nq · xn = lim nq · lim xn =n→∞n→∞n→∞n→∞1· a, îòêóäà ñëåäóåò (1 − 1q )a = 0 è a = 0. ( Çäåñü ìûqâîñïîëüçîâàëèñü ñâîéñòâîì lim (xn · yn ) = lim (xn ) · lim (yn ),n→∞n→∞n→∞åñëè ïðåäåëû ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé {xn } è {yn } ñóùåñòâóþò.(Ýòî ñâîéñòâî áóäåò ðàññìîòðåíî íèæå).Ïðèìåð 30. Äîêàçàòü, ÷òî n→∞lim 2n!n = ∞.Ðåøåíèå. Âûøå (ñì. ï.Â, ïðèìåð 23 ) ìû ïîêàçàëè, ÷òînïîñëåäîâàòåëüíîñòü {2 /n!} ñõîäèòñÿ ê íóëþ, ò.å. îíà á.ì.. À42ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {1/xn },lim 1/xn = ∞.nxn = 2 /n! 6= 0 áóäåò á.á., ò.å.n→∞Ã. Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû.1. Äîêàçàòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } ìîíîòîííî âîçðàñòàþùàÿ è îãðàíè÷åííàÿ:2a) xn = 3n−1;b) xn = 1−3n;c) xn = √nn2 +n ;5n+4√d) xn = 2n − 4n2 + 3.2.

Äîêàçàòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } ìîíîòîííî óáûâàþùàÿ è îãðàíè÷åííàÿ:√√17;b)x=;c)x=2n+3−2n;a) xn = 1−3nnn3+2n2n+7√d) xn = n2 + 2n + 2 − n.3. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } çàäàíà ðåêóððåíòíî: a) x1 == a, xn+1 = 2xn − 1. Ïðè êàêèõ a ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn }ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííî âîçðàñòàþùåé?á) a) x1 = b, xn+1 = 3xn − 2.

Ïðè êàêèõ b ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííî óáûâàþùåé?4. Äîêàæèòå ñõîäèìîñòü è âû÷èñëèòå ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëürqq√√√íîñòè {xn }, åñëè x1 = 2; x2 = 2 + 2; x3 = 2 + 2 + 2;rq√... ... xn = 2 + 2 + ... + 2 − (âñåãî n êîðíåé).[2]5. Äîêàæèòå ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn }, åñëèxn = (1 + 21 ) · (1 + 14 ) · ... · (1 + 21n ).6.

Äîêàæèòå ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn }, åñëèp1pnxn = p0 + 10+ ... + 10ãäå pi (i = 0, 1, 2, ...) −n ; (n = 1, 2, ...)öåëûå íåîòðèöàòåëüíûå ÷èñëà, íå ïðåâûøàþùèå 9, íà÷èíàÿ ñp1 .437. Äîêàçàòü ìîíîòîííîñòü, îãðàíè÷åííîñòü è íàéòè ïðåäåë:a) xn = (1 − 212 ) · (1 − 312 ) · ... · (1 − n12 );1). [ a) 1/2 ; b) 1/3 ].b) xn = (1 − 13 ) · (1 − 16 ) · ... · (1 − n(n+1)23.4. Ñâîéñòâà ñõîäÿùèõñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé.À. Îñíîâíûå òåîðåìû.1. Åñëè lim xn = a, lim xn = b, òî a) a) lim (xn ± yn ) =n→∞n→∞n→∞a ± b; b) n→∞lim (xn · yn ) = a · b, c) åñëè b 6= 0, òî íà÷èíàÿñ íåêîòîðîãî íîìåðà îïðåäåëåíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü { xynn } èlim xynn = ab .n→∞lim yn = 0, òî lim xynn íàçûâàåòn→∞ñÿ íåîïðåäåëåííîñòüþ òèïà (0/0).

Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿíåîïðåäåëåííîñòè òèïà (0 · ∞), (∞ − ∞). Äëÿ òàêèõ íåîïðåäåëåííîñòåé ñôîðìóëèðîâàííàÿ âûøå òåîðåìà íå èìååò ìåñòà.2. Åñëè lim xn = a, è ∀ n > n0 xn ≥ b (xn ≤ b), òîn→∞a ≥ b (a ≤ b).3. Åñëè lim xn = a, lim xn = b, è íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãîn→∞n→∞íîìåðà âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà xn ≤ zn ≤ yn , òî lim zn = a.n→∞Åñëèlim xn = 0,n→∞n→∞Á.