Введение в мат анализ в вопросах и задачах. Учебное пособие Анчиков А.М, страница 3

Íàïðèìåð, Ln(−5) = ln 5 + i(π +2πk), k = 0, ±1, ±2, ... òàê êàê |−5| = 5, arg(−5) = ϕ = π.Á. Êîíòðîëüíûå âîïðîñû è çàäàíèÿ.1. Äàéòå ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ êîìïëåêñíîìó ÷èñëó z, ; ñîïðÿæåííîìó ïî îòíîøåíèþ ê êîìïëåêñíîìó ÷èñëó z.2. Ïîêàæèòå, ÷òî êîìïëåêñíîå ÷èñëî ðàâíî íóëþ òîãäà èòîëüêî òîãäà, êîãäà ðàâíî íóëþ ñîïðÿæåííîå ê íåìó ÷èñëî.3.

Ïîêàæèòå, ÷òî ÷àñòíîå äâóõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë z1 è z2ìîæíî ïîëó÷èòü, åñëè ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü óìíîæèòü íà÷èñëî, êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííîå ê çíàìåíàòåëþ.4. Ñêîëüêî ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé ìîæíî ïîëó÷èòü ïðè èçâëå÷åíèè êîðíÿ n ñòåïåíè èç êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z ? Ïîëîæèòå,â ÷àñòíîñòè z = −1, n = 2.5. Ïîêàæèòå, ÷òî ïðàâèëà ñëîæåíèÿ è âû÷èòàíèÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë èäåíòè÷íû ïðàâèëàì ñëîæåíèÿ è âû÷èòàíèÿ âåêòîðîâ.6. Ïîëüçóÿñü èíòåðïðåòàöèåé êîìïëåêñíîãî ÷èñëà êàê âåêòîðà íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè, äîêàæèòå íåðàâåíñòâà: |z1 + z2 | ≤|z1 | + |z2 | , |z1 − z2 | ≥ |z1 | − |z2 | .7.

Ïîêàæèòå, ÷òî ìîäóëü ðàçíîñòè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë èìååò ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ñîîòâåòñòâóþùèìèòî÷êàìè íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè.218. Ïîêàæèòå, ÷òîwk =√nz=√nr(cosϕ + 2πkϕ + 2πk+ i sin), k = 0, n − 1,nnðàñïîëîæåíû â âåðøèíàõ ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà, âïèñàí√íîãî â îêðóæíîñòü ðàäèóñà ρ = n r ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò.9. Ïîêàæèòå, ÷òî ez íå îáðàùàåòñÿ â íóëü íè â îäíîé òî÷êåêîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè z.10. Ïîêàæèòå, ÷òî åñëè z1 = r1 eiϕ1 , z2 = r2 eiϕ2 , r2 6= 0, òîz1 z2 = r1 r2 ei(ϕ1 +ϕ2 ) ;r1z1= ei(ϕ1 −ϕ2 ) ; z n = rn einϕ .z2r211.

Ïîêàæèòå, ÷òî ei2πk = 1, (k = 0, ±1, ±2, ...).12. Ïîêàæèòå, ÷òî ôîðìóëà óìíîæåíèÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåëz1 è z2 ïîëó÷àåòñÿ, åñëè ôîðìàëüíî ïåðåìíîæèòü äâó÷ëåíûx1 +i y1 è x1 +i y2 ïî îáû÷íîìó ïðàâèëó óìíîæåíèÿ äâó÷ëåíîâ,à çàòåì çàìåíèòü i2 íà −1.Â. Ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷.Ïðèìåð 8. Íàéòè ñóììó è ïðîèçâåäåíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåëz1 = −2 + 3i, z2 = 7 − 8i.Ðåøåíèå. z1 +z2 = (−2+7)+(3−8)i = 5−5i. Ïðîèçâåäåíèåíàõîäèì ôîðìàëüíûì ïåðåìíîæåíèåì äâó÷ëåíîâ (−2 + 3i) è(7 − 8i) : z1 · z2 = (−2 + 3i) · (7 − 8i) = 14 + 16i + 21i − 24i2 =10 + 37i.Ïðèìåð 9.

Äàíû êîìïëåêñíûå ÷èñëà z1 = −1 + 6i è z2 =2 + 5i. Íàéòè ðàçíîñòü z2 − z1 è ÷àñòíîå22z2.z1Ðåøåíèå. z2 − z1 = (2 + 5i) − (−1 + 6i) = 3 − i. ×àñòíîåíàõîäèì ïî ôîðìóëå (23):z22 + 5i(−1) · 5 − 2 · 62817===−i .22z1−1 + 6i(−1) + (6)3737Ïðèìåð 10. Âûïîëíèòü äåéñòâèÿ3+i.(1+i)(1−2i)Ðåøåíèå. Ïåðåìíîæèâ ÷èñëà, ñòîÿùèå â çíàìåíàòåëå, ïîëó÷èì3+i3+i3+i==.(1 + i)(1 − 2i)1 − 2i + i + 23−iÓìíîæèì ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü äðîáè íà ÷èñëî, ñîïðÿæåííîå çíàìåíàòåëþ, òîãäà9 + 6i − 143(3 + i)(3 + i)== +i .(3 − i)(3 + i)9+155Ïðèìåð 11. Íàéòè ìîäóëü è àðãóìåíò êîìïëåêñíîãî ÷èñëà√z = − 3 + i è çàïèñàòü åãî â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå.√Ðåøåíèå.

r = |z| = 3 + 1 = 2, tgϕ = xy = − √13 ; ïðè√íàõîæäåíèè ϕ ó÷òåì, ÷òî êîìïëåêñíîå ÷èñëî z = − 3 + iðàñïîëîæåíî âî âòîðîì êâàäðàíòå. Ñëåäîâàòåëüíî, ϕ = 65 π +2πk, (k = 0, ±1, ±2, ...). z = 2(cos 65 π + i sin 56 π).√Ïðèìåð 12. Íàéòè ïðîèçâåäåíèå ÷èñåë z1 = 2(cos 114 π +√i sin 118(cos 38 π + i sin 38 π).π)èz=24Ðåøåíèå. Äëÿ ðåøåíèÿ ïîñòàâëåííîé çàäà÷è âîñïîëüçóåìñÿ√√ôîðìóëîé (25). r1 = |z1 | = 2, r2 = |z2 | = 8, r = r1 r2 = 4.Àðãóìåíò ïðîèçâåäåíèÿ z1 z2 åñòü ñóììà ϕ1 + ϕ2 = 11π + 83 π =49π + 2π. Ñëåäîâàòåëüíî, z1 · z2 = 4(cos 98 π + i sin 98 π).823Ïðèìåð 13.

Çàïèñàòü â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå êîìïëåêñíîå ÷èñëî√(cos π3 − i sin π3 )( 3 + i)z=.i−1Ðåøåíèå. ×èñëî z1 = (cos π3 −i sin π3 ) èìååò ìîäóëü, ðàâíûé√1 è àðãóìåíò ϕ1 = − π3 . ×èñëî z2 = 3 + i èìååò ìîäóëü 2√è àðãóìåíò ϕ2 = − 43 . ×èñëî z3 = i − 1 èìååò ìîäóëü2 è3πàðãóìåíò 4 . Ïîýòîìó1·2 √π π 3|z1 | |z2 |= √ = 2, ϕ = ϕ1 + ϕ2 − ϕ3 = − + − π =z33 6 42√11= − 11π.Ñëåäîâàòåëüíî,z=2(cos 11π − i sin 12π).1212|z| =Ïðèìåð 14.

Âîçâåñòè â äåâÿòóþ ñòåïåíü êîìïëåêñíîå ÷èñëîz=√3 − i.Ðåøåíèå. r = |z| = 2, ϕ = − π6 .√ππ33( 3−i)9 = 29 [cos(− ·9)+i sin(− ·9)] = 29 [cos π−i sin π] = 512i.6622√Ïðèìåð 15. Íàéòè âñå çíà÷åíèÿ 4 −16.Ðåøåíèå. Çàïèøåì ÷èñëî z = −16 â òðèãîíîìåòðè÷åñêîéôîðìå: z = −16 = 16(cos π + i sin π). Ñîãëàñíî ôîðìóëàì (28)ïîëó÷àåì:√√ππw0 = 2(cos + i sin ) = 2 + i 2,44√√3π3πw1 = 2(cos+ i sin ) = − 2 + i 2,44√√5π5πw2 = 2(cos+ i sin ) = − 2 − i 2,4424√√7π7π+ i sin ) = 2 − i 2.44Ïðèìåð 16.Ïðåäñòàâèòü â ïîêàçàòåëüíîé ôîðìå êîìïëåêñ√íîå ÷èñëî z = 83 − i 18 .w3 = 2(cosÐåøåíèå. |z| = r =q3641+ 64= 14 .

tgϕ = − 13 , ϕ = − π6π(ò.ê. z íàõîäèòñÿ â ÷åòâåðòîì êâàäðàíòå), z = 14 e− 6 i .q√Ïðèìåð 17. Çàïèñàòü âñå çíà÷åíèÿ êîðíÿ 4 3 + i â ïîêàçàòåëüíîé ôîðìå.Ðåøåíèå.q√43+i=√42eiπ/6 =√42 · ei12k+1π24, k = 0, 1, 2, 3.Ã. Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû.1. Íàéòè ñóììó è ïðîèçâåäåíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë z1 èz2 , åñëèa) z1 = 4 + 5i, z2 = 3 − 2i;[7 + 3i; 22 + 7i].√√√√√b) z1 = 2 − 3i, z2 = 2 + 3i; [2 2 ; 5].2. Íàéòè ðàçíîñòü z2 − z1 è ÷àñòíîå z2/z1 êîìïëåêñíûõ÷èñåë z1 è z2 , åñëèa) z1 = 3 + 4i, z2 = 0, 4 − 0, 2i; [−2; 6 − 4, 2i].√.√√b) z1 = 5 − i, z2 = 5 − 2i; [−i; 7/6 − i 5 6].3.

Âûïîëíèòü äåéñòâèÿ:√√1313a) 2i( +i)(− +i); [−2i] .2222(1 + i)1√ ; [ (1 − i)] .c) √( 3 + i)(1 + i 3) 425b)1+i 1−i+;1−i 1+i[0] .4. Íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè M, èçîáðàæàþùåé êîìïëåêñ5i − 28i − 3íîå ÷èñëî z =+i+.[ M (−1, 5; 4, 7) ]3i + 12−i5. Íàéòè äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë:(2 − i)3(1 + i)31; [ Rez = −1, 52 ]. b) z =+ 10 ;3 + 4i1−ii[ Rez = −3 ].a) z =i13 − i14+ i10 ;1 + i15225[−i ].159 3186. Âûïîëíèòü äåéñòâèÿ: a)b)(1 + 2i)2 − (1 − i)3;(3 + 2i)3 − (2 + i)2[ −1 + i ].7. Ïðè êàêèõ äåéñòâèòåëüíûõ çíà÷åíèÿõ a êîìïëåêñíîå÷èñëî z = (1 − ai)3 − (2 + ai)2 ÿâëÿåòñÿ : a) äåéñòâèòåëüíûì,b) ÷èñòî ìíèìûì?√√[ a) ïðè a = − 7, a = 0, a = 7; b) íè ïðè êàêîì a ].8.

Îïðåäåëèòü, ïðè êàêèõ äåéñòâèòåëüíûõ çíà÷åíèÿõ x èy êîìïëåêñíûå ÷èñëà z1 = y 2 − 7y + 9xi è z2 = −12 + 20i + x2 iðàâíû. [ 4; 3 ].9. Ðåøèòü óðàâíåíèÿ:a) (1 + 2i)(z − i) + (4i − 3)(1 − iz) + 1 + 7i = 0;√312b) z + z = 0;[0, −1, ±i].2210. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé: z + 2z = 1 + i,12 3z1 + iz2 = 2 − 3i.[−1 − i].[ z1 = 1 − i, z2 = i ].2611.

Äîêàçàòü ðàâåíñòâà:a) z1 ± z2 = z1 ± z2 ;b) (z1/z2 ) = z1/z2 ;d) (z n ) = (z)n .c) z1 · z2 = z1 · z2 ;12. Äîêàçàòü ðàâåíñòâà:|z1 · z2 | = |z1 | · |z2 | ,¯ ¯¯ z1 ¯|z |¯ ¯= 1 .¯ ¯z2|z2 |13. Íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè äàíû òî÷êè z2 , z2 , z3 , ÿâëÿþùèåñÿ òðåìÿ ïîñëåäîâàòåëüíûìè âåðøèíàìè ïàðàëëåëîãðàììà. Íàéòè ÷åòâåðòóþ âåðøèíó.[z1 + z3 − z2 ].14. Íàéòè ìíîæåñòâî òî÷åê êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè, çàäàííîå óñëîâèåì:a) |z + 1| = 1;b) |z + 2i − 1| ≤ 2;c) |z − 2|2 + |z + 2|2 = 26;d) sin |z| > 0.[ à) Îêðóæíîñòü R = 1, öåíòð â òî÷êå z = −1.b) Êðóã ñãðàíèöåé, R = 2, öåíòð â òî÷êå z = 1 − 2i.c) Îêðóæíîñòü,R = 3, öåíòð â òî÷êå z = 0.d) Ñèñòåìà êîíöåíòðè÷åñêèõïîëåé.

]15. Ïðåäñòàâèòü êîìïëåêñíîå ÷èñëî z â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå:√a) z = − 3 + i, b) z = −1, c)z = i,d) z = − cos[ a) 2(cos 65 π + i sin 65 π);b) cos π + i sin π;π1313+ i sin 2 ; d) cos 12 π + i sin 12 π. ]27ππ− i sin.1212c) cos π2 +16. Çàïèñàòü êîìïëåêñíîå ÷èñëî z â àëãåáðàè÷åñêîé è òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìàõ:a) z =cos 5π/3 + i sin 5π/3;cos π/6 + i sin π/6ib) z = 1/(cos 4π/3 − i sin 4π/3); c) z =.(1 + i)2√134π4π[ a) z = 1 = cos 0+i sin 0; b) z = − −i= cos +i sin ;223311c) z = 2 = 2 (cos 0 + i sin 0) ].17.

Çàïèñàòü êîìïëåêñíîå ÷èñëî z â àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìå:√i3 12a) z = ( −) ; b) z = (cos 310 + i sin 310 )−10 .22[ a) 1;b) (cos 500 + i sin 500 ) ].18. Çàïèñàòü êîìïëåêñíîå ÷èñëî z â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé√√3i+1 6b) z = ( i−1ôîðìå: a) z = ( 3 − i)100 ;).+ i sin 4π);[ a) 2100 (cos 4π33b) 8 (cos 3π+ i sin 3π) ].2219. Ïðè êàêèõ öåëûõ çíà÷åíèÿõ n ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî(1 + i)n = (1 − i)n ? [ n = 4k, k = 0, 1, 2, ... ].√20. Íàéòè âñå çíà÷åíèÿ n z, åñëè: a) z = −1, n = 3;b) z = 8i, n = 3;c) z = 1, n = 5.√√√√b) 3 + i, − 3 + i, −2i ;[ a) 21 + i 23 , −1, 12 − i 23 ;c) cos 2πk/5 + i sin 2πk/5; k = 0, 1, 2, 3, 4.

]21. Èçâëå÷ü êîðíè èç êîìïëåêñíûõ ÷èñåë:√√√a) 3 −125; [ 2, 5 + 2, 5 · 3 · i; −5; 2, 5 − 2, 5 · 3 · i ];28q√√√−6 + 6 3i; [ 3 + 3i; − 3 − 3i ];√√√√√c) 6 −64; [ 3 + i; 2i; − 3 + i; − 3 − i; −2i;3 − i ].b)22. Íàéòè äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî b èç óñëîâèÿ, ÷òî òî÷êè,èçîáðàæàþùèå êîìïëåêñíûå ÷èñëà 3 − 5i, 1 − i è −2 + bi,ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. [ b = 5 ]√23. Äàíî êîìïëåêñíîå ÷èñëî z = 3 − i. Íàéòè âñå êîìïëåêñíûå ÷èñëà zb; òàêèå, ÷òî |zb| = 2 |z| , à |arg zb − arg z| = π3 .√[ zb1 = −4i; zb2 = 2 3 + 2i ].24. Ðåøèòü óðàâíåíèÿ:a) z 2 + 3 |z| = 0; [ z1 = 0, z2 = 3i, z3 = −3i ].b) z 2 − 3z = 0; [ z1 = 0; z2 = 3 ].25.