Введение в мат анализ в вопросах и задачах. Учебное пособие Анчиков А.М

ÊÀÇÀÍÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ ÔÀÊÓËÜÒÅÒÀ.Ì. Àí÷èêîâ, Ð.Ë. Âàëèóëëèí, Ð.À. ÄàèøåâÂÂÅÄÅÍÈÅ Â ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉÀÍÀËÈÇ Â ÂÎÏÐÎÑÀÕ È ÇÀÄÀ×ÀÕ.Êàçàíü 2006ÓÄÊ 517.5Ïå÷àòàåòñÿ ïî ðåøåíèþÐåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêîãî ñîâåòà ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòàÊàçàíñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòàÐåöåíçåíò ê.ô.-ì.í., äîöåíò Ì.Ï. ÆåëèôîíîâÀ.Ì. Àí÷èêîâ, Ð.Ë. Âàëèóëëèí, Ð.À. Äàèøåâ. Ââåäåíèå â ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç â âîïðîñàõ è çàäà÷àõ. Êàçàíü, 2006.Äàííîå ïîñîáèå ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ ñòóäåíòîâ 1-ãî êóðñà ôèçè÷åñêîãîôàêóëüòåòà. Îíî ïðèçâàíî ïîìî÷ü ñòóäåíòàì, òîëüêî ÷òî ïîñòóïèâøèì íàïåðâûé êóðñ ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà Êàçàíñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà, ïðåîäîëåòü áàðüåð ìåæäó øêîëüíîé è âóçîâñêîé ìàòåìàòèêîé,ìåæäó ñïîñîáàìè èçó÷åíèÿ ìàòåìàòèêè â ñðåäíåé øêîëå è íà ôèçè÷åñêîì ôàêóëüòåòå óíèâåðñèòåòà.

 í¼ì êðàòêî èçëàãàþòñÿ îñíîâíûå ïîíÿòèÿ, îïðåäåëåíèÿ è òåîðåìû ïî ìåòîäàì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè, òåîðèè÷èñëîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, ôóíêöèé îäíîãî àðãóìåíòà, èõ ïðåäåëîâ èíåïðåðûâíîñòè.  êàæäîì ïàðàãðàôå ïðåäëàãàþòñÿ êîíòðîëüíûå âîïðîñû è çàäàíèÿ, ïðèâîäÿòñÿ ðåøåíèÿ ìíîæåñòâà ïðèìåðîâ è çàäà÷, à òàêæåïðèâîäÿòñÿ çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ, ïðåäíàçíà÷åííûå äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîéðàáîòû.

Ïðèâîäÿòñÿ îòâåòû è óêàçàíèÿ ê ðåøåíèþ íàèáîëåå òðóäíûõ çàäà÷.c Êàçàíñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò, 2006.°Óêàçàòåëü îñíîâíûõ îáîçíà÷åíèé.N - ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë,Z - ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë,R - ìíîæåñòâî âåùåñòâåííûõ ÷èñåë,C - ìíîæåñòâî êîìïëåêñíûõ ÷èñåë,[ a, b ] - ñåãìåíò, (îòðåçîê),[ a, ∞ ), ( a, ∞ ), ( −∞, a ], ( −∞, a ) - ïîëóïðÿìàÿ,∃ x - ñóùåñòâóåò òàêîå x ,∀ x - äëÿ ëþáîãî x,x ∈ X - ÷èñëî x ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó X ,"ε- îêðåñòíîñòü" òî÷êè a − íà ÷èñëîâîé îñè - èíòåðâàë(a − ε, a + ε) ;íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè - îòêðûòûé êðóã |z − a| < ²,nε ∈ N - íàòóðàëüíîå ÷èñëî, çàâèñÿùåå îò ε > 0,nM - íàòóðàëüíîå ÷èñëî, çàâèñÿùåå îò M (M ìîæåò áûòüñêîëü óãîäíî áîëüøèì).3Ÿ1.

Ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè.À. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è òåîðåìû.Äîêàçàòåëüñòâî âåðíîñòè ãèïîòåç â íàóêå îñóùåñòâëÿåòñÿýêñïåðèìåíòàëüíûì, èíäóêòèâíûì èëè äåäóêòèâíûì ìåòîäàìè.Äåäóêòèâíûé ìåòîä - ïåðåõîä îò îáùèõ óòâåðæäåíèé ê ÷àñòíûì.Èíäóêòèâíûé ìåòîä - ìåòîä ðàññóæäåíèÿ, ïðè êîòîðîì íàîñíîâå ðàññìîòðåíèÿ íåñêîëüêèõ ÷àñòíûõ ïðåäëîæåíèé äåëàåòñÿ çàêëþ÷åíèå îá îáùåì.Ïîëíàÿ èíäóêöèÿ. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå."Êàæäîå ÷åòíîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî ...

â ïðåäåëàõ îò 1 äî 100ïðåäñòàâèìî â âèäå ñóììû äâóõ ïðîñòûõ ÷èñåë." Äëÿ ýòîãî ïåðåáèðàþòñÿ âñå òàêèå ÷èñëà è âûïèñûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèåðàçëîæåíèÿ:4 = 2 + 2; 6 = 3 + 3; 8 = 5 + 3; ......; 98 = 93 + 5; 100 = 97 + 3.Ýòè 49 ðàâåíñòâ ïîêàçûâàþò, ÷òî êàæäîå èç èíòåðåñóþùèõíàñ ÷èñåë äåéñòâèòåëüíî ïðåäñòàâèìî â âèäå ñóììû äâóõ ïðîñòûõ ÷èñåë.

Îáùåå óòâåðæäåíèå äîêàçàíî çäåñü ïåðåáîðîì âñåõâîçìîæíûõ ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ.Òàêîé ìåòîä ïåðåáîðà êîíå÷íîãî ÷èñëà ñëó÷àåâ, èñ÷åðïûâàþùèõ âñå âîçìîæíîñòè, íàçûâàåòñÿ ïîëíîé èíäóêöèåé. Ýòîòìåòîä èìååò âåñüìà îãðàíè÷åííóþ îáëàñòü ïðèìåíèìîñòè â ìàòåìàòèêå.Íåïîëíàÿ èíäóêöèÿ. Èíîãäà îáùèé ðåçóëüòàò óäàåòñÿ ïðåäóãàäàòü ïîñëå ðàññìîòðåíèÿ íå âñåõ, à äîñòàòî÷íî áîëüøîãî ÷èñëà ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ. Çäåñü ìû èìååì íåïîëíóþ èíäóêöèþ.

Ðåçóëüòàò, ïîëó÷åííûé íåïîëíîé èíäóêöèåé, îñòàåòñÿ, îäíàêî,4ëèøü ãèïîòåçîé, ïîêà îí íå äîêàçàí òî÷íûì ìàòåìàòè÷åñêèìðàññóæäåíèåì, îõâàòûâàþùèì âñå ÷àñòíûå ñëó÷àè. Íåïîëíàÿèíäóêöèÿ ìîæåò ïðèâåñòè ê îøèáêå.Ðàññìîòðèì ïðèìåð. Äâóõ÷ëåí xn − 1, ãäå n - íàòóðàëüíîå ÷èñëî, ðàçëîæèì íà ìíîæèòåëè ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè.Ðàññìîòðèì ýòè ðàçëîæåíèÿ ïðè ìíîãèõ ÷àñòíûõ çíà÷åíèÿõ n.Âñå êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå íå ïðåâîñõîäÿò åäèíèöû  ñàìîì äåëå,(x − 1) = x − 1,(x2 − 1) = (x − 1)(x + 1),(x3 − 1) = (x − 1)(x2 + x + 1),(x4 − 1) = (x − 1)(x + 1)(x2 + 1),(x5 − 1) = (x − 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1),(x6 − 1) = (x − 1)(x + 1)(x2 + x + 1)(x2 − x + 1),.............................................................................................Ïîïûòêè äîêàçàòü ýòîò ôàêò äëÿ âñÿêîãî n óñïåõà íå èìåëè. Îêàçàëîñü, ÷òî óêàçàííûì ñâîéñòâîì îáëàäàþò âñå äâóõ÷ëåíû xn − 1, ñòåïåíü êîòîðûõ ìåíüøå 105.

Äâóõ÷ëåí x105 − 1 èìååòîäèí èç ìíîæèòåëåé, ðàâíûé x48 + x47 + x46 − x43 − x42 − 2x41 −x40 − x39 + x36 + x35 + x34 + x33 + x32 + x31 − x28 − x26 − x22 − x20 +x17 + x16 + x15 + x14 + x13 + x12 − x9 − x8 − 2x7 − x6 − x5 − x2 + x + 1,êîòîðûé íå îáëàäàåò óêàçàííûì âûøå ñâîéñòâîì.Ìîæíî ïðèâåñòè ìíîæåñòâî äðóãèõ ïðèìåðîâ, êîòîðûå ïîçâîëÿþò ñäåëàòü ïðîñòîé è â òî æå âðåìÿ âàæíûé âûâîä.5Óòâåðæäåíèå ìîæåò áûòü ñïðàâåäëèâûì â öåëîì ðÿäå ñëó÷àåâ è â òî æå âðåìÿ íåñïðàâåäëèâûì âîîáùå.Òåïåðü âîçíèêàåò âîïðîñ. Èìååòñÿ óòâåðæäåíèå, ñïðàâåäëèâîå â íåñêîëüêèõ ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ. Âñå ÷àñòíûå ñëó÷àè ðàññìîòðåòü íåâîçìîæíî. Êàê æå óçíàòü, ñïðàâåäëèâî ëè óòâåðæäåíèåâîîáùå? Ýòîò âîïðîñ èíîãäà óäàåòñÿ ðåøèòü ïîñðåäñòâîì ïðèìåíåíèÿ îñîáîãî ìåòîäà ðàññóæäåíèé, íàçûâàåìîãî ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè. îñíîâå ýòîãî ìåòîäà ëåæèò ïðèíöèï, çàêëþ÷àþùèéñÿ âñëåäóþùåì:Ïóñòü A(n) - ïðåäëîæåíèå (óòâåðæäåíèå), çàâèñÿùåå îò íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n.

Òîãäà, åñëè 1◦ . A(n) ñïðàâåäëèâî ïðèn = n0 ≥ 1; 2◦ . äëÿ ëþáîãî n = k ≥ n0 èç ñïðàâåäëèâîñòèA(k) ñëåäóåò ñïðàâåäëèâîñòü A(k + 1), òî ïðåäëîæåíèå A(n)ñïðàâåäëèâî äëÿ âñåõ n ≥ n0 .Èòàê, ïðè ïîëüçîâàíèè ýòîé òåîðåìîé ìû äîëæíû ïðîâåðèòüâûïîëíåíèå äâóõ óñëîâèé:1) Ïðåäëîæåíèå ñïðàâåäëèâî äëÿ n = n0 ≥ 1 (ýòî áàçèñèíäóêöèè),2) Ïðåäëîæåíèå ñïðàâåäëèâî äëÿ n = k + 1 åñëè îíî ñïðàâåäëèâî äëÿ n = k, ãäå k - ïðîèçâîëüíîå íàòóðàëüíîå ÷èñëîíå ìåíüøåå n0 (ýòî èíäóêöèîííûé øàã).Á. Êîíòðîëüíûå âîïðîñû è çàäàíèÿ.1. Ïðèâåäèòå ïðèìåðû äåäóêòèâíîãî è èíäóêòèâíîãî ðàññóæäåíèé.2.

×òî íàçûâàåòñÿ ïîëíîé èíäóêöèåé? Ïðèâåñòè ïðèìåð.3. Ïðèâåäèòå ïðèìåð íåïîëíîé èíäóêöèè, êîòîðàÿ ïðèâîäèòê îøèáî÷íûì âûâîäàì.64.  ÷åì ñîñòîèò ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè? Èç êàêèõýòàïîâ îí ñîñòîèò?5.  ÷åì ïðèíöèïèàëüíûå ðàçëè÷èÿ ìåæäó ðàññóæäåíèåì,îïèðàþùèìñÿ íà íåïîëíóþ èíäóêöèþ, è ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè?6. ×òî îáùåãî ó âñåõ çàäà÷, êîòîðûå ðåøàþòñÿ ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè?Â. Ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷.Ïðèìåð 1. Äîêàçàòü, ÷òî ïðè ∀n ∈ N ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n2 .(1)Ðåøåíèå. Ñíà÷àëà âû÷èñëèì ïîñëåäîâàòåëüíûå ñóììû íå÷åòíûõ ÷èñåë: 1 = 12 , 1 + 3 = 4 = 22 , 1 + 3 + 5 = 9 = 32 , 1 + 3 = 5 =7 = 16 = 42 .

Ìîæíî îæèäàòü, ÷òî ïðèáàâèâ ê ïðåäûäóùåé ñóììå ñëåäóþùåå íå÷åòíîå ÷èñëî 9, ïîëó÷èì êâàäðàò ÷èñëà 5, ò.å.25. È äåéñòâèòåëüíî, 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 . Ïîñëå ýòîãî ìûâûäâèãàåì ãèïîòåçó, ÷òî èìååò ìåñòî óòâåðæäåíèå (1). Ïåðâàÿ÷àñòü ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè ñïðàâåäëèâà. Òåïåðü ïðîâåðèìâûïîëíåíèå âòîðîé ÷àñòè, ò.å. åñëè äëÿ ∀k èìååò ìåñòî1 + 3 + 5 + ... + (2k − 1) = k 2 ,(2)òî áóäåò âûïîëíåíî ðàâåíñòâî1 + 3 + 5 + ... + (2k − 1) + (2k + 1) = (k + 1)2 .7(3)Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ê îáåèì ÷àñòÿì (2) ïðèáàâèì (2k + 1) :[1 + 3 + 5 + ...

+ (2k − 1)] + (2k + 1) = k 2 + (2k + 1). Íî, ïîïðåäïîëîæåíèþ, âûðàæåíèå â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ ðàâíî k 2 . Âðåçóëüòàòå ïîëó÷èì òîæäåñòâî k 2 + 2k + 1 = (k + 1)2 .Èòàê, (1) ñïðàâåäëèâî ïðè n = 1, à èç åãî ñïðàâåäëèâîñòèïðè n = k âûòåêàåò ñïðàâåäëèâîñòü è ïðè n = k + 1.

Òîãäà èçñïðàâåäëèâîñòè ïðè n = 1 ñëåäóåò, ÷òî îíî ñïðàâåäëèâî è ïðèn = 1 + 1 = 2, à òîãäà îíî ñïðàâåäëèâî è ïðè n = 2 + 1 = 3, èïðè n = 3 + 1 = 4 è âîîáùå ïðè âñåõ n ∈ N.Ïðèìåð 2. Äîêàçàòü, ÷òî ïðè ∀n ∈ N è ∀x ≥ −1 ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî Áåðíóëëè(1 + x)n ≥ 1 + nx,(4)à ïðè x = 0 ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî.Ðåøåíèå. Ïðè n = 1 ñîîòíîøåíèå (4) ñïðàâåäëèâî, ïîñêîëüêó îáðàùàåòñÿ â âåðíîå ðàâåíñòâî. Äàëåå ïðåäïîëîæèì,÷òî ñîîòíîøåíèå (4) ñïðàâåäëèâî äëÿ íàòóðàëüíîãî ÷èñëà k èx > −1 :(1 + x)k ≥ 1 + kx.(5)Òàê êàê x > −1, òî 1 + x > 0.

Óìíîæèì íåðàâåíñòâî (5) íàïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî 1 + x :(1 + x)k+1 ≥ 1 + kx + x + kx2 .Îòáðàñûâàÿ íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî kx2 â ïðàâîé ÷àñòè, ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî(1 + x)k+1 ≥ 1 + (k + 1)x.8Ýòèì äîêàçàíî, ÷òî (5) ñïðàâåäëèâî äëÿ íàòóðàëüíîãî ÷èñëàk + 1 è x > −1.

Òåì ñàìûì äîêàçàíî, ÷òî (5) ñïðàâåäëèâî ïðè∀n ∈ N è x > −1.Ïðèìåð 3. Íàéòè ñóììóSn = −1 + 2 − 3 + 4 − 5 + ... + (−1)n n.(6)Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì S1 , S2 , ...S6 :S1 = −1, S2 =−1 + 2 = 1, S3 = S2 − 3 = −2, S4 = S3 + 4 = 2, S5 = S4 − 5 =−3, S6 = S − 5 + 6 = 3. Ñ äðóãîé ñòîðîíû:¸··¸·¸·¸2+13+14+11+1=, 2==,1=2222·¸·¸5+16+13==.22Çäåñü ïîä [a] ïîíèìàåòñÿ öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà a . Îòñþäà èìååìãèïîòåçó:·¸n+1Sn = (−1)n.(7)2Äëÿ íàòóðàëüíûõ çíà÷åíèé 1, 2, ...

6 ñîîòíîøåíèå (7)ñïðàâåäëèâî.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ∀k > 6 ñîîòíîøåíèå (7)ñïðàâåäëèâî:"kSk = (−1)#k+1.2Äàëåå"k+1Sk+1 = Sk + (−1)k(k + 1) = (−1)Ãk+1= (−1)"(8)#k+1+ (−1)k (k + 1) =2k+1k+1−2#!.Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ∀n ∈ N, [ n2 ] + [ n+1] = n. Èñïîëüçóÿ ïðåäû29äóùåå ðàâåíñòâî, èìååìhk+12ihihk+12i+h ik2= k + 1. Îòêóäà (k + 1) −= k+2. Çíà÷èò, ïðèõîäèì ê Sk+1 = (−1)k+12ñàìûì ìû äîêàçàëè ñïðàâåäëèâîñòü ðàâåíñòâà (7).hk+22i. ÒåìÏðèìåð 4. Íàéòè Sn = 1 · 1! + 2 · 2! + 3 · 3! + ... + n · n!.Ðåøåíèå.

Ñíà÷àëà íàõîäèì S1 = 1·1! = 1 èëè S1 = 2!−1,S2 = S1 + 2 · 2! = 5 èëè S2 = 3! − 1, S3 = S2 + 3 · 3! = 23, èëèS3 = 4! − 1, S4 = S3 + 4 · 4! = 119 èëè S4 = 5! − 1, îòêóäàñëåäóåò ãèïîòåçàSn = (n + 1)! − 1.(9)Ïîêàæåì ñïðàâåäëèâîñòü (9) ïðè ëþáûõ n. Ïðè n = 1 ãèïîòåçà âåðíà. Ïóñòü îíà âåðíà ïðè ∀ k > 1.Sk = (k + 1)! − 1.(10)Äàëåå âû÷èñëÿåì Sk+1 .Sk+1 = Sk + (k + 1)(k + 1)! = [(k + 1)! − 1] + (k + 1)(k + 1)! == (k + 1)! [1 + k + 1] − 1 = (k + 1)! (k + 2) − 1 = (k + 2)! − 1.Îòñþäà ñëåäóåò ñïðàâåäëèâîñòü (9) è ïðè n = k + 1. Çíà÷èòìû äîêàçàëè ñïðàâåäëèâîñòü (9) ïðè ∀ n ∈ N.Ïðèìåð 5.

Äîêàçàòü, ÷òîsin x + sin 2x + ... + sin nx =ãäå x 6= 2πm, à m − öåëîå ÷èñëî.10xsin n+12sin x2sin nx,2(11)Ðåøåíèå. Ïðè n = 1 ðàâåíñòâî (11)èìååò ìåñòî. Ïóñòüïðè n = kkXsin sx =s=1sin k+1xkx2sin .xsin 22(12)Òîãäà (ïðè n = k + 1 )k+1Xsin sx === sinsin sx + sin(k + 1)x =s=1s=1=kXsin k+1xkx2sin+ sin(k + 1)x =xsin 22sin k+1xkxk+1k+12sin+ 2 sinx · cosx=xsin 2222+ 2 cos k+1· sin x2xk + 1 sin kxk + 1 sin k+2222x·=sinx·xx .2sin 22sin 2Ïîêàçàëè, ÷òî (11) ñïðàâåäëèâî è ïðè n = k + 1. Ñëåäîâàòåëüíî, (11) èìååò ìåñòî ïðè ∀ n ∈ N.Ïðèìåð 6.