Математические утверждения и их доказательства

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ УТВЕРЖДЕНИЯ И ИХ ДОКАЗАТЕЛЬСТВАДорогие первокурсники факультета ВМК МГУ!Мы рады приветствовать вас в стенах Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова!В этом году вам предстоит сделать первые серьезные шаги в красивейшиймир, имя которого – МАТЕМАТИКА. Помогать вам в этом будут преподаватели разных кафедр нашего факультета.В преддверии этих шагов полезно вспомнить, что представляет собой математическое определение, а также математическое утверждение и его доказательство. Это три составляющие практически любого математическоготекста.1.

Математическое определение1.1. Математическое определение понятия или объекта выделяет его из ужеизвестного класса, указывая на его неотъемлемые, только ему присущие особенности. В формулировке определения участвует, как правило, слово «называется».Приведем несколько примеров.П р и м е р 1.1. Биссектрисой треугольника называется отрезок (указан класс геометрических объектов, которому принадлежит биссектриса треугольника), который лежит на биссектрисе угла треугольника и соединяет вершину с точкой на противоположной стороне (выделена присущая только биссектрисе треугольника особенность).П р и м е р 1.2.

Биссектрисой угла называется луч (указан класс геометрическихобъектов, которому принадлежит биссектриса угла), который делит угол пополам(выделена присущая только биссектрисе угла особенность).В некоторых случаях основной текст определения нуждается в предварительном комментарии (вступлении). Тогда определение обычно начинается словом«пусть».П р и м е р 1.3. Пусть отрезок [a, b] входит в область определения функции y = f (x) .Наименьшим значением этой функции на отрезке [a, b] называется число m такое, чтоа) для любого x ∈ [a, b] :f (x) ≥ m,б) при этом существует x0 ∈ [a, b] , для которогоf (x0 ) = m .1П р и м е р 1.4.

Пусть a, b ∈ R , a > 0, a ̸= 1, b > 0 . Логарифмом числа b по основаниюa называется число x такое, чтоax = b .1.2. Корректность определения. Математическое определение должнобыть корректным. Это означает, что оно однозначно определяет объект (илипонятие) и определяемый им объект существует.П р и м е р 1.5. Определение высоты треугольника как «отрезка, соединяющего вершину с точкой на противоположной стороне и перпендикулярного этой стороне» некорректно,так как из него получается, что в тупоугольном треугольнике можно провести только одну высоту – из вершины тупого угла; две другие высоты соединяют вершины с точками напродолжениях противоположных сторон. Итак, правильное определение: «высотой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне илина ее продолжении и перпендикулярный этой стороне».1.3.

Эквивалентные определения. Два определения называются эквивалентными или равносильными, если они определяют один и тот же объект.П р и м е р 1.6. Известны следующие два определения параллелограмма.Определение 1. Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом.Определение 2.

Четырехугольник, у которого две противоположные стороны равны ипараллельны, называется параллелограммом.Эти определения эквивалентны (доказательство их эквивалентности см. в примере 3.10).П р и м е р 1.7. Известны три определения абсолютной величины числа.Определение 1. Абсолютной величиной числа x называется число |x| , которое равно x ,если x ≥ 0 , и (−x) , если x < 0 .Определение 2. Абсолютной величиной числа x называется число |x| , равное наибольшему из двух чисел x и (−x) .Определение 3.

Абсолютной величиной числа x называется число |x| , равное тому издвух чисел x и (−x) , которое неотрицательно.Все три определения эквивалентны (доказательство см. в задаче 3.11).Наличие нескольких определений одного понятия часто бывает полезным прирешении задач, так как это позволяет выбрать среди них то, которое ближе всегок контексту рассматриваемой задачи. В таких случаях доказательство того, чтоиспользуемые определения эквивалентны, обязательно.2Задачи к разделу 11.1. Сформулируйте определение:1) общего делителя двух целых чисел;2) общего кратного двух целых чисел;3) взаимно простых натуральных чисел;4) наибольшего общего делителя двух целых чисел;5) четной функции;6) нечетной функции;7) периодической функции;8) возрастающей на [a, b] функции;9) невозрастающей на [a, b] функции;10) наибольшего значения функции;11) наименьшего значения функции на множестве X ;12) области значений функции;13) равенства треугольников;14) подобия треугольников;15) касательной к окружности;16) скрещивающихся прямых;17) касающихся окружностей;18) окружности, вписанной в треугольник;19) окружности, описанной около четырехугольника.1.2.

Укажите, почему сформулированные ниже «определения» некорректны.Исправьте все допущенные ошибки.1) Арксинусом числа A называется число x ∈ R, удовлетворяющее равенствуsin x = A.2) Арктангенсом числа A называется число x ∈ R, удовлетворяющее равенствуtg x = A.3) Ортоцентром треугольника называется точка пересечения его высот.4) Число M называется наибольшим значением функции y = f (x) на [a, b],если f (x) ≤ M для всех x ∈ [a, b].5) Плоскости p1 и p2 называются перпендикулярными, если каждая прямая водной плоскости перпендикулярна другой плоскости.6) Биссектрисой треугольника называется биссектриса внутреннего угла этоготреугольника.7) Расстоянием от точки до плоскости называется перпендикуляр, опущенныйиз этой точки на плоскость.32. Математическое утверждение2.1.

Теоремы простейшей структуры. Рассмотрим два высказывания A иB , т.е. суждения о некотором математическом объекте, для которых можно такили иначе установить, справедливы ли они или нет, истинны они или ложны. Наиболее простым с логической точки зрения является утверждение, которое можетбыть сформулировано следующим образом:если верно высказывание A, то верно высказывание B .Это теорема простейшей структуры. Высказывание A называется условием теоремы, а высказывание B – утверждением теоремы.

Сама теорема формулируется известным образом: «если выполнено условие A, то имеет место утверждение B ».П р и м е р 2.1. Теорема Пифагора – типичный пример такой теоремы. Ее краткая формулировка – «Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов» – в подробной формулировке имеет вид: «Если в треугольнике ABC угол C прямой, то AB 2 = AC 2 + BC 2 ».2.2. Язык импликаций позволяет записать математическое утверждение вкомпактной форме. Под импликацией понимается логическая операция, связывающая высказывания A и B в новое высказывание «если A, то B ».

Онаобозначается символомA =⇒ Bи читается следующим образом: «если верно высказывание A, то верно и высказывание B » (или «высказывание A влечет высказывание B », или «из высказыванияA следует высказывание B »).Для высказываний A и B , связанных импликациями{A =⇒ B,B =⇒ A,используется обозначениеA ⇐⇒ B,которая читается как «высказывание A верно тогда и только тогда, когда верновысказывание B » (см. далее п.2.4).На языке импликаций формулировка теоремы простейшей структуры можетбыть записана с помощью одной импликацииA =⇒ B.П р и м е р 2.2.

Формулировку теоремы о логарифме произведения можно компактно записать в видеa, b, c ∈ R, a > 0, a ̸= 1, b > 0, c > 0 =⇒ loga (bc) = loga b + loga c .4П р и м е р 2.3. Известный признак делимости целого числа на 9 с помощью импликацииможет быть сформулирован следующим образом:A = an an−1 . .

. a1 a0 ,an + an−1 + . . . + a1 + a0 кратно 9=⇒A кратно 9 .П р и м е р 2.4. Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения x2 + px + q = 0может быть сформулирована на языке импликаций следующим образом:x1 , x2 – вещественные корни уравнения x2 + px + q = 0 =⇒ x1 + x2 = −p, x1 x2 = q .2.3. Обратная теорема. Известно, что для многих теорем в математике справедливы и обратные теоремы. Логическая схема построения обратной теоремытакова: если исходное утверждение имеет видA =⇒ B,то обратное утверждение имеет вид (направление стрелки заменяется на противоположное)B =⇒ A,т.е.

условие A и утверждение B меняются ролями.П р и м е р 2.5. Для теоремы Виета (см. пример 2.4) имеет место обратная теорема: «еслиx1 и x2 таковы, что выполнены равенства x1 + x2 = −p, x1 x2 = q , то x1 и x2 являютсякорнями уравнения x2 + px + q = 0 ».Справедливость этой обратной теоремы вытекает из того, чтоx2 + px + q = x2 − (x1 + x2 )x + x1 x2 = (x − x1 )(x − x2 ) .П р и м е р 2.6. Для теоремы Пифагора также имеет место обратная теорема: «если втреугольнике ABC : AB 2 = AC 2 + BC 2 , то угол C – прямой». Это следует из теоремыкосинусов: AB 2 = AC 2 + BC 2 − 2 · AC · BC · cos C .Обратное утверждение может быть как верным, так и неверным. Если обратное утверждение неверно, то это указывает либо на достаточно общий характервысказывания B в рассматриваемой теореме, либо на излишне ограничительный,частный характер высказывания A в ней.П р и м е р 2.7.