Диссертация (Межвременной систематический риск определение детерминант и портфельная оптимизация), страница 14

Для выбранных в рамках работы 10 акций возможнооткрытие короткой позиции почти у каждого брокера. Что касается маржи,требуемом при открытии как длинных, так и коротких позиций, то зададимее на уровне 50%. В большинстве случаев брокер требует меньше, ноустановив маржу на таком высоком уровне, характеристики портфеля,показанные ниже, не будут искусственно улучшены. Так, установимследующие ограничения на веса активов в портфеле:nwi 1iwi  0 для всех i 2,(46)Сумма весов, равная двум, отражает 50% уровень маржи. Такимобразом, можно 100% портфеля инвестировать в некий актив k, а такжевзять заемные средства в размере еще 100% портфеля для инвестированияв этот же актив.

Таким образом, собственные средства инвестора составят50% от суммы позиции в активе k.Отметим, что если бы мы не делили веса на длинные и короткиепозиции, то пришлось бы вводить модули в ограничение на сумму весов. Аэто привело бы к усложнению задачи оптимизации в виду наличиянелинейных ограничений.Избыточнаядоходностьследующим образом:портфеляописываетсяпоаналогии105nrp   ri wi i 12n (ri n1nE (rp )   E (ri )wi i 1i n)wi(47)2n E (ri  n 1i n)wi(48)Первый компонент уравнения выше отражает открытые длинныепозиции, а второй – открытые короткие позиции. Отметим, что в работеЯкобса с коллегами [Jacobs et al., 2005] учитывается еще третий компонент,который отражает начисление процентов брокером на ту сумму короткихпозиций, которую инвестор не может инвестировать в другие активы, таккак она используется в качестве маржи.

Однако, на практике почти ни одинброкер не делает этого, к тому же эта сумма настолько незначительна, чтоможно ею пренебречь. В виду того, что этот компонент только увеличивалбы доходность портфеля, то в работе он не рассматривается, чтобыизбежать завышения результатов моделируемого портфеля.В работе Якобса и коллег [Jacobs et al., 2005] показано, что дисперсиятакого портфеля рассчитывается следующим образом: C  CVar (rp )  w' C LS w  w' w C C (49)Где С - ковариационно-вариационная матрица активов для портфеля,состоящего только из длинных позиций.В итоге для конкретного момента времени t задача инвестора дляоптимизации портфеля с возможность открытия длинных и короткихпозиций выглядит как:106max U ( w)  E (rp )  1 *Var (rp )nwi 1i2(50)w0Где 1 - это коэффициент неприятия общего риска инвестора.Вспомним, что с помощью, описанных выше динамических моделей,мы можем расписать ожидаемую доходность актива в момент времени tследующим образом:E (ri ,t 1|t )  i.t 1  i.t 1 * E (rm,t 1|t )(51)Таким образом, подставляя уравнение (51) в уравнение (48), можновыразить доходность портфеля в момент времени t как:n2ni 1i  n 1E (rp ,t 1|t )  [ i.t 1   i.t 1 * E (rm,t 1|t )]wi ,t 1  [ i.t 1   i.t 1 * E (rm,t 1|t )]wi ,t 1 (52)2nn( i.t 1 )wi ,t 1  E (rm,t 1|t )   i.t 1 * wi ,t 1   (  i.t 1 ) *wi ,t 1 i1  i.t1wi,t1  i n 1i  n 1 i1n2nДля получения более реалистичного результата были добавленылинейные транзакционные издержки, которые являютсякомиссиейброкера за совершение сделки.

Акции, добавленных нами компаний,являются высоколиквидными и не предполагают наличие издержек,связанных с низкой ликвидностью или широкими спредами. Так, странзакционнымииздержкамиуравнениеизбыточнойдоходностипортфеля выглядит следующим образом:n2n2nnE (rp ,t 1|t )   i.t 1wi ,t 1   ( i.t 1 )wi ,t 1  E (rm,t 1|t )   i.t 1 * wi ,t 1   (  i.t 1 ) *wi ,t 1 i 1i n 1i  n1 i 1n k  ( wi ,t 1  win,t 1 )  ( wi ,t  win,t )i 1(53)107Где параметр k - это комиссия, которая выплачивается от совершениякаждой сделки. Она была принята на уровне 0,3% от суммы каждойсделки.Данныйуровеньсоответствуеттемкомиссиям,которыепредлагают брокеры на австралийской бирже.

Таким образом, на суммуизменения чистой позиции (разницы длинной и короткой позиции) вкаждомактивеначисляетсякомиссия,котораяснижаетуровеньдоходности за период t.Дисперсия такого портфеля в момент времени t выражается как:Var (rp,t 1|t )  wt' 1CtLS1 wt 1(54)Матрица CtLS1 прогнозировалась и рассчитывалась исходя из моделиDCC-GARCH [Engle, 2002]. Эта модель была использована для прогнозаCt 1(ковариационно-вариационнаяматрицаактивовдляпортфеля,состоящего только из длинных позиций в момент времени t). Для этогоизбыточные доходности активов были смоделированы как:ri ,t  i   i ,t2hi ,t  c  a i ,t 1  ghi ,t 1(55) t t 1 ~ N (0, H t )Где  i - это константа или средняя доходность (mean returns) актива i; i,t - это остатки в уравнение доходности актива i в момент времени t; hi ,t -это условная дисперсия остатков доходности активов i;  t 1 - это всядоступная информация к моменту времени t-1; H t - это вариационноковариационная матрица остатков.Ковариационно-вариационная матрица H t в модели DCC выглядитследующим образом:108H t  Dt Rt Dt(56)А корреляционная матрица Rt определяется как:1Rt  (diag (Qt )) 2 Qt (diag (Qt ))12Qt  (1  1  2 )Q  1 zt 1 zt' 1  2Qt 1 ,Q(57)1 T zt zt' , 1  2  1, 1 ,2  0T t 1Где z t - это стандартизированный остатки в момент времени t ( zt   t /  t );Qt - это ковариационная матрица стандартизированных остатков; Q - этобезусловная ковариационная матрица стандартизированных остатков.Таким образом, прогнозируемая на шаг вперед H t 1 и являетсяматрицей Ct 1 .

Последняя использовалась для получения прогноза матрицыCtLS1 (уравнение 54).Таким образом, задача построения портфеля с возможностьюоткрытия коротких позиций преобразуется следующим образом:nmax U t 1|t ( w)    i.t 1wi ,t 1 i 12n (i  n 1i .t 1)wi ,t 1 2nnE (rm,t 1|t )   i.t 1 * wi ,t 1   (  i.t 1 ) *wi ,t 1   1 * wt' 1CtLS1 wt 1 i  n 1 i 1nk  ( wi ,t 1  wi n,t 1 )  ( wi ,t  wi n,t )(58)i 1nw  2i 1iw0Ожидаемая доходность рыночного индекса прогнозировалась измодели ARMA(p,q):109pqj 1j 1rm,t   m    j rm,t  j    j  m,t  j   m,t , m,t ~ N (0,  2 )(59)mТак в каждый момент времени t строилась модель ARMA(p,q), вкоторойпараметрыpивыбирались исходяqизминимизацииинформационного критерия Шварца (BIC). Прогноз избыточной рыночнойдоходности рассчитывался как:pqj 1j 1E (rm,t 1|t )     j E (rm,t 1 j )    j E ( i ,t 1 j )Портфели,построенныеисходяизуказанной(60)вышезадачи,используются для сравнения с портфелями с декомпозицией риска.3.3.2 Построение портфеля с декомпозицией рискаОднако, предпочтения инвестора относительно риска могут неограничиваться одним лишь коэффициентом 1 .

Так, можно разделитьобщий риск на систематический и остаточный риск. Систематический рискпредставляет собой бета, другими словами ту часть портфеля, котораязависит от рыночных колебаний. В нашем случае бета портфеля в моментвремени t равняется:n p ,t   i.t * wi ,t i 12n ( i  n 1i .t) * wi ,t(61)Остаточный риск включает в себя все то, что не входит всистематический и отражает специфические риски активов в портфеле.Математически остаточный риск (residual risk) можно выразить как: R2  Var (rp  CAPM  CAPM rm )(62)110Где rm - это избыточная доходность рыночного портфеля, rp - этоизбыточная доходность построенного портфеля,  CAPM  это альфа измодели CAPM, а  CAPM - это бета из модели CAPM.

Таким образом,остаточный риск – это дисперсия остатков в модели CAPM.Накаждомшагеоптимизацииопределялсярядостаточныхдоходностей rR ,t исходя из выбранных весов для следующего периода wt 1 :2nnrR ,t   ri.t wi ,t 1   (ri.t )wi ,t 1    CAPM ,t   CAPM ,t rm,ti n1 i1(63)Коэффициенты  CAPM ,t и  CAPM ,t определялись в каждый моментвремени t из регрессии доходности портфеля (на основе wt 1 ) от рыночнойдоходности, построенной по наблюдаемым прошлым значениям.Затем волатильность полученного ряда остаточной доходностипрогнозировалась из одномерной GARCH модели для периода t+1следующим образом:rR ,t   R   R ,t 222 R ,t 1  cR  aR R ,t  g R R ,t(64) R,t  R,t 1 ~ N (0, R,t )Так, при определении весов для каждого следующего периодапрогнозировался остаточный риск, как если бы во всех предыдущихпериодах использовались именно эти веса.