Диссертация (Исследование печатных плат с многослойными диэлектрическими подложками и разработка микрополосковых СВЧ устройств на их основе), страница 13

Токи в направлении Y, будут представлены другимнабором базисных функций по оси Y. Когда в расчете применяются«треугольные» функции как базисные, то их максимальные значениясовпадают в одной точке, и они равны нулю в остальных узловыхточках.1004.2.3 Формулировка и алгоритм метода моментовРассмотрим случай, когда несколько проводящих объектовнаходятся в слоистой среде. Эта среда состоит из N параллельныхслоев между верхним полупространством z > 0 (обычно воздух) иземляной плоскостью z  d N .Предположим, что плоскость соприкосновения двух слоевможет быть смоделирована как импедансная граница, на которойсуществует простая связь между тангенциальными составляющимиэлектрического и магнитного поля, а именно:E t  ez  Z s H t ,(4.4)где Z s – поверхностный импеданс.

Электрические и магнитныестенки включены в уравнение (4.4) как частные случаи при Z s  0 илиZ s   соответственно [54, 78]. Существование импедансной стенкиподразумевает, что задача может быть решена без знания фактическихполей, которые могут существовать ниже конечной плоскостиz  d N .Каждый слой считается изотропным, однородным и свозможнымипотерями,т. е.материалимееткомплекснуюдиэлектрическую проницаемость  и комплексную магнитнуюпроницаемость .Аналогично предполагаем, что металлические проводники вслоистой среде характеризуются граничными условиями на своихповерхностях:n  E  Zs n  J s ,(4.5)где Z s - поверхностный импеданс, равный нулю для идеальныхэлектрических проводников, n – вектор, нормальный к поверхностиS (рисунок 4.4),Js–поверхностныйток,существующийв101eпроводнике. Этот ток возбуждает поле E и, в свою очередь, создаетdотраженное поле E .

Суммарное поле в уравнении (4.5) – суммавозбуждаемых и рассеиваемых полей.Дифракционное поле E d в каждой точке может быть выраженос помощью двухмерной функции Грина GE ( r| r' ) :dE d (r )  G E (r| r ' )  I (r ' )dl' ,(4.6)где r – система полярных координат. Суммарное дифракционное полеполучаетсяинтегрированиемуравнения(4.6)поповерхностипроводников S.Рисунок 4.4 - Многослойная среда, которая включает несколькопроводящих объектов. Эти N слоев соприкасаются со средой, наполовинузаполненной воздухом, 0 < z < и импедансной стенкой при z  d N102Строго говоря, включенные в данную среду проводникидолжны рассматриваться как диэлектрики, имеющие очень высокиеdомические потери, и каждое частное поле E явилось бы результатомэквивалентных магнитных токов, определенных на поверхностяхпроводников.

Однако, если проводимость очень высокая, этимимагнитными токами можно пренебречь.Окончательно граничное условие (3.5) приводится к видуn  E e (r )  n   G E (r| r ' )  J s (r ' )ds' Zs n  J s ,S(4.7),которое является обобщенной формой интегрального уравненияэлектрического поля для неизвестного тока J s . Функция ГринаGE ( r| r' ) известна для простых форм, например, для прямоугольнойплощадки, это диаграмма направленности поля источника, близкого кточечному. Знак интегрирования в (4.7) – это суммирование полей отвсех площадок, по которым текут токи.Численные методы решения интегрального уравнения (4.7)сводятся к проекционным методам, к которым относится и методмоментов, являющийся развитием метода Галеркина [54].

В методеГалеркина базисные функции и функции тестирования идентичны. Вметоде моментов используется базисная треугольная функция идельта-функции, применяемые как весовые функции. Если базисные ивесовые функции различны, как в методе моментов, то правая частьсистемы уравнений приобретает как бы «момент», вместо нулевойправой части.Метод моментов преобразует интегральное уравнение (4.7) всистему алгебраических уравнений, которая решается численно.Отметимещераз,чтосначаламеталлическаяобластьразбивается на малые элементарные ячейки, и задаются простые103аппроксимации для поверхностного тока на каждой ячейке. Размерячеек зависит от характера и геометрии задачи. В любом случаелинейный размер ячейки не должен превышать одну десятую отдлины волны.Неизвестные токи нужно разложить в системе базисныхфункций. Чтобы заряд в пределах площадки был постоянным, токрастет линейно от одного края к другому.

В общем случаеповерхностный ток будет зависеть от двух координат x, y, но можноиспользовать базисные функции, которые внутри каждой ячейкипостоянны вдоль поперечной координаты. Это позволяет разложитьJ sx и J sy по координатам x и y, соответственно, но имеющийсясвязанный заряд в этом случае несингулярен.Матрицамоментовформируетсянаоснованиивесовойфункции. Существуют, по крайней мере, три возможные комбинациибазисных и весовых функций. С точки зрения использования видааппроксимации решения, можно считать, что метод моментов этосочетание треугольных базисных функций и метода Галеркина.Треугольная функция для двух составляющих поверхностноготока состоит также из двух компонентов J sx и J sy .

Согласноуравнению непрерывности, базисные функции для заряда q s имеютвид ступенчатых функций. Уравнения проверяются в этом случае,используя те же самые «треугольные» функции, в отличие от методаГалеркина, где базисные и весовые функции разные. Определимфункцию Ti как векторную треугольную функцию, связанную с двумясмежными ячейками Si и Si (рисунок 4.5). Границу этих двух ячеекобозначим как S j . В общем случае, нужно рассмотреть N x функций в104направлении x, и N y функций в направлении y.

Таким образом, общеечисло базисных функций равно N  N x  N yTi  i  1,..., N xi  N x  1,..., Nex Tix ,e y Tiy ,(4.8)Ток и заряд представляются в виде:NNq s   i  i ,J s   i Ti ,гдеi(4.9)i 1i 1являются неизвестными коэффициентами, а функцииi    Ti / jwстандартныйимеютметодформупрямоугольныхмоментовпозволяетмеандров.записатьДалеематричноеуравнение, которое получается подстановкой (4.9) в (4.7):M  b .(4.10)Рисунок 4.5 - Продольные сегменты тестирования Ci , связывающиецентры смежных ячеек S i и S i . Поперечные сегменты Ci и Ciсодержат линии плотности зарядов в точках согласования105Элементы матрицы моментов M описываются выражением:mij  aij  vij  I ij ,(4.11)где вклады излучаемых a, отражаемых v и омических (тепловых)потерь I равны соответственно:aij  jw  Ti (  )   G A ( |  ')  Tj (  ' )dS ' dS ,Sivij (4.12)Sj1 (  )   GV ( |  ') j (  ')dS ' dS ,jw Si iSj(4.13)I ij  Z s  Ti (  )  Tj (  )dS .(4.14)SiТакимобразом,численнаяпроцедураформированияисоставления матрицы С является процессом создания, заполнения ирешения матрицы моментов.4.2.4 Формирование и численное решение матрицымоментовПрименениеметодамоментовдлярешенияэлектродинамической задачи – это применение вариационногоподхода, сводящегося к оптимизации вектора всевозможных решенийс целью минимизации сформулированной целевой функции.

В нашемслучае цель состоит в удовлетворении граничным условиям награницах каждой ячейки, на которые разбита анализируемаяструктура.Чтобы провести начальную аппроксимацию искомой функциираспределения тока J sx и J sy , необходимо выбрать набор базисныхтреугольных функций. Обозначим этот набор f1, f2, f3,...в областикорпуса по координатам M и L, и положим:106f   n f n ,(4.15)nгде n – неизвестные постоянные коэффициенты, M и L – линейныеоператоры (матрицы), описывающие скалярную среду и связанныечерез собственные числа :L( f )  M ( f ) .(4.16)Операторы M и L зависят от формы проводника и корпуса.Подставляя (4.16) в (4.15), имеем: L( fnn)    n M ( f ) .(4.17)Теперь предположим, что определена операция скалярногопроизведения (или проекция) [f, ], где  – весовая функция.Тогда выбираем набор весовых функций 1, 2, 3 в области L иM и проводим тестирование для m областей (m – все ячейки, которыенужно «пересечь» со всеми другими с тем, чтобы удовлетворитьграничным условиям на всех границах).

Считаем, что для каждойточки m (т. е. на внутренних границах ячеек) эти проекции равны:n  m , Lf n     n   m , Mf n  ,n(4.18)nгде m = 1, 2, 3, ... могут быть записаны как элементы матрицы:l     m   .mnnmnn(4.19)Тем самым, матрица моментов имеет вид:107  1 ,M f1   1 ,M f 2  ... ...  ,M f    ,M f  ... ...22, m mn    2 ... 1...... ............ ...(4.20)левая матрица  lmn  имеет вид (4.19), но с заменой M на L, векторстолбец  n  – вектор постоянных чисел.Уравнение (4.18) имеет решение, если:det| lmn  mmn|  0 .(4.21)Итак, элементы матрицы [mmn] есть <i, Mf1>.

Эта проекция –интеграл каждой базисной (треугольной) функции, умноженной навесовую функцию i. Эта матрица трехмерная. Сначала находятсясвязи на первом слое, затем межслойные связи на основании условий(4.4) и (4.5).Так как матрицы моментов могут быть очень большими, то вкаждый момент времени только одна матрица моментов можетуместиться в оперативной памяти компьютера. Размер задачи, котораяможет быть решена EM Sight, определяется только общим объемомфизической памяти, доступной для хранения матрицы моментов.Матрица моментов - всегда симметричная матрица.