Диссертация (Информационная система поддержки принятия решений при проектировании процесса ультрафиолетовой литографии), страница 13

На первом этапеопределяют идеальный вектор управления R *ид (t ) , обеспечивающий оптимизациютехнологического процесса. Практически реализовать это не представляетсявозможным, и вектор R *ид (t ) является эталоном, к которому надо стремиться. ЗнаяR *ид (t ) , на втором этапе выбирают реализуемый квазиоптимальный векторуправления, с помощью которого стараются получить решение, наименееотличающееся от идеального и в то же время реализуемое наиболее просто.Далее оптимизированный технологический процесс формирования изделиймикро-инаноэлектроникиметодомультрафиолетовойлитографиидополнительно подвергается наладке и корректировке, поскольку при построенииматематической модели невозможно учесть все влияющие на процесс факторы.Натехнологическийпроцессформированияизделиймикро-инаноэлектроники методом ультрафиолетовой литографии оказывает влияние85множество случайных факторов: погрешность оптических свойств объективалитографической установки, неточность совмещения технологических слоёв,попадание загрязняющих частиц и т.д.

Поэтому параметры формируемых изделиймикро-инаноэлектроникиопределенноймереметодомявляютсяультрафиолетовойслучайнымивеличинами,литографиипричемввлияниедействующих случайных факторов на изменение параметров изделий можно, какправило, определить исходя из статистического анализа. В подобных случаяхочень важно учитывать характер взаимосвязи между случайными величинами.Для количественного выражения этой взаимосвязи служат регрессия икорреляция.

Остановимся более подробно на этих понятиях.Пусть x и y – случайные величины, характеризующие параметры изделиймикро- и наноэлектроники полученные методом ультрафиолетовой литографии,причем упорядоченная пара ( x, y ) характеризует параметры одного вариантамикроэлектронного изделия и может быть изображена точкой на плоскости.Полнаясовокупностьизделиймикро-инаноэлектроникиизображаетсямножеством точек, показанных на рис. 2.3.2. Математические ожиданияслучайныхвеличинxиyравнысоответственноM ( x)иM ( y) ,исреднеквадратичные отклонения  x и  y характеризуют рассеивание величин xи y относительно их математических ожиданий.Рис. 2.3.2. Линия регрессии, где множество точек изображает полнуюсовокупность вариантов формируемых изделий микро- и наноэлектроники, вкоординатах x и y – случайные величины, характеризующие параметрыединичного изделия86Рассмотрим зависимость y (x ) , являющуюся условным математическиможиданиемM ( y | x ) .

Используя выражение для условного математическогоожидания и обозначая через p( x, y ) совместную вероятность данных значений xи y , находимy ( x)  M ( y|x )  yp ( x, y ) /  p ( x, y ) .yy(2.3.3)Определяя y (x ) при различных x , можно построить линию, графическивыражающую эту зависимость и называемую линией регрессии y по x (рис.2.3.2).

Аналогично может быть получена зависимостьx ( y ) , называемаярегрессией x по y .На практике наиболее часто встречается случай линейной регрессии,уравнение которой записывается в видеy ( x )  a  b( x  M ( x ) ) .(2.3.4)Коэффициенты a и b выбирают такими, чтобы получить наибольшуюконцентрацию точек ( x, y ) вблизи прямой y (x ) , что выражается условием (a, b)  M {[ y  y ( x)]2 }  min .(2.3.5)Выражение (2.3.5) с учетом (2.3.4) дает следующую систему уравнений дляопределения коэффициентов a и b :M ( y )  a  0 ; M [ y ( x  M ( x ) )]  b x2  0 ,(2.3.6)где  xy  M [ y ( x  M ( x ) )] – ковариация между x и y . Она служит мерой взаимнойсвязи между случайными величинами a и b .Из (2.3.6) находят значения a  M ( y ) и b   xy /  x2 , определяющие линиюрегрессии.Ковариация  xy зависит от дисперсий самих случайных величин, поэтомудляоценки взаимосвязимежду случайными величинами более удобенкоэффициент корреляции rxy   xy /( x y ) , который может меняться от нуля длянезависимых случайных величин до единицы, если случайные величины связаны87линейной функциональной зависимостью [30].При разработке технологических процессов ультрафиолетовой литографиив качестве критериев оптимальности целесообразно рассматривать такиепоказатели эффективности, как себестоимость производства, производительностьтехнологическихпроцессов,величинаминимальногохарактеристическогоразмера и т.д.2.4Моделированиепроцессаформированияизображенияультрафиолетовой литографической технологииЗадачамоделированияультрафиолетовойлитографиипроцессаможетформированиябытьрешенаизображенияпутёмввычисленияинтенсивности произвольного фотошаблона при заданных условиях освещения влитографической установке с заданными характеристиками изображающейсистемы.

Такое распределение интенсивности монохроматического поля наплоскости назовём «воздушным изображением».Распределениеэлектромагнитногополямоделируетсяисходяизматематических моделей, основанных на классической формулировке законовэлектродинамики.Рис. 2.4.1. Схема моделирования процесса формирования изображения вультрафиолетовой литографииРассмотрим схему моделирования процесса формирования изображениявыраженную в канонических координатах (рис. 2.4.1.), где ψx, ψy – канонические88координаты плоскости источника, γx, γу – канонические координаты плоскостипредмета, ωx, ωу – канонические координаты плоскости зрачка, φx, φу –канонические координаты плоскости изображения.Тогда в канонических координатах математическая модель процессаформирования изображения будет иметь следующие свойства:Дифракциявтакойоптическойсистемебудетописыватьсяпреобразованием Фурье без масштабных множителей [31].Плоскость изображения и плоскость зрачка представляются в одинаковоммасштабе ωx = φx, ωy = φy.Коэффициент=,увеличения=αвоптическойсистемеравен.Область зрачка имеет форму круга.Длямоделированияультрафиолетовойпроцессалитографическойформированиясистемевсеизображениявлияющиевфакторыпредставлены в виде функций, зависимостей и ограничений.Когерентныесвойстваосвещенияпредставимввидефункциираспределения яркости источника излучения.

Функция распределения яркостиS(ψx, ψy) будет описывать так называемый эффективный источник произвольнойформы с некоторыми произвольными размерами и распределением яркости.Для моделирования процесса формирования изображения воспользуемсяскалярной теорией дифракции, при этом литографический фотошаблон будемсчитать бесконечно тонким, а его воздействие на процесс формированияизображениябудетописыватьсяфункциейкомплексногопропусканияизлучения, проходящего через предмет. В канонических координатах такаяфункция имеет вид:,= ( ,)∙,(2.4.1)89где( ,( ,) =,)=,– функция пропускания по амплитуде,– функция пропускания по фазовому сдвигу напредмете.Таким образом, оптическая система воздействует на проходящееизлучение, согласно следующим правилам:Конечные размеры оптической системы и её апертурной диафрагмы,является фактором ограничивающим размеры проходящего поля.Потеря энергии на преломление, отражение и рассеивание воптической системе, существенно ослабляет амплитуду проходящего поля.Наличие аберраций в оптической системе существенно влияет на фазупроходящего поля.Суммарное воздействие на проходящее излучение всех описанных вышефакторов запишем в виде зрачковой функции (2.4.2).

При представлении вканонических координатах такая функция имеет вид:,0,где,,,=,++≤ 1;(2.4.2)> 1;– функция амплитудного пропускания, отражающаяэнергетические потери при прохождении излучения,,– функцияволновой аберрации, отражающая фазовые изменения проходящего черезобъектив излучения. Условия в зрачковой функции описывают ограничениеразмеров проходящего через объектив литографической системы волновогополя излучения.При разработке оптических систем современного оборудованияультрафиолетовой литографии ведётся моделирование и оценка качествасформированных изображений, для этого применяют разложение функцииволновой аберрации,по некоторому базису в зрачковыхканонических координатах.

Для этого в последнее время всё чащеприменяется ортогональный базис полиномов Цернике [32]. Для её90рассмотрения ограничимся полиномами степени не выше p, тогда вполярных координатах такое разложение примет вид:( , )=( ) cos()++( ) sin(),(2.4.3)где m+n - чётное число,=+,=( ) – радиальные полиномы Цернике,=и– коэффициентыразложения, служащие моделями аберраций оптической системы.В ряде установок ультрафиолетовой литографии с целью повышенияразрешающей способности технологического процесса применяется методвнеосевого освещения (рис. 2.4.2). Этот метод позволяет воспроизводитьструктуру фотошаблона, состоящую из светлых и тёмных полос, имеющихпериод превышающий разрешение объектива. Для этого фотошаблоносвещается наклонными пучками излучения, для образования которых воптический тракт осветителя помещается диафрагма с двумя отверстиями.Рис. 2.4.2.

Схематическое изображение установок ультрафиолетовойлитографии с осевым и внеосевым методом освещенияВ случае внеосевого освещения, процесс формирования изображения можнодополнительно представить в виде двух потоков электромагнитного излучения.При этом уравнение для двух связанных степеней свободы имеет вид:91( ,( ,==),);Дифференцируя полученное уравнение имеем:=∙+∙;=∙+∙.Помножим уравнения на коэффициентыи, тогда:=∙+∙;=∙+∙.Левая часть полученных уравнений выражает полные потоки=−;=−∙случае второй поток отсутствует, тогда слагаемое=−отсутствиипервогоформулы получим:=−∙, в первой формуле,для.

Из выражений=−= 0 , в этом, первого потока. Аналогично припотока∙:.Положим градиент второго потенциала равным нулюпредставляет собой общую силу,,ивторойнаходим производные:=−.Выполняя подстановку, получаем:==++,;где приняты обозначения:=,=.92Эти уравнения определяют процессы в литографической установкеиспользующей схему внеосевого освещения с количественной точки зрения.Таким образом, наряду с функцией распределения яркости на источнике,функцией комплексного пропускания излучения и зрачковой функцией, мыполучаем полную математическую модель формирования изображения вультрафиолетовой литографической системе.2.5Методысниженияхарактеристическогоразмеравультрафиолетовой литографической технологииОсновным вопросом при решении задачи представления топологииизображений на плоскости в литографической технологии является способпостроения отображения в двумерное пространство.

Подход к отображениюсостоит в извлечении из изображений каких-либо признаков и размещенииизображений в соответствии со значениями признаков. Так как размерностьпризнаков может в десятки и сотни раз превосходить размерность пространстваотображения, то для создания двухмерных отображений необходимо применятьметоды снижения размерности.Методы снижения размерности обычно подразделяют на линейные инелинейные. Линейные методы используют дискретный вариант разложенияКарунена – Лоэва, называемый также методом главных компонент (PCA –Principal component analysis).