А.Н. Зубков - Курс лекций по теории случайных процессов, страница 8

От противного. Пусть Xn = Zn∗ + A∗n почти наверное, Zn∗ — мартингал, A∗n — неубывающаяпредсказуемая последовательность, A∗0 = 0. Рассмотрим разность Xn+1 − Xn :∗Xn+1 − Xn = (Zn+1 − Zn ) + (An+1 − An ) = (Zn+1− Zn∗ ) + (A∗n+1 − A∗n ) п.н.Вычислим у.м.о. относительно Fn :∗M((Zn+1 − Zn ) + (An+1 − An ) | Fn ) = M((Zn+1− Zn∗ ) + (A∗n+1 − A∗n ) | Fn ).∗Далее, {Zn } и {Zn∗ } — мартингалы, поэтому M(Zn+1 − Zn | Fn ) = 0 = M(Zn+1− Zn∗ | Fn ).

{An } и {A∗n }∗∗∗предсказуемы, откуда M(An+1 − An | Fn ) = An+1 − An , M(An+1 − An | Fn ) = An+1 − A∗n . Итак, An+1 − An =A∗n+1 − A∗n , A0 = 0 = A∗0 . Отсюда по индукции получаем A∗n = An . Лемма 8.4. Если {(Xn , Fn )} — мартингал, g(x) — выпуклая функция и для всех n M |g(Xn )| < ∞, топоследовательность {(g(Xn ), Fn )} — субмартингал.Если {(Xn , Fn )} — субмартингал, g(x) выпукла и неубывает, M|g(Xn )| < ∞ для всех n, то {(g(Xn ), Fn )}— субмартингал. Нужно доказать5, что M(g(Xn+1 ) | Fn ) > g(Xn ).g выпукла ⇒ существует неубывающая функция g ∗ : для всех x, y имеем g(y) > g(x) + g ∗ (x)(y − x).

(Чтобыдоказать это, рассматриваем в данной любую опорную прямую, т.е. такую прямую, что график g лежит целикомвыше её. В случае дифференцируемой g всё вообще очевидно.)Далее,M(g(Xn+1 ) | Fn ) > M(g(Xn ) + g ∗ (Xn )(Xn+1 − Xn ) | Fn ) = g(Xn ) + g ∗ (Xn )M(Xn+1 − Xn | Fn ).В первом случае ({Xn } — мартингал) второе слагаемое равно нулю, и мы сразу получаем требуемое.Во втором случае M(Xn+1 − Xn | Fn ) > 0, g ∗ (Xn ) > 0 (т.к. g неубывает), откуда второе слагаемое неотрицательно, что и даёт субмартингальное свойство. 4 Это5 Нане дерево, а американский математик по фамилии Doob.самом деле всё это делается в одно касание применением неравенства Йенсена.

Здесь оно по сути ещё раз доказано — примеч.С.К.268.5. Моменты остановкиОпределение. Пусть (Ω, F , P) — вероятностное пространство, F0 ⊆ F1 ⊆ · · · ⊆ F — поток σ-алгебр, ν —целочисленная случайная величина. ν — момент остановки относительно {Fn }, если для любого n {ω : ν(ω) 6n} ∈ Fn . Говорят также: ν — марковский момент, ν — случайная величина, не зависящая от будущего.Пример 5.1.

Пусть {Xn } — последовательность случайных величин, Xn измерима относительно Fn длялюбого n, Bn ∈ Fn — последовательность множеств. ν = min{n : Xn ∈ Bn } — момент остановки.Частный случай: ν = min{n : Xn > f (n)} — первый момент, когда Xn превосходит f (n).Свойства моментов остановки:1. Если ν — момент остановки, m — фиксированное натуральное число, то ν ∗ = min{m, ν} — тоже моментостановки.m > n ⇒ {ν ∗ 6 n} = Ω ∈ Fn . m < n ⇒ {ν ∗ 6 n} = {ν 6 n} ∈ Fn . 2.

Пусть ν — момент остановки. Тогда {ν = n} = {ν 6 n}\{ν 6 n−1} ∈ Fn ; {ν > n} = Ω\{ν 6 n−1} ∈ Fn−1 .Пусть ν — момент остановки относительно{Fn }, {(Xn , Fn )} — (полу)мартингал. Определим значение Xn вPслучайный момент времени: Xν =Xn I{ν=n} .n>0Лемма 8.5. Если {(Xn , Fn )} — (полу)мартингал и ν — момент остановки относительно {Fn }, то остановленная последовательность {Xmin{ν,n} } — (полу)мартингал относительно {Fn }.nP Xmin{ν,n} =Xm I{ν=m} +Xn I{ν>n} , откуда Xmin{ν,n} измерима относительно Fn . Далее, Xmin{ν,n+1} =m=0n+1Pm=0Xm I{ν=m} + Xn+1 Iν>n+1 =nPm=0Xm I{ν=m} + Xn+1 Iν>n . Отсюда Xmin{ν,n+1} − Xmin{ν,n} = I{ν>n} (Xn+1 − Xn ).Поэтому M(Xmin{ν,n+1} − Xmin{ν,n} | Fn ) = M(I{ν>n} (Xn+1 − Xn ) | Fn ) = I{ν>n} M(Xn+1 − Xn | Fn ) — знаксовпадает со знаком M(Xn+1 − Xn | Fn ) (0 для мартингала, „+” для субмартингала, „−” для супермартингала),что и требовалось. Пусть {Xn } — мартингал.

Тогда (из мартингального свойства) MXn = MX0 . Верно ли это для Xν ? Казалосьбы, так как min{n, ν} −→ ν (n −→ ∞), получаем MX0 = MXmin{n,ν} −→ MXν . Но последний предельный переход(по сути, переход к пределу под знаком интеграла) не всегда законен.Пример 5.2. ξn ∼ N (0, 1) — независимые; X0 = 0, Xn = ξ1 + · · · + ξn — случайное блуждание ({Xn } —мартингал относительно {σ(X1 , . . . , Xn )}); ν = min{n : Xn < 0} — момент остановки.По закону повторного логарифма:Xnlim sup √= +1n→∞2n ln ln nиXnlim inf √= −1,n→∞2n ln ln nпоэтому почти наверное Xn меняет знак бесконечное число раз ⇒ P{ν < ∞} = 1 ⇒ MXν < 0 = MX0 .Пусть {Fn } — поток σ-алгебр, ν — момент остановки. Определим σ-алгебру Fν следующими эквивалентнымиспособами:()∞[Fν = A ∈ F : A =({ν = m} ∩ Bm ), Bm ∈ Fm ∀m = {A ∈ F : A ∩ {ν = m} ∈ Fm ∀m} =m=0= σ {{ν 6 n} ∩ Bn , Bn ∈ Fn }σ-алгебра Fν , таким образом, порождается совокупностью событий вида {ν 6 n} ∩ Bn , Bn ∈ Fn . ν измеримаотносительно Fν (достаточно взять Bn = Ω ∀n).

Если {Xn , Fn } — мартингал, то Xν измерима относительноFν :{Xν ∈ B} = ∪∞n=0 {ν = n, Xn ∈ B} ∈ Fν , т.к. Xn Fn -измерима.Вообще говоря, Fν 6= Fn ∀n.Утверждение 8.6. Пусть ν1 , ν2 – два момента остановки относительно {Fn }. Тогда {ν2 > ν1 } ∈ Fν1 ∩Fν2 .(∪∞n=0 ({ν1 = n} ∩ {ν2 > n}) ∈ Fν1 , т.к. {ν2 > n} ∈ Fn ,{ν2 > ν1 } =∪∞n=0 ({ν2 = n} ∩ {ν1 6 n}) ∈ Fν2 , т.к.

{ν1 6 n} ∈ Fn .27Теорема 8.7 (Сохранение мартингальности для одного момента остановки). Пусть {(Xn , Fn )} —мартингал, ν — момент остановки относительно {Fn }, M|Xν | < ∞, lim inf n−→∞ M (|Xn |I{ν > n}) = 0. Тогдас вероятностью 1M (Xν | F0 ) = X0 .Аналогичное свойство выполняется для полумартингалов (с заменой равенства на соответствующее неравенство).Перед тем, как доказать эту теорему, сделаем замечание общего характера.Замечание. Пусть f, g — измеримые функции на (Ω, F ), P {f 6= g} > 0. Тогда P {f > g} > 0 или P {f < g} >0. Пусть P {f > g} > 0. В этом случаеZZf P(dω) >gP(dω).{ω : f >g}R{ω : f >g}RСледовательно, если ∀A ∈ F : A f P(dω) = A gP(dω), то f = g п.н.

В нашем случае достаточно будет рассматривать A ∈ F0 , т.е. доказать, что X0 является вариантом M(Xν | F0 ); по свойству у.м.о. все его вариантысовпадают почти наверное. [Доказательство теоремы 8.7] Рассмотрим f (ω) = M (Xν | F0 ) , g(ω) = X0 . Согласно замечанию, достаточно установить, т.к. f, g — F0 -измеримые функции, что ∀A ∈ F0M (Xν IA ) = MM (IA Xν | F0 ) = M (M(Xν | F0 )IA ) = M (X0 IA ) ,то есть доказать, что M (Xν IA ) = M (X0 IA ).Лемма 8.8. Если {(Xn , Fn )} — мартингал, A ∈ F0 , ν — момент остановки относительно {Fn } и выполнены условия теоремы 8.7, то∀n > 0 : M (X0 IA ) = M Xmin{n,ν} IA = MXν IA∩{ν6n} + MXn IA∩{ν>n} .

Первое равенство выполнено в силу того, что Xmin{n,ν} — мартингал, второе получается разложениемIA . По условию lim inf n−→ 0, (k→∞ MXn IA∩{ν>n} = 0 существует последовательность {nk } : MXnk IA∩{ν>nk } −−→ ∞). Xν IA∩{ν6n} ↑ Xν IA как функции на Ω, |Xν IA∩{ν6n} | 6 |Xν IA |, M|Xν IA | 6 M|Xν | < ∞. Поэтому потеореме Лебега о мажорированной сходимостиMXν IA∩{ν6n} −→ MXν IA ,откуда немедленно получаем MX0 IA = MXν IA . Теорема 8.9 (Сохранение мартингальности для двух моментов остановки).

Пусть {(Xn , Fn )} —мартингал, ν1 , ν2 — моменты остановки относительно {Fn }, M|Xν1 | < ∞, M|Xν2 | < ∞,lim inf n−→∞ M|Xn |I {ν2 > n} = 0. Тогда M (Xν2 | Fν1 ) (ω) = Xν1 (ω) для п.в. ω, таких что ν2 (ω) > ν1 (ω). Аналогичное утверждение верно для семимартингалов с заменой равенства на неравенство соответствующегознака. {(Xn , Fn )} — мартингал на (Ω, F , P). Так как время дискретно, то ν1 ∈ N ∪ {0}. По свойству моментовостановки∞[{ν2 > ν1 } =Nm , Nm = {ν1 = m, ν2 > m} ∈ Fm .m=0При m1 6= m2 Nm1 ∩ Nm2 = ∅. Зафиксируем m.

Нам достаточно показать, что для данного m для почти всехω ∈ Nm выполняетсяM (Xν2 | Fν1 ) (ω) = Xν1 (ω).Рассмотрим ограничение вероятностного пространства на множество Nm с условной вероятностной мерой (вслучае P(Nm ) > 0; остальные Nm отбрасываем) и применим теорему 8.7. Новое вероятностное пространство —(Nm , F (m) , P(m) ), где F (m) = {A ∩ Nm | A ∈ F }, P(m) {B} = P {B | Nm }. Через M(m) обозначим мат. ожидание(m)(m)(m)по мере P(m) .

Новым потоком σ-алгебр объявим Fn = {A ∈ Fn : A ⊂ Nm } , n > m. Очевидно, Fm ⊆ Fm+1 ⊆. . . ⊆ F (m) .)(Теперь проверим, что(m), Fn(Xn)— мартингал на новом вероятностном пространстве.NmM(m)Xn+1Nm|Fn(m)!(ω) = M (Xn+1 | Fn ) (ω) = Xn (ω) = Xn28Nm, т.к. ω ∈ Nm и {(Xn , Fn )} — мартингал.На Nm ν1 = const, а ν2 — момент остановки относительно нового потока σ-алгебр:Ξn = {ν2 6 n, ν1 = m} ∈ Fn , Ξn ⊆ Nm ⇒ Ξn ∈ Fn(m) .Так как мы доказываем свойство, выполняющееся почти наверное, то имеет смысл рассматривать только Nmс P {Nm } > 0. Отметим, что так как момент остановки может принимать и бесконечное значение, то, вообщеговоря, ∪m Nm 6= Ω. Именно поэтому в следующей строчке мы имеем не равенство, а оценку снизу.M|Xn |I {ν2 > n} >∞Xm=0M|Xn |I {ν2 > n} I {Nm } ==∞Xm=0M |Xn |Nm∞Xm=0M (|Xn |I {ν2 > n} | Nm ) P {Nm } =I {ν2 > n} | NmПокажем теперь, что для каждого m lim inf n−→∞ M |Xn |Nm!P {Nm } .I {ν2 > n} | Nm!= 0.