А.Н. Зубков - Курс лекций по теории случайных процессов, страница 12

Положимαn (ω) =∞Xk=0k2−n Ik2−n 6τ (ω)<(k+1)2−n ↑ τ (ω), n −→ ∞,и определим Xn (t, ω) = W (min(t, αn (ω)), ω). Проверка Fτ -измеримости Xn тривиальна:{ω : Xn (t, ω) 6 x, τ 6 s} = ∪k X(min(t, k2−n )) 6 x, τ 6 s, τ ∈ [k2−n , (k + 1)2−n ) ∈ Fs .Докажем, наконец, то, ради чего мы это всё вводили.Теорема 9.12. Пусть M (t) = sup[0,t] W (s) (это случайная величина, т.к.

f 7→ sup[0,t] f есть непрерывноеотображение C0 [0, ∞) −→ R). Тогда ∀x, y, t > 0P(W (t) < y − x, M (t) > y) = P (W (t) > y + x). Если y = 0, то утверждение теоремы тривиально. Пусть y > 0. Тогда τy = inf{s ∈ [0, ∞) : W (s) > y}есть момент остановки относительно {Ft = σ{W (t)}}. Он конечен п.н. в силу закона повторного логарифма дляслучайного блуждания W (n) (почти наверное существует целая точка, в которой W (n) сколь угодно велико).Рассмотрим «отражённый» относительно τy процесс Z.

Тогда σy = inf{s > 0 : Z(s) = y} — тоже момент остановки относительно {σ{Z(t)}}, причём при всех y > 0, ω ∈ {τy < ∞} имеем σy (ω) = τy (ω), потому что до моментаτy (ω) траектории X и Z совпадают. Заметим, что {τy 6 t} = {M (t) > y} Поэтому для любого B ∈ B(C0 [0, ∞)),t > 0 имеемP(τy 6 t, W ∈ B) = P (W ∈ B̂ ∩ B),39где B̂ = {f : sup[0,t] > t} ∈ B(C0 [0, ∞)) в силу непрерывности взятия sup. Одновременно иP(σy 6 t, Z ∈ B) = P(Z ∈ B̂ ∩ B) = P(W ∈ B̂ ∩ B),так как Z — тоже винеровский процесс.

Получили, что (τy , W ) и (σy , Z) распределены одинаково. В силу непрерывности траекторий W имеем W (τy (ω), ω) = y п.н., поэтому при t > σy (ω) получаем Z(t, ω) = 2W (τy (ω), ω) −W (t, ω) = 2y − W (t, ω). Следовательно,P(M (t) > y, W (t) < y − x) = P(σy 6 t, Z(t) < y − x) =P(σy 6 t, W (t) > y + x) = P(τy 6 t, W (t) > y + x) = P(M (t) > y, W (t) > y + x) = P(W (t) > y + x), x > 0.Следствие 9.1.P(M (t) > y) = 2P(W (t) > y).Возьмём в предыдущей теореме x = 0.

ПолучимP(W (t) < y, M (t) > y) = P(W (t) > y).Имеем P(M (t) > y) = P(M (t) > y, W (t) < y) + P(M (t) > y, W (t) > y) = P(W (t) > y) + P(W (t) > y) = 2P(W (t) >y) (в силу непрерывности нормального распределения P(W (t) = y) = 0. 9.3. Закон повторного логарифма для винеровского процессаТеорема 9.13 (закон повторного логарифма для винеровского процесса).w(t)w(t)P lim sup √= 1 = P lim inf √= −1 = 1;t−→∞ 2t ln ln tt−→∞ 2t ln ln tw(t)w(t)= 1 = P lim inf q= −1 = 1.P lim sup q→0+ t− t−→0+2t ln ln 12t ln ln 1tt Вторая строчка следует из первой (рассмотрим w∗ ). Значения винеровского процесса в целых точках{w(n)} образуют случайное блуждание с распределением N (0, 1) — применяем закон повторного логарифмадля случайного блуждания и следующую лемму:Лемма 9.14.

w(t)w([t]) √√P lim −= 0 = 1.t→∞2t ln ln t2t ln ln t Из однородности винеровского процесса по времени и симметричности нормального распределения получаем:Psupn6t6n+1|w(t) − w(n)| > x 6 P sup w(t) > x + P inf w(t) < −x =06t6106t61+∞Z x2 4v2= 2P sup w(t) > x = √e− 2 dv = O e− 2 .2π06t61x√ Положим An = supn6t6n+1 |w(t) − w(n)| > 2n . P(An ) = O(e−n ) — ряд по n сходится.|w(t) − w([t])|√P sup>12tt>N=P∞[n=NAn!6∞Xn=NP(An ) −→0(N −→ ∞).9.4.

Неограниченность вариации траекторий винеровского процессаИз закона повторного→ 0 осциллируютq логарифма следует,q что траектории винеровского процесса w(t) при t −между кривыми w =2t ln ln 1t и w = − 2t ln ln 1t .40Напомним некоторые факты из действительного анализа. Вариацией f на отрезке [a, b] называется Var[a,b] f =PNsupT j=1 |f (tj ) − f (tj−1 |, где T пробегает разбиения a = t0 < .

. . < tN = b. Если f дифференцируема, тоRbVar[a,b] f = |f ′ (t)|dt.aЛемма 9.15. Обозначим ∆tj ⇋ tj − tj−1 . Если w(t) — процесс броуновского движения, тоP Var[0,1] w = ∞ = 1и для любых t > 0, ε > 0 и для любой последовательности 0 = t0 < t1 < . . . имеем XlimP |(w(tj ) − w(tj−1 ))2 − t| > ε = 0.max ∆tj −→0 j : tj 6tM|w(tj ) − w(tj−1 )| = M|w(∆tj )|. Так как w(∆tj ) ∼ N (0, ∆tj ), то1M|w(∆tj )| = p2π∆tjsr+∞ZZ∞x2x222∆t2− 2∆t− 2∆tjj dx = pj dx => ∆tj.|x|exeππ max ∆tj2π∆tj−∞022∆tjD|w(∆tj )| = Mw (∆tj ) − M |w(∆tj )| = ∆tj −= ∆tj 1 −.ππsXX2m({tj }) ⇋ M|w(tj ) − w(tj−1 )| 6∆tj .π max ∆tj22j : tj 61d({tj }) ⇋ DP Xj : tj 61Xj : tj 61j : tj 61 X22|w(tj ) − w(tj−1 )| = 1 −∆tj = 1 − + O(1).ππj : tj 61 X|w(tj ) − w(tj−1 )| < x 6 P |w(tj ) − w(tj−1 )| − m({tj }) > m({tj }) − x 6j : tj 616d({tj })−→0m({tj }) − x)2(max ∆tj −→ 0).Вторая часть утверждения доказывается аналогично:24M (w(tj ) − w(tj−1 )) = Mw2 (∆tj ) = ∆tj , M (w(tj ) − w(tj−1 )) = Mw4 (∆tj ) = 3(∆tj )2 ,2MXj : tj 6tDXj : tj 6tD (w(tj ) − w(tj−1 )) = Mw4 (∆tj ) − (Mw2 (∆tj ))2 = 2(∆tj )2 .2(w(tj ) − w(tj−1 )) =2(w(tj ) − w(tj−1 )) = 2Xj : tj 6tX(∆tj )2 −→0j : tj 6t41∆tj −→t(max ∆tj −→ 0).(max ∆tj −→ 0)..