А.Н. Зубков - Курс лекций по теории случайных процессов, страница 4

Если P {γ = 0} = 0, то P {γ > 1} = 1, P {γ = 1} < 1, т.к. f (s) 6≡ s.P µ(t + 1) = γt1 + . . . + γtµ (t) > µ(t) = 1,kP {µ(t + 1) > k + 1 | µ(t) = k} > 1 − (P {γ = 1}) > 1 − P {γ = 1} = r > 0,P {µ(t + 1) > k0 + 1} > P {µ(t) > k0 + 1} + P {µ(t) = k0 , µ(t + 1) > k0 } > P {µ(t) > k0 + 1} + rP {µ(t) = k0 }Аналогично пункту 1 получаемP {µ(t + 1) > k0 + 1} > rчто опять приводит к противоречию.tXv=0P {µ(t) = k0 } −→ ∞ (t −→ ∞),Теорема 4.6 (предельная теорема для надкритических ветвящихся процессов).Если Ao = Mγ > 1nи 0 < σ 2 = Dγ < ∞, то существует случайная величина X : P {X > 0} > 0 и P µ(t)−→X,t−→ ∞ = 1. ПриAtэтом MX = 1 и характеристическая функция ψ(u) = MeiuX удовлетворяет уравнению ψ(Au) = f (ψ(u)).Замечание. На самом деле эта теорема справедлива при гораздо более слабых условиях. Необходимым идостаточным условием существования такой величины X является M (γ ln(1 + γ)) < ∞.

Определим последовательность дискретных случайных величин X(t) =даментальна в L2 (Ω), то есть∀ε > 0 ∃s0 : M (X(s) − X(t))2 < ε ∀s, t > s0 .14µ(t)At .Покажем, что {X(t)} фун-∀tM (µ(t + k) | µ(t) = m) = Ak m, следовательно, M (X(t + k) | X(t) = x) = Mзначит, M (X(s) − X(t) | X(k)) = 0 ∀s, t > k.Имеем1µ(t+k)At+k| µ(t) = xAt =xAt AkAk+t= x, а,M ((X(t) − X(t − 1))(X(s) − X(s − 1))) = M ((X(t) − X(t − 1)) M (X(s) − X(s − 1) | X(t), X(t − 1))) == M (X(t) − X(t − 1)) M (X(s) − X(s − 1) | X(t)) = 0.2M (X(t) − X(t − 1)) = MТогда при t < s справедливо22no2µ(t) µ(t − 1)1−=MM(γ−A)+...+(γ−A)|µ(t−1)=t−1,1t−1,µ(t−1)AtAt−1A2t1At−1σ2= 2t M σ 2 µ(t − 1) = σ 2 2t = t+1 .AAAM (X(s) − X(t)) = MsXv=t+1!2(X(v) − X(v − 1))16 σ 2 t+2A (1 −1A)=sXv=t+12M (X(v) − X(v − 1)) =sXσ26Av+1v=t+1−→ 0 (t −→ ∞).Фундаментальность доказана, стало быть, X(t) сходится к X в L2 (Ω).

Вообще говоря, это не означает сходимостипочти наверное, но покажем,что в нашем случае она всё же имеет место. Если мы найдём такую функцию f (t)P∞−→ 0, t −→ ∞, чтоP{|X(t)− X| > f (t)} < ∞, то по лемме Бореля–Кантелли с вероятностью 1 будетt=1п.н.выполняться бесконечно много событий вида |X(t) − X| 6 f (t), t > t0 , т.е. X(t) −→ X. В качестве такой f (t)1можно взять, например, At/3 :1ccP |X(t) − X| > t/3 6 t 2= t/3A f (t)AAдля некоторой константы c в силу неравенства Чебышёва для случайной величины X(t) − X, а оценку для её2второго момента можно получить предельным переходом из выражения для M (X(s) − X(t)) .п.н.iuX(t)Докажем теперь свойство характеристической функции X.

Пусть ψt (u) = Me. X(t) −→ X ⇒ ψt (u)−→ ψ(u) ∀u ∈ R.! u µ(t + 1)1iuX(t+1)ψt+1 (u) = Me= M exp iu= ϕ t + 1, exp iu t+1= f ϕ t, exp i t+1=At+1AA!! !µ(t)uiuX(t)/A= f M exp iu t+1= f Me= f ψt.AAuОсталось заметить, что левая часть этого равенства сходится к ψ(u), а правая — к f ψ( A) .5. Конечномерные распределения случайных процессовОпределение.

Пусть дано вероятностное пространство (Ω, B, P) и случайный процесс ξ : Ω −→ G (G —некоторое функциональное пространство), т.е. совокупность случайных величин ξ(t), и конечный набор точекt1 , . . . , tk . Распределение вектора (ξ(t1 ), . . . , ξ(tk )) называется конечномерным распределением процесса ξ.5.1. Семейства согласованных распределенийПример 1.1. Заметим, что случайный процесс с заданными конечномерными распределениями может и несуществовать. Положим, например, P{ξ(1) = m, ξ(2) = n} = 14 (n, m = 0, 1) и P{ξ(2) 6 x, ξ(3) 6 y} = Φ(x)Φ(y),где Φ — функция стандартного нормального распределения.Чтобы такого не было, вводится требование согласованности.

Интуитивно это означает, что результат вычисления вероятности любого события не зависит от способа его вычисления по конечномерным распределениям.Для формального определения ограничимся случаем действительнозначного случайного процесса.Определение. Семейство распределений (вероятностных мер) P = {Pt1 ,...,tk , t1 < · · · < tk , k = 1, 2, . . . }(Pt1 ,...,tk — вероятностная мера на Rk ) называется согласованным, если для любых упорядоченных наборов1 Предпоследнее равенство в следующей цепочке верно в силу того, что µ(t), а вместе с ними и X(t), образуют цепи Маркова,поэтому условные распределения относительно X(t), X(t − 1) и просто X(t) совпадают. — примеч.

А.Х.15t1 < · · · < tn , s1 < · · · < sm , v1 < · · · < vk , для которых {v1 , . . . , vk } = {t1 , . . . , tn } ∩ {s1 , . . . , sm } и для любыхборелевских множеств C1 , . . . , Ck ⊆ R имеемPv1 ,...,vk (C1 × · · · × Ck ) = Pt1 ,...,tn (A1 × · · · × An ) = Ps1 ,...,sm (B1 × · · · × Bm ),гдеAj =(Ci , tj = vi ,Rв ином случаеиBj =(Ci , sj = vi ,Rв ином случае.Доказательство следующей теоремы можно прочитать в книжке Боровкова. В нашем курсе его не будет.Теорема 5.1 (теорема Колмогорова о согласованных распределениях). Если на RR задано семейство согласованных распределений P, то на пространстве (RR , F ) (здесь F — борелевская σ-алгебра на RR ,т.е.

σ-алгебра, порождённая цилиндрическими борелевскими множествами) существует единственная мераP такая, что для любого конечного множества {t1 , . . . , tn } = T ⊂ R проекция P на RT совпадает с Pt1 ,...,tk .6. Процессы с независимыми приращениями.Пуассоновский процесс6.1. ОпределенияОпределение. Процесс с независимыми приращениями — это такой случайный процесс ξ(t), что для любогоупорядоченного набора t1 < · · · < tk вектор приращений (ξ(t2 ) − ξ(t1 ), ξ(t3 ) − ξ(t2 ), .

. . , ξ(tn ) − ξ(tn−1 )) имеетнезависимые координаты.В частности, любой процесс с независимыми приращениями является марковским. Чтобы задать такой процесс, достаточно сопоставить каждой паре s < t распределение случайной величины ξ(t) − ξ(s). Условия согласованности в данном случае имеют вид: для любых t1 < · · · < tn распределение ξ(tn ) − ξ(t1 ) совпадает сраспределением суммы δt1 t2 + δt2 t3 + · · ·+ δtn−1 tn , где δtk tk+1 — независимые в совокупности случайные величины,распределённые так же, как и ξ(tk+1 ) − ξ(tk ).Определение.

ν(t) — однородный пуассоновский процесс с интенсивностью λ, если ν — процесс с независимыми приращениями и для всех t > sP{ν(t) − ν(s) = k} =(λ(t − s))k −λ(t−s)e.k!Процесс с независимыми приращениями ν(t) — пуассоновский процесс с ведущей функцией Λ (Λ — монотоннонеубывающая функция), еслиP{ν(t) − ν(s) = k} =(Λ(t) − Λ(s))k −(Λ(s)−Λ(t))e.k!Однородный пуассоновский процесс является частным случаем пуассоновского процесса вообще: положимΛ(t) = λt. Обратно, если ν(t) — однородный пуассоновский процесс с интенсивностью λ = 1, то процесс νΛ (t) =ν(Λ(t)) — пуассоновский процесс с ведущей функцией Λ, т.е. произвольный пуассоновский процесс отличаетсяот однородного заменой времени.6.2.

Свойства пуассоновского процессаУтверждение 6.1. Если ν(t) — однородный пуассоновский процесс с интенсивностью λ, то при h −→ 0+имеем:P{ν(t + h) − ν(t) = 0} = 1 − λh + o(h),P{ν(t + h) − ν(t) = 1} = λh + o(h),P{ν(t + h) − ν(t) > 1} = o(h).Обратно, если целочисленный однородный по времени случайный процесс с независимыми приращениями ν(t)удовлетворяет этим соотношениями, то ν(t) — пуассоновский с интенсивностью λ. В прямую сторону утверждение почти очевидно. Действительно, по определению P{ν(t + h) − ν(t) =(λh)k −λhk} =e.

При k = 0 это превращается в e−λh = 1 − λh + o(h) по формуле Тейлора. По той же формулеk!при k = 1 получаем: λhe−λh = λh + o(h). А для k > 1 остаётся 1 − (1 − λh + o(h)) − (λh + o(h)) = o(h).16Докажем обратное. Пусть [t, t+h) — произвольный интервал. Разобьём его на n кусочков [t+k nh , t+(k +1) nh ).ν(t + h) − ν(t) =n−1Xk=0hhν t + (k + 1)−ν t+k.nnВ этой сумме все слагаемые независимы. Рассмотрим производящую функцию отдельногослагаемого (при0 < s < 1 геометрическая прогрессия сходится, и все члены, начиная с s2 , уходят в o nh : hhhhhhhhhν (t+(k+1) n−ν (t+k n))Ms= 1−λ +o+s λ +o+o= e−λ n (1−s)+o( n ) .nnnnn(Для последнего перехода нужна равномерность о-маленьких по k, которая достигается однородностью процессапо времени.) В силу независимости слагаемыхMsν(t+h)−ν(t)=n−1Yk=0e−λ n (1−s)+o( n ) = e−λh(1−s)+o(1) −−−−→ e−λh(1−s) ,hhn→∞а это производящая функция распределения Пуассона с параметром λh.

Траектория процесса Пуассона монотонно неубывает и локально постоянна (имеет скачки на дискретноммножестве). Далее мы покажем, что она скачет не больше, чем на 1.Определение. Последовательность точек скачков пуассоновского процесса называется пуассоновским потоком.1.Утверждение 6.2. С вероятностью 1 все скачки пуассоновского процесса с интенсивностью λ < ∞ равны Для пуассоновского процесса ν(t) с интенсивностью λ положим ν2 (t, h) ⇋ количество скачков ν(t)величины больше 1 на [t, t + h).nXσn (t, h) ⇋I{ν(t+ kh )−ν(t+(k−1) h )>1}nnk=1Как видно, ∀n > 1 {ν2 (t, h) > 1} ⊆ {σn (t, h) > 1}.Mσn (t, h) = XnnXkhhP ν(t +P {∆k > 1} ,) − ν(t + (k − 1) ) > 1 =nnk=1k=1где {∆k } — независимые в совокупности пуассоновские случайные величины с параметром λ nh .