Раздаточные материалы

Раздел 1. Теория случайных чисел.Все события делятся на детерминированные, случайные и неопределенные.Если событие наступает в эксперименте всегда, оно называется достоверным, если никогда– невозможным. Это детерминированные события.Статистическое определение вероятности: Если в опыте, повторяющемся n раз, событиеmпоявляется mA раз, тогда относительная частота наступления события: lim hn( A) = A = P( A) .nn →∞Р(А) – вероятность наступления события А.Для достоверного события Ω: Р(Ω)=1. Для невозможного события ∅: Р(∅)=0.0 ≤ P(A) ≤ 1, т.к. 0≤mA≤n Æ 0 ≤ hn(A) ≤ 1Ω mA=n hn(A)=1∅ mA=0 hn(A)=0Все мыслимые взаимоисключающие исходы опыта называются элементарнымисобытиями. Наряду с ними можно наблюдать более сложные события – комбинацииэлементарных.Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если появлениеодного из них не более возможно, чем другого.Классическое определение вероятности: Если n-общее число элементарных событий и всеони равновозможные, то вероятность события А:mР ( А) = A ,nгде mA- число исходов, благоприятствующих появлению события А.Раздел 2.

Сложные события.Теория сложных событий позволяет по вероятностям простых событий определятьвероятности сложных. Она базируется на теоремах сложения и умножения вероятностей.1)Суммой (объединением) двух событий А и В называется новое событие А+В,заключающееся в проявлении хотя бы одного из этих событий.2)Произведением (пересечением) двух событий А и В называется новое событие АВ,заключающееся в одновременном проявлении обоих событий.

А*В=АВ, АА=А, АВА=АВ.3)Событие А влечет за собой появление события В, если в результате наступлениясобытия А всякий раз наступает событие В. А⊂ВА=В: А⊂В, В⊂АДва события называются несовместными, если появление одного из них исключаетвозможность появления другого.Если события несовместны, то АВ=∅.События А1, А2, …Аn образуют полную группу событий в данном опыте, если ониявляются несовместными и одно из них обязательно происходит:AiAj=∅ (i≠j, i,j=1,2…n)A1+A2+…+An=ΩА - событие противоположное событию А, если оно состоит в не появлении события А.А и А - полная группа событий, т.к.

А+ А =Ω, А А =∅.Теорема сложения вероятностей.Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей событий:Р(А+В+С+…) = Р(А) + Р(В) + Р(С) +…Следствие. Если события A1+A2+…+An - полная группа событий, то сумма ихвероятностей равна 1.1A i A j = ∅⎫⎪n⎬ ⇒ P ( A1 + A2 + ... + An ) = 1Аi = Ω ⎪∑i =1⎭P(A+ А ) = P(A) + P( А ) = 1Вероятность наступления двух совместных событий равна:Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ)Р(А+В+С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(АВ) – Р(АС) – Р(ВС) – Р(АВС)В2А= В1Теорема.

Если А⊂В, то Р(А) ≤ Р(В).В=В1+В2 (В1=А) Р(В)=Р(В1) + Р(В2)= Р(А) + Р(В2)Теорема умножения вероятностей. Условные вероятности.Опыт повторяется n раз, mB раз наступает событие В, mАВ раз наряду с событием Внаступает событие А.mmhn(B) = B hn(AB) = ABnnРассмотрим относительную частоту наступления события А, когда событие В уженаступило:mmmhn( AB)hn A = AB = AB ÷ B =BmBnnhn( B )P( AB)PA =- условная вероятность события А по событию В – вероятностьBP( B)события А, когда событие В уже наступило.( )( )Свойства условных вероятностей.Свойства условных вероятностей аналогичны свойствам безусловных вероятностей.P( AB)1. 0 ≤ Р(А/В) ≤ 1, т.к.

P A =; АВ ⊂ В, Р(АВ) ≤ Р(В)BP( B)2. Р(А/А)=13. В⊂А, Î Р(А/В)=1BΩ = BP Ω =1B4.Bο/ = ο/P ο/ = 0B( )( )( )5. Р[(A+C)/B] = Р(А/В) + Р(C/В) – Если события А и С несовместныР[(A+C)/B] = Р(А/В) + Р(C/В) - Р(АC/В) – Если события А и С совместны(P AСB) = P(( AP(+BС) )В ) = P( AВP( B+)СВ ) = PP((AВB)) + PP((СВB)) = P(A B ) + P(С B )Теорема. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одногособытия на условную вероятность другого.Р ( АВ ) = Р( А) ⋅ P В = Р(В ) ⋅ P ААВ( )( )2A⎞ ⋅ ...

⋅ P⎛ AN⎞Р( А1 А2 A3 ... AN ) = P( A1 ) ⋅ P⎛⎜ A2 ⎞⎟ ⋅ P⎛⎜ 3⎟⎜AAAA1 А2 A3 ... AN −1 ⎟⎠1⎠1 2⎠⎝⎝⎝Свойства независимых событий.Если события А и В независимы, то независимы и каждая из пар: А и В, А и В , А и В,Аи В .Если события Н1, Н2, …Нn независимы, то заменяя любые из них на противоположные,вновь получаем независимые события.Формула полной вероятности.Вероятность события В, которое может произойти совместно только с одним из событийН1, Н2, …Нn , образующих полную группу событий, вычисляется по формуле:Р ( А) = ∑ P(H i ) ⋅ P⎛⎜ A ⎞⎟⎝ Hi ⎠i =1События А1, А2, …Аn называют гипотезами.NТеорема гипотез (формула Байеса).Если до опыта вероятности гипотез были Р(Н1), Р(Н2)…Р(НN), а в результате опытапроизошло событие А, то условные вероятности гипотез находятся по формуле:P (H i )P( A)НР⎛⎜ i ⎞⎟ = NA⎠⎝P(H i )Р⎛⎜ A ⎞⎟∑⎝ Hi ⎠i =1Пример.

На трех технологических линиях изготавливаются микросхемы. Найти: 1)вероятность того, что случайно выбранное изделие оказывается бракованным; 2) вероятность того,что если изделие дефектно, то оно изготовлено на 1 линии.Вероятность брака№ линииКоличествоизготавливаемыхмикросхем125%5%;235%4%340%2%Рассмотрим события: Н1, Н2,…Нi,…,НN (полная группа событий)– изделие изготавливаетсяi линией; А{изделие с браком}.3Р( А) = ∑ P(H i )P⎛⎜ A ⎞⎟⎝ Hi ⎠i =1P(H 1 ) = 0.25P(H 2 ) = 0.35P(H 3 ) = 0.4⎞ = 0.04P⎛⎜ A ⎞⎟ = 0.05 P⎛⎜ AP⎛⎜ A ⎞⎟ = 0.02⎟⎝ H1 ⎠⎝ H2 ⎠⎝ H3 ⎠1) Р(А)=0,25*0,05+0,35*0,04+0,4*002=0,0345=3,45%0.25 * 0.05H= 0.36 = 36%2) P⎛⎜ 1 ⎞⎟ =A⎝⎠0.0345Схема последовательных испытаний Бернулли.Проводится серия из n испытаний, в каждом из которых с вероятностью р может произойтисобытие А, с вероятностью q=1-р событие А .Вероятность наступления события А не зависит от числа испытаний n и результатов другихиспытаний.Такая схема испытаний с двумя исходами (событие А наступило либо не наступило) называетсясхемой последовательных испытаний Бернулли.Пусть при n испытаниях событие А наступило k раз, (n-k) раз событие А .3С nk =n!- число различных комбинаций события Аk!(n − k )!Вероятность каждой отдельной комбинации: p k q k −1Вероятность того, что в серии из n испытаний событие А, вероятность которого равна р,появится k раз: Pn (k ) = C nk p k q n −kn∑ P (k ) = 1 - условие нормировки.k =0nПример.

Вероятность изготовления нестандартной детали равна р=0,25, q=0.75. ПостроитьмногоугольникраспределениявероятностейчислаP 8 (k )0. 3нестандартных деталей среди 8 изготовленных.N=8p=0.25q=0.750. 2kkР8 (k ) = C8 ⋅ 0.25 ⋅ 0.758− k0. 1k2468Если k0 – наивероятнейшее число, то оно находится в пределах:np-q ≤ k0 ≤ np+qЕсли число (np+q) нецелое, то k0 – единственноеЕсли число (np+q) целое, то существует 2 числа k0.⎧> 1, k < np + p - ломанная линия на [k - 1, k ] возрастаетPn (k )p n − k +1⎪= =⎨< 1, k > np + p - ломанная линия на [k - 1, k ] убываетPn (k − 1) qk⎪= 1, k = np + p ломанная линия постоянна⎩Предельные теоремы в схеме Бернулли.1. Предельная теорема Пуассона.

При р≈0, n-велико, np= λ ≤ 10.λk −λλ2e + Rn , R n ≤k!nФормула дает распределение Пуасона, описывает редкие события.Pn(k)Pnk =2. Предельная теорема Муавра-Лапласа.0 ≤ p ≤ 1, n –велико, np>10nPn (k ) =f (m ) =⎛ k − np ⎞1⎟f⎜⎜npq ⎝ npq ⎟⎠m21 −2e- стандартное нормальное распределение2π3. Предельная интегральная теорема Муавра-Лапласа.В условиях предыдущей теоремы вероятность того, что событие А в серии из n испытанийнаступит не менее k1 раз и не более k2 раз:Pn (k1 ≤ k ≤ k 2 ) = Φ( x 2 ) − Φ( x1 )4t2x−1Φ( x ) =e 2 dt - функция∫2π 0Ф ( х)0, 5Лапласаk − npk − np; x2 = 2x1 = 1npqnpqх-0, 5Следствие:⎛ ε ⎞⎟Pn ( k − np ≤ ε ) = 2Φ⎜⎜ npq ⎟⎝⎠np − ε ≤ k ≤ np + ε123123k1x1 =−εk2; x2 =εnpqnpqПример. ОТК проверяет на стандартность 1000 деталей.

Выбранная деталь с вероятностьюр=0,975 является стандартной.1) Найти наивероятнейшее число стандартных деталей:K0=np=9752) Найти вероятность того, что число стандартных деталей среди проверенных отличается отk0 не более чем на 10.⎛ 10 ⎞⎟ = 2Φ(2,026) = 0,95 = 95%Pn ( k − np ≤ 10) = 2Φ⎜⎜ npq ⎟⎝⎠3) С вероятностью 0,95 найти максимальное отклонение числа стандартных деталей средипроверенных.Pn ( k − np ≤ ε ) = 0,95⎛ ε ⎞⎟ = 0,952Φ⎜⎜ npq ⎟⎝⎠⎛ ε ⎞2Φ⎜⎟ = 0,475⎝ 4,937 ⎠ε4,937= 1,96 → ε = 9,674) Найти число проверяемых деталей n, среди которых с вероятностью 0,9999 стандартныедетали составят не менее 95%.0,95n ≤ k ≤ n⎛0.025 ⎞⎟ = 0.9999P(0,95n ≤ k ≤ n)=0.9999 = Ф(х2)- Ф(х1) = 2Φ⎜⎜ n⎟0.975⎝⎠x2 =x1 =n − npnpq=0,95n − npnpqn (1 − p )pq=− n⎛ n ⎞⎟ = 0,49995Φ⎜⎜⎟39⎝⎠при р=0,9999 n=594при р=0,999 n=428при р=0,99 n=260= n0.0250.9750.0250.975n= 3.9 n=3.92*39=594395Раздел 3.

Случайные величины и распределение вероятностей.Случайная – величина, которая в ходе опыта принимает то или иное значение извозможных своих значений, меняющееся от опыта к опыту и зависящее от множестванепредсказуемых факторов.Если случайные события характеризуют процесс качественно, то случайная величина –количественно.Случайная величина – численная функция, задаваемая на множестве элементарныхсобытий. На одном множестве может быть несколько случайных величин.Дискретная случайная величина (ДСК) – величина, принимающая счетное (конечное илибесконечное) множество значений.Непрерывная случайная величина (НСВ) – случайная величина, значения которойобразуют несчетные множества.

(Например, расход бензина на 100 км у автомобиля Жигули вНижнем Новгороде).Задать св – значит указать все множество ее значений и соответствующие этим значениямвероятности. Говорят, что задан закон распределения случайной величины.Случайная величина может быть задана несколькими способами:1. Табличный.Х a1 a2 … а nР p1 p2 … pn∑ рi = 1Значения случайных величин в таблице ранжируются, т.е. указываются в порядкевозрастания.Недостпаток табличного способа в том, что он пригоден только для случайных величин,принимающих небольшое количество значений.2.

Функция распределения F(x) = P(X<x) или интегральный закон распределения.Указывается вероятность того, что случайная величина принимает значение < x.a1a2a3…аn-1Хp1p2p3…pn-1РF(x) p1 p1+p2 p1+p2+p3 … p1+p2+…+pn-1При увеличении значения случайной величины, количествоступенек функции F(х) возрастает, уменьшается их высота иp 1 +p 2 +p3p 1 +p 2в пределе при n → ∞ получаем гладкую непрерывнуюp1функцию F(х).Свойства функции F(х).a1a2a3xan-1an1. Неотрицательна.

0≤ F(х)≤12. Неубывающая F(х2)> F(х1) при х2>х13. lim F ( x) = 0lim F ( x) = 11ч → −∞p 1 +p 2 +pn1ч → +∞4. Р(a<x<b) = F(a) – F(b) Вероятность того, что значение х попадет в интервал (а,b) определяетсяразностью значений функции на концах интервала.Наряду с F(х) вводится f(x) - функция плотности вероятности или дифференциальный законраспределения:P ( x < X < x + Δx ) F ( x + Δx ) − F ( x ) dF ( x )f ( x) ===ΔxdxΔx∞F ( x) =∫ f ( x )dx−∞Свойства функции f(x):1. Неотрицательна.

(т.к. F(x) неубывающая, f(x)≥0)62. Площадь фигуры под кривойнаbР (a < x < b) =интервале(a,b)равна:f(x)∫ f ( x )dxaaxb+∞Р (−∞ < x < ∞) =∫ f ( x)dx = 1 - условие нормировки функции f(x).−∞Основные дискретные и непрерывные случайные величины.Дискретные случайные величины (ДСВ).1. Биноминальная случайная величина x{0,1,2,3…n}Pn (m) = C nm p m q n −m , p+q=1, 0<p<12.