Методичка по электроду (задания), страница 2

Потенциалы Лиенара-ВихертаИсследование свойств плоских монохроматических электромагнитных волн с различнойполяризацией. Вычисление скалярного и векторного потенциалов заряженной частицы,движущейся по заданному закону.6.1. Плоская монохроматическая электромагнитная волна распростра~ t), H(z,~няется в вакууме вдоль оси z. Записать выражения для E(z,t) есливолна: а) линейно поляризована, б) поляризована по кругу.6.2. Найти плотность энергии и плотность потока энергии для плоской монохроматической электромагнитной волны, имеющей эллиптическую поляризацию; волновой вектор ~k направлен по оси Z. Проверить выполнение законасохранения энергии.6.3. Радиус-вектор ~r0 точечного заряда q изменяется по заданному закону ~r0 = ~r0 (t) .

Используя формулы для запаздывающих потенциалов, найти~ потенциалы заряда (называемые потенциаламискалярный ϕ и векторный AЛиенара-Вихерта).~6.3а*. Используя потенциалы Лиенара-Вихерта, найти напряженности E~ электромагнитного поля точечной заряженной частицы, движущейся поиHпроизвольному закону.6.4.

Используя формулы для потенциалов Лиенара-Вихерта, найти скалярный и векторный потенциалы равномерно и прямолинейно движущегосязаряда q.8Электродинамика полей и зарядов в вакууме6.5*. Разложить скалярный и векторный потенциалы в ряд по локальномузапаздыванию в дипольном приближении. Оценить вклад в потенциалы и поляот различных слагаемых в предельных случаях ω = 0 (статика), a ≪ r ≪ c/ω(ближняя зона) и a ≪ c/ω ≪ r (волновая зона).7 СЕМИНАР: Излучение нерелятивистских частиц,движущихся по заданному законуВычисление напряженностей электрического и магнитного полей, углового распределения иполной интенсивности излучения нерелятивистских частиц, движущихся по заданномузакону (мультипольное приближение).

Определение поляризации излучения.7.1. Заряд e совершает гармонические колебания вдоль оси Z с амплитудой a и частотой ω, ( a ≪ c/ω ). Найти полную интенсивность и угловоераспределение излучения. Исследовать поляризацию.7.2. Заряд e движется с постоянной угловой скоростью ω по окружностирадиуса R.

Найти угловое распределение и полную интенсивность излучения.Исследовать поляризацию излучения.7.3. Круговой контур радиуса a с постоянным током J вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг оси, которая образует угол α с нормальюк плоскости контура. Найти угловое распределение и полную интенсивностьизлучения. Указать тип поляризации.7.4. Найти полную интенсивность и угловое распределение Е2 (электрического квадрупольного) излучения линейного гармонического осциллятора(заряд e, частота ω, амплитуда a, a ≪ c/ω).

Какова частота Е2 излучения?Сравнить с полной интенсивностью и частотой Е1 (электрического дипольного) излучения.7.5. Найти полную интенсивность и частоту излучения системы из двуходинаковых зарядов q, вращающихся с постоянной угловой скоростью ω поокружности радиуса R и сдвинутых на угол α = π (т.е. в противофазе).7.6. Оценить при каком угле ϕ = π −α интенсивности Е1 и Е2 излученийв задаче 7.5. будут одинаковыми.7.7. Электрический диполь p~ гармонически колеблется вдоль своей оси(оставаясь параллельным самому себе) с амплитудой a и частотой ω .

Найтичастоту излучения и энергию, излучаемую за период.7.8*. Диполь P~ движется с постоянной угловой скоростью ω по окружности радиуса R оставаясь перпендикулярным плоскости окружности. Найтиполную интенсивность, угловое распределение и частоту излучения.Электродинамика полей и зарядов в вакууме98 СЕМИНАР: Излучение частиц при столкновенииИзлучение нерелятивистских частиц при столкновениях. Определение полной энергии,излученной заряженной частицей за все время соударения.8.1. Частица с зарядом e и массой m налетает из бесконечности нанеподвижный кулоновский центр с зарядом q того же знака. Столкновениелобовое, скорость частицы на бесконечности равна v0 . Найти полную энергию, излученную частицей за все время соударения.8.2. Нерелятивистская частица с зарядом e, массой m рассеивается в кулоновском поле бесконечно тяжелого силового центра (зарядQ) с прицельным расстоянием a, обеспечивающим малость отклонения,mv02 ≫ |eQ|/a (т.наз.

периферическое рассеяние). Найти полную энергию,излученную во время соударения, если скорость частицы на бесконечностиравна v0 .8.3. Нерелятивистская частица с зарядом e, массой m движется в од~ Найти время, в течение которогонородном постоянном магнитном поле H.энергия частицы уменьшается в 10 раз вследствие излучения.8.4*. Оценить по порядку величины энергию, излученную при периферическом рассеянии протона с зарядом e и массой m и нейтрона с магнитныммоментом µ.

Прицельное расстояние b.9 СЕМИНАР : К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А !10 СЕМИНАР: Рассеяние электромагнитных волн.Сила радиационного тренияВычисление дифференциального и полного сечения рассеяния плоских электромагнитныхволн на осцилляторе с учетом силы радиационного трения. Давление света.10.1. Линейно поляризованная плоская монохроматическая электромагнитная волна частоты ω падает на изотропный гармонический осциллятор ссобственной частотой ω0 . Найти дифференциальное и полное сечение рассеяния в зависимости от частоты с учетом силы радиационного трения.10.2.

Изотропный гармонический осциллятор с зарядом e, массой m~и собственной частотой ω0 помещен в однородное магнитное поле H.Определить движение осциллятора. Исследовать частоты и поляризацию излучения в зависимости от направления. Магнитное поле считать слабым,eH/(mc) ≪ ω0 .10Электродинамика полей и зарядов в вакууме10.3. Учитывая силу радиационного трения, найти силу давления света нанерелятивистский электрон.10.4*.

Исследовать рассеяние света частоты ω на двух независимых осцилляторах с собственной частотой ω0 в зависимости от расстояния R между~ падающей волны направлен вдоль линии, соединяосцилляторами. Вектор Eющей осцилляторы. Амплитуда колебаний осциллятора мала по сравнению сдлиной волны. Найти дифференциальное сечение рассеяния.10.5. Найти момент количества движения, который уносится за единицувремени излучением от точечного заряда e, вращающегося с постоянной угловой скоростью ω по окружности радиуса R.11 СЕМИНАР: Преобразования ЛоренцаЗадачи на применение преобразований Лоренца. Доплеровское смещение частотыэлектромагнитной волны.

Определение законов отражения от движущегося зеркала.11.1. Получить формулы для преобразования радиуса-вектора ~r и времени t при переходе из одной инерциальной системы в другую, имеющую относительно первой произвольно направленную скорость V~ .11.2. Используя инвариантность фазы и преобразования Лоренца, найтизакон преобразования частоты и волнового вектора.11.3. На базе релятивистской теории дать объяснение явлению астрономической аберрации.11.4. На базе релятивистской теории дать объяснение результатам опытовФизо.11.5.

Покоящийся атом испускает фотон частоты ω. В каких пределах изменяется частота излучения этого атома, если он движется со скоростью V ?11.5a. Поскольку Земля движется вокруг Солнца, частоты излучения всехвнеземных источников испытывают периодические изменения. Оценить масштабы этих изменений δω/ω, а также вклад в эти изменения собственногосуточного вращения Земли.11.6. Найти зависимость между углом падения и углом отражения, а такжезакон преобразования частоты при отражении света от зеркала, движущегосяс постоянной скоростью V .11.7. Найти закон преобразования длины волны при переходе в системукоординат, движущуюся под углом Θ к направлению волнового вектора.~ и напряженности полей E,~ H~ точечного11.8. Найти потенциалы ϕ, Aзаряда e, движущегося равномерно со скоростью V~ .Электродинамика полей и зарядов в вакууме11~ движущегося поступательно11.9.

Найти потенциалы точечного диполя d,с постоянной скоростью V~ .12 СЕМИНАР: Основы тензорной алгебрыОсновные операции тензорной алгебры. Поднятие и опускание тензорных индексов впространстве-времени Минковского. Преобразование компонент метрического тензора кновым координатам.Краткое введение.Изучение уравнений электродинамики показало, что пространство и времяпредставляют собой единое целое – четырехмерное пространство-время. Вэтом 4-мерном пространстве мы можем ввести четыре взаимно ортогональные оси: x0 = ct, x1 = x, x2 = y, x3 = z . Тогда радиус-вектор некоторойточки этого пространства будет иметь четыре компоненты и его можно записать в виде: xi ≡ {x0 , x1 , x2 , x3 } ≡ {ct, ~r}.

При такой записи обычно считают, что любой индекс, обозначенный латинской буквой (i, j, k и т.д.) можетпринимать четыре значения: i = 0, 1, 2, 3 . Совершенно аналогично и любойдругой 4-х вектор Ai можно спроектировать на координатные оси и определить его проекции Ai = {A0 , A1 , A2 , A3 } . По аналогии с 4-х вектором xiкомпоненту A0 называют временной компонентой, а компоненты A1 , A2 , A3 –пространственными компонентами. В декартовых координатах компонентамA1 , A2 , A3 соответствуют компоненты Ax , Ay , Az .Следующим по сложности (после 4-вектора) объектом является тензорвторого ранга, имеющий два индекса: T ik . Так как индексы i и k у этоготензора могут принимать независимо друг от друга значения 0, 1, 2, 3 , то данный тензор можно представить в виде матрицы, строки которой нумеруютсяиндексом i (первый индекс), а столбцы - индексом k (второй индекс). Приэтом следует учесть, что в отличие от обычной матрицы здесь нумерация начинается не с единицы, а с нуля: сначала идет нулевая строка, за ней перваяи т.д.Одним из наиболее важных тензоров второго ранга является контравариантный метрический тензор g ik .

Предполагается, что определитель матрицы g ik всегда отличен от нуля, и поэтому по данной матрице мы всегда можемпостроить ей обратную. Тензор gik соответствует матрице, обратной к g ik ;его называют метрическим тензором с ковариантными индексами (или, просто, ковариантным метрическим тензором).В декартовых координатах инерциальной системы отсчета псевдоевклидова пространства-времени (пространства специальной теории относитель-12Электродинамика полей и зарядов в вакуумености или пространства Минковского) матрицы, соответствующие тензорамgik и g ik , совпадают:1 0000  0 −1 0g ik = = gik .0 0 −1 0 0 00 −1Так как матрицы g ik и gik взаимно обратны, то выполняется соотношение3Xgim · gmk=δik=m=0n0 при i 6= k,1 при i = k.В тензорном анализе обычно принимают правило суммирования Эйнштейна:по индексам, обозначенным одной и той же буквой и стоящим один вверху(контравариантный индекс), а другой внизу (ковариантный индекс) предполагается суммирование по всей совокупности принимаемых данными индексамизначений.

В силу этого правила, записывая выражение gim · Amk , мы подразумеваем, что по индексу m происходит суммирование от 0 до 3:gim · Amk≡3Xgim · Amk .m=0Это правило позволяет в ряде случаев значительно упрощать запись сложныхтензорных выражений.Используя метрический тензор, мы можем поднимать и опускать индексыи у других тензоров, и, тем самым, находить связь между контра- и ковариантными компонентами одного и того же тензора. По определению имеем:Ai = gim · Am , Ti k = gim · T mk , Tik = gim · gkn · T mn ,Ai = g im · Am , T ik = g im · Tmk , T ik = g im · g kn · Tmn .С помощью метрического тензора можно получить обобщение понятия расстояния между двумя точками на случай 4-х мерного пространства-времени.Соответствующее "расстояние"в этом случае называется интервалом ds ; поопределению квадрат интервала равен: ds2 ≡ gik dxi dxk .В декартовых координатах инерциальной системы отсчета псевдоевклидова пространства-времени квадрат интервала имеет вид: ds2 = c2 dt2 − (d~r)2 ,отсюда уже видно, что в 4-мерном пространстве-времени "квадрат"интервалаЭлектродинамика полей и зарядов в вакууме13ds2 не является знакоопределенным: в зависимости от величин dt и d~r онможет быть меньше, равен или больше нуля.При выполнении преобразования координат 4-мерного пространства′′времени x i = x i (xm ) (переход от нештрихованных координат xm к штрихо′ванным координатам x i ) ковариантные четырехвекторы и тензоры 2-го рангапреобразуются по закону:∂xm ∂∂=,∂x′ i∂x′ i ∂xmA′i =∂xm· Am ,∂x′ i′Tik =∂xm ∂xn·· Tmn .∂x′ i ∂x′ kДля контравариантных компонент имеем:dx′ i =∂x′ i kdx ,∂xkA′ i =∂x′ i kA ,∂xkT ′ ik =∂x′ i ∂x′ k·· T mn .mn∂x∂xСмешанные компоненты тензора T.mn .