А.М. Стёпин - Курс лекций по функциональному анализу, страница 5

θ′ (x) = δ(x).В самом деле, hθ′ , ϕi = − hθ, ϕ′ i = −0∞PЛемма 2.6. Частичные суммы рядаR∞n=1ϕ′ (x) dx = ϕ(0) = hδ, ϕi. sin nxnограничены в совокупности. В силу периодичности и нечётности синуса достаточно доказатьдля x ∈ [0, π]. При x = 0 утверждение доказывать нечего. Разобьём сумму на два слагаемых: пусть m := min N, πx , тогдаNmNXXsin nx X=+=: S1 + S2 .nn=1n=1n=m+1Так как | sin x| 6 |x|, то|S1 | 6(20)mXnx h π i6· x 6 π.nxn=1(21)Для оценки второй суммы применим преобразование Абеля:nXak bk = an Bn +k=1n−1Xk=1гдеBk (ak − ak+1 ),Bk :=kX(22)bi .i=1Положим ak := k1 , а bk := sin kx. ТогдаNXsin nx1S2 ==nNn=m+1NXN−1Xsin kx +n=m+1k=m+1"nX#sin kxk=m+111−n n+1(23).Первое слагаемое можно грубо оценить по модулю числом 1, поскольку в сумме меньше, чем N , слагаемых, непревосходящих по модулю 1.

Далее, домножим и поделим второе слагаемое на sin x2 . После сворачивания суммысинусов числитель оценивается по модулю константой 1. ТогдаN−1X1|S2 | 6 1 +sin x2n=m+1Так как sin x2 >xπ,аm≈11−n n+1πx,1=1+sin x2N−1Xn=m+111−n n+1=1=1+sin x211−m+1 N61+1sinx2 (m+ 1). (24)знаменатели равномерно ограничены некоторой константой, что и требовалось. Теорема 2.7 (Формула Пуассона).XZeikx = 2πXZδ(x − 2πk).(25) Сразу скажем, как всё это следует понимать.

Подразумевается, что выражения равны как обобщённыефункции, то есть они совпадают при действии на тестовых функциях. Тогда слева получится сумма коэффициентов Фурье функции ϕ, а справа — сумма её значений в точках 2πk (ввиду финитности функции ϕ суммаконечна).∞Psin nxсходится к функции π−xПокажем, что ряд Фурьеn2 , продолженной с отрезка [0, 2π] периодически наn=1всю ось. Рассмотрим функциюln(1 − z) = −z −17z2z3−− ...23(26)182.1.5.

Дифференциальные уравнения в классе обобщённых функцийи подставим z = eiϕ . ТогдаЗначит,∞Psin ϕ sin 2ϕ sin 3ϕπ−ϕ=−−−− ...Im ln(1 − z) = arg 1 − eiϕ = −2123n=1sin nϕn=(27)π−ϕ2 .Теперь рассмотрим наш ряд как сумму регулярных обобщённых функций и продифференцируем его:∞XX1cos nx = − + πδ(x − 2πn),2n=1(28)Zтак как в точках 2πn скачок функции равен π. Далее, сумму косинусов представим в виде экспонент:∞Xn=1cos nx +∞1 X einx + e−inx11 X inx=+ =e .2 n=1222(29)ZДомножая полученное равенство на 2, получаем искомую формулу.

Законность всех этих преобразований обеспечивается предыдущими леммами. 2.1.5. Дифференциальные уравнения в классе обобщённых функцийRЛемма 2.8. Функция ϕ ∈ D является производной функции из D тогда и только тогда, когда ϕ = 0.+∞RRx Справа налево это очевидно: ψ ′ = ψ = 0. Наоборот: положим ψ(x) :=ϕ(t) dt.

Полученная−∞функция будет финитной, так как при x > max {t : t ∈ supp ϕ} интеграл обнулится. −∞Следствие 2.1. ЛюбаяR функцияR ϕ ∈ D представима в виде ϕ = ϕ0 +λϕ1 , где ϕ1 — некоторая фиксированнаяфункция, для которой ϕ1 = 1, а ϕ0 = 0.RR Действительно, пусть ϕ1 — такая функция, что ϕ1 = 1. Положим λ := ϕ и ϕ0 := ϕ − λϕ1 . Теорема 2.9. Дифференциальное уравнение F ′ = 0, где F ∈ D′ , имеет лишь постоянные решения FC .

Имеем hF ′ , ϕi = − hF, ϕ′Ri = 0. По предыдущей лемме функции производные функций из D есть вточности такие функции ϕ, что ϕ = 0. Представим любую функцию из D в виде ϕ = ϕ0 + λϕ1 и положимC := hF, ϕ1 i. Тогда, если F — решение, тоZ(30)hF, ϕi = hF, ϕ0 + λϕ1 i = hF, ϕ0 i +λ hF, ϕ1 i = Cλ = C ϕ = hFC , ϕi .| {z }0Таким образом, уравнение имеет только «классическое» решение F = const.

Замечание. Решений в классе обобщённых функций может быть как больше, так и меньше. Например,уравнение xy ′ = 0 имеет два решения: y(x) ≡ 0 и y(x) = θ(x). А вот уравнение − 21 x3 y ′ = y имеет классическое1решение y = e x2 , не допускающее регуляризации (это мы докажем позже), поэтому в классе D′ имеется лишьтривиальное решение y ≡ 0.Лемма 2.10.

Обобщённые решения линейных однородных систем с гладкими коэффициентами суть классические. Рассмотрим системуy ′ = A(x)y.(31)Пусть Φ(x) — фундаментальная матрица этой системы. Тогда Φ′ = AΦ. Сделаем замену y = Φz и подставимв исходную систему. Получим Φ′ z + Φz ′ = Ay = AΦz, но Φ′ z = AΦz, поэтому получим уравнение Φz ′ = 0. Апро его решения мы всё знаем: они только классические. Значит, исходная система имеет только классическиерешения. Теорема 2.11. Для любой обобщённой функции G уравнение F ′ = G имеет решение.

Если F — решение, тоhF, ϕ′ i = − hF ′ , ϕi = − hG, ϕi .(32)Таким образом, мы уже знаем, как F должно действовать на производные финитных функций. Представимфункцию ϕ в видеZZϕ=ϕe + ϕ0 ϕ, гдеϕ0 = 1.(33)18192.2.1. Регуляризация обобщённых функцийДоопределим F : положим hF, ϕ0 i := 0.Покажем, что так определённый линейный функционал F непрерывен.

Пусть ϕn → 0. Из разложенияZϕn = ϕen + ϕ0 ϕn(34)видно, что ϕen → 0. ТогдаhF, ϕn i = hF, ϕen i +Z(35)ϕn · hF, ϕ0 i → 0,| {z }0потому что мы знаем, что действие F на ϕen — это (с точностью до знака) действие G на первообразнуюRxψn (x) :=ϕen (t) dt. Но ясно, что ψn → 0, поэтому и hG, ψn i → 0. −∞Допустим, что мы умеем решать однородные системы вида y ′ = Ay. Научимся решать системы видаy ′ − Ay = F~ .(36)Пусть Φ — фундаментальная матрица однородной системы. Тогда Φ′ = AΦ. Снова делаем замену y = Φz иподставим в систему:Φ′ z + Φz ′ − AΦz = F~ .(37)Но Φ′ z = AΦz, поэтому уравнение примет видΦz ′ = F~ .(38)Отсюда получаем систему z ′ = Φ−1 F~ , которую мы уже умеем решать.2.2.

Структура обобщённых функций2.2.1. Регуляризация обобщённых функцийПусть у функцииf в нуле имеется неинтегрируемая особенность, а во всех остальныхточках всё хорошо.RRТогда, конечно, f ϕ может и не существовать. Однако, если 0 ∈/ supp ϕ, интеграл f ϕ существует. Поэтомуесли f растёт не более чем полиномиально (как x−d ) при x → 0, то функцию f как обобщённую можно регуляризовать. Пусть I — гладкий индикатор отрезка [−1, 1]. Представим всякую финитную функцию в виде суммыфункции, имеющей ноль не менее, чем d-го порядка в нуле (подпространство таких функций обозначим черезDd ), и некоторой линейной комбинации фиксированных функций из D.

Легко видеть, что разложениеd−1hi d−1X ϕ(k) (0)X ϕ(k) (0)ϕ(x) = ϕ(x) −xk · I(x) +xk · I(x)k!k!k=0(39)k=0является искомым. На функциях ϕd ∈ Dd определим функционал так:ZhFf , ϕd i := f (x)ϕd (x) dx.(40)А на функциях ψk := xk · I(x) доопределим его так: (k) hFf , ψk i := (−1)k δ (k) , ψk = δ, ψk = k!(41)Таким образом, на произвольной функции ϕ ∈ D функционал Ff будет действовать так:hFf , ϕi =Zd−1d−1hiX ϕ(k) (0)Xf (x) ϕ(x) −xk · I(x) dx +ϕ(k) (0).k!k=0(42)k=0Определение. Горбомв точке a называетсягладкая неотрицательная функция ϕ с носителем [−1, 1], такая,Rчто ϕ(x) = 1 при x ∈ a − 14 , a + 14 и ϕ = 1.Теорема 2.12. Если f растёт быстрее любой обратной степени x при x → 0, то задача регуляризациинеразрешима, то есть не существует такой обобщённой функции F , что на функциях ϕ ∈ D, носителькоторых не содержит нуля, она действует какZhF, ϕi = hFf , ϕi = f ϕ dx.(43)19202.2.2.

Разбиение единицы Рассмотрим горб ψ(x) в точке 0. Теперь сожмём его в n раз и сдвинем в точкуфункцию 2ψn (x) := ψ n x −.n2n,то есть рассмотрим(44)А теперь рассмотрим функциигде εn :=Тогда2n3f( n)(45)→ 0, потому что f стремится к нулю быстрее любой степени x. Заметим, что supp ψn = n , n3 .ϕn (x) := εn · ψn (x),0 ← hF, ϕn i = εnПротиворечие.

Z 213f (x)ψ n x −dx > εn f= 1.n2nn1(46)2.2.2. Разбиение единицыТеорема 2.13 (О разбиении единицы). Пусть Ω ⊂ R — открытое множество, а Uα — его открытое покрытие. Тогда существует набор {ψi } ⊂ D таких, что носитель каждой функции ψi лежит в некотором Uα(для разных i индекс α может быть различным), и таких, что1◦ 0 6 ψi 6 1;P2◦ψi (x) ≡ 1 на Ω;◦3 Для всякого компакта K ⊂ Ω найдутся i1 , . . . , im и окрестность U ⊃ K такие, что ψi1 + .

. . + ψim = 1на U .Будет написано позже. Определение. Такой набор функций {ψi } называется разбиением единицы, подчинённым покрытию Uα .2.2.3. Вторая конструкция разбиения единицыОпределение. Говорят, что покрытие {Vβ } вписано в покрытие {Uα }, если всякое Vβ целиком содержитсяв некотором Uα .SОпределение. Покрытие Uα называется локально конечным, если для любой точки x ∈ Uα над ней виситлишь конечное число элементов покрытия.Простой пример Un := −1 + n1 , 1 − n1 показывает, что не из всякого покрытия можно выделить локальноконечное.

Однако во всякое покрытие можно вписать локально конечное. Доказательство этого факта мы покапредоставляем читателю.Мы будем писать U ⋐ V , если Cl U ⊂ V .Утверждение 2.14. Пусть {Ui } — локально конечное покрытие R. Тогда найдётся разбиение единицы,подчинённое покрытию {Ui }. Без ограничения общности можно считать Ui ограниченными. Впишем в {Ui } покрытие {Vi } такое, чтоVi ⋐ Ui : рассмотрим дополнение F1 к множеству U2 ∪ U3 ∪ . . . . Имеем F1 ⊂ U1 . Теперь найдём V1 ⊃ F1 такое,что V1 ⋐ U1 .

Заметим, что V1 ∪ U2 ∪ U3 ∪ . . . покрывают R.Аналогично, на k-м шаге рассмотрим дополнение Fk к множествуV1 ∪ V2 ∪ . . . ∪ Vk−1 ∪ Uk+1 ∪ Uk+2 ∪ . . . .(47)и аналогично получим множество Vk+1 ⋐ Uk+1 . И так далее.Продолжение следует...2.2.4. Носитель обобщённой функцииОпределение. Говорят, что обобщённая функция F равна нулю на интервале I, если hF, ϕi = 0 для всех ϕ,у которых supp ϕ ⊂ I.Легко видеть, что в этом определении интервал можно заменить произвольным открытым множеством.Определение. Носителем supp F обобщённой функции F называет дополнение к наибольшему открытомумножеству U ⊂ R, на котором F = 0.Возникает вопрос: почему такое определение корректно, или, другими словами, почему носитель вообщесуществует? Ответ на него даёт следующее предложение.202.3.1.