А.М. Стёпин - Курс лекций по функциональному анализу

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М. В. ЛОМОНОСОВАМеханико-математический факультетКурс лекций пофункциональному анализуЛектор — Анатолий Михайлович СтёпинIII курс, 6 семестр, поток математиковМосква, 2010 г.Оглавление1.2.Ряды и преобразование Фурье1.1. Ряды Фурье . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.1. Сходимость ряда Фурье в точке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.2. Вычисление интеграла Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.3. Достаточное условие равномерной сходимости ряда Фурье . . . . . . . .1.1.4. Теорема Фейера . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2. Преобразование Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.1. Определение преобразования Фурье. Формула обращения . . . . . . . .1.2.2. Свойства преобразования Фурье . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.3. Связь между гладкостью и убыванием для функции и её образа Фурье1.2.4. Равенство Парсеваля для преобразования Фурье. Теорема Планшереля1.2.5. Система функций Чебышёва – Эрмита . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.6. Свёртка функций и её преобразование Фурье . . . . . . . . . . . . . .

. .1.2.7. Решение уравнения теплопроводности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.8. Оператор Фурье в пространстве Шварца . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.9. Теорема Пэли – Винера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .Обобщённые функции2.1. Обобщённые функции на пространстве D . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.1. Пространство D основных функций . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.2. Примеры обобщённых функций . . . . . . . . . . . . . . . . .

. .2.1.3. Действия над обобщёнными функциями. Дифференцирование .2.1.4. Формула суммирования Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.5. Дифференциальные уравнения в классе обобщённых функций2.2. Структура обобщённых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. .2.2.1. Регуляризация обобщённых функций . . . . . . . . . . . . . . .2.2.2. Разбиение единицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.3. Вторая конструкция разбиения единицы . . . . . . . . . . . . .2.2.4. Носитель обобщённой функции . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .2.3. Другие виды основных и обобщённых функций: пространства S и E .2.3.1. Пространство E. Вложение D в E . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.2. Ещё раз о системе полунорм в E . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4. Структура обобщённых функций на D . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .2.4.1. Обобщённые функции с компактным носителем . . . . . . . . .2.4.2. Пространство L∗1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4.3. Локальное устройство обобщённых функций из D′ . . . . . . . .2.5. Преобразование Фурье обобщённых функций . . . . . . . . .

. . . . . .2.5.1. Преобразование Фурье в S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.5.2. Преобразование Фурье в S ′ и в D′ . . . . . . . . . . . . . . . . .2..............................................................................................................................................................................................................................................................................4445567789101111121213.......................................................................................................................................................................................................................................14141415161718191920202021212223232324252526ВведениеПредисловиеУбедительная просьба ко всем читателям: в случае обнаружения ошибок немедленно сообщайте авторамна dmvn@mccme.ru или загляните на http://dmvn.mexmat.net и посмотрите, где можно достать в настоящеевремя самих авторов.

Все пожелания и предложения по поводу оформления и содержания документа будутобязательно приняты к сведению.Release NotesПод «принципом равномерной ограниченности для рядов Фурье» в программе экзамена понимается существование непрерывных функций, для которых ряд Фурье расходится в точке.

Это можно прочесть в книге [КФ, гл.VIII, §1, п. 1].Если Вы хотите узнать всё про свёртки, а также уметь отвечать на вопрос про оператор свёртки в L2 , читайтепо этому поводу [Б, гл. III, §9].В последней версии добавлено доказательство теоремы Пэли – Винера.Слова благодарностиСпасибо всем, кто замечал ошибки и присылал свои комментарии, а именно Алексею Басалаеву, ГригориюМерзону, Нине Прудовой, Михаилу Берштейну, Дмитрию Рыжову, Николаю Рудому, Владиславу Короткову,Владимиру Филатову, Ивану Вегнеру и Наталье Побыванец.Принятые в тексте соглашения и используемые сокращения1◦ Следуя [РФ], топологические понятия обозначаются сокращениями соответствующих английских слов.Так, Int A — множество внутренних точек множества A, Cl A — замыкание множества A.◦2 Под термином «гладкий индикатор отрезка» мы понимаем гладкую функцию, которая равна единице наэтом отрезке, и нулю вне некоторой окрестности этого отрезка.Литература[КФ] А.

Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука,1981.[РС] М. Рид, Б. Саймон. Методы современной математической физики. — М.: Мир, 1977.[Ш] Г. Е. Шилов. Математический анализ. Второй специальный курс. — М.: Физматгиз, 1965.[КГ] А. А. Кириллов, А. Д. Гвишиани. Теоремы и задачи функционального анализа. — М.: Наука, 1988.[ХР] Г. Г. Харди, В. В. Рогозинский. Ряды Фурье. — М.: Физматгиз, 1959.[Вл] В. С.

Владимиров. Обобщённые функции в математической физике. М.: Наука, 1976.[ГШ] И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов. Обобщённые функции. — М.: Физматгиз, 1959.[Р]У. Рудин. Основы функционального анализа. — М.: Мир, 19??.[Х]А. Я. Хелемский. Лекции по функциональному анализу. — М.: МЦНМО, 2004.[РФ] В. А.

Рохлин, Д. Б. Фукс. Начальный курс топологии. — М.: Наука, 1977.[Б]В. И. Богачёв. Основы теории меры. Том 1. — Ижевск: РХД, 2003.Последняя компиляция: 19 мая 2010 г.Обновления документа — на сайтах http://dmvn.mexmat.net,http://dmvn.mexmat.ru.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.341.1.1. Сходимость ряда Фурье в точке1. Ряды и преобразование Фурье1.1. Ряды ФурьеПри изучении рядов Фурье мы будем предполагать, что функции у нас 2π-периодические.

Поэтому их изучение сводится к рассмотрению интервала (−π, π).Определение. Пусть f ∈ L1 (−π, π). Рядом Фурье функции f называется рядXcn einx,Z1cn :=2πZπf (x)e−inx dx,(1)−πчисла cn называются коэффициентами Фурье функции f .Далее мы везде считаем, что функция интегрируема по Лебегу на интервале (−π, π). В противном случаенет гарантии, что коэффициенты Фурье существуют.1.1.1.

Сходимость ряда Фурье в точкеОпределение. Говорят, что функция f удовлетворяет условию Дини в точке x, если функцияϕ(h) :=f (x + h) − f (x)h(2)суммируема в некоторой δ-окрестности нуля.Лемма 1.1 (Римана – Лебега). Пусть функция f суммируема на отрезке [a, b]. ТогдаZbaf (t)eist dt → 0,s → ∞.(3)Пусть сначала f = I[a,b] . ТогдаZbeist dt =a1 isbe − eisa → 0,is |{z}s → ∞.(4)ограниченаДалее, по линейности утверждение леммы верно для конечных линейных комбинаций индикаторов. В общемслучае приблизим произвольную функцию f ступенчатой функцией fε по норме L1 с точностью ε. ТогдаZb ZbZb ist ist f (t)e dt 6 |f − fε | · e dt + fε (t)eist dt.aa(5)aПервое слагаемое не превосходит ε, а второе стремится к нулю по уже доказанному. Замечание.

Далее в разделе о рядах Фурье мы не будем писать пределы интегрирования, если мы интегрируем по периоду (−π, π).Теорема 1.2 (Признак Дини). Если функция непрерывна в точке x и удовлетворяет условию Дини вточке x, то её ряд Фурье сходится в этой точке к f (x). Пусть Sn (x) — частичная сумма ряда Фурье. ИмеемSn (x) =nX−nck eikx =ZZnnXX11f (ξ)e−ikξ dξ · eikx =f (ξ)eik(x−ξ) dξ.2π2π−n−nПо формуле геометрической прогрессии имеем exp −i n + 21 t − exp i n + 12 tsin n + 12 teit(−n) − eit(n+1)e−int + .

. . + eint ===: Dn (t).=1 − eitsin 2texp − it2 − exp it2(6)(7)Заметим, что ядро Дирихле Dn (t) является чётной функцией. Продолжая формулу (6) с использованием этогоравенства, получаемZ1f (ξ)Dn (x − ξ) dξ.(8)Sn (x) =2π451.1.2. Вычисление интеграла ДирихлеВ силу периодичности функции можно сделать замену t = ξ − x, не изменяя пределов интегрирования:Z1f (x + t)Dn (t) dt.Sn (x) =2πПользуясь исходным представлением для ядра Дирихле, получаем, чтоZ1Dn (t) dt = 1.2π(9)(10)Следовательно, имеем1f (x) − Sn (x) = f (x) ·2πZZ1Dn (t) dt −2πf (x + t)Dn (t) dt =ZZ1f (x) − f (x + t)1=· t · Dn (t) dt =2πt2π|t|<δ+12πZ. (11)δ<|t|<πВторое слагаемое стремится к нулю по лемме Римана – Лебега, так как знаменатель ядра Дирихле отделён отнуля.

Что касается первого слагаемого, то оно в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега и суммируемости функции f (x)−ft (x+t) за счёт выбора δ может быть сделано сколь угодно малым (множитель t в числителеглушит sin 2t в знаменателе). 1.1.2. Вычисление интеграла ДирихлеДокажем, чтоZ∞πsin xdx = .x2(12)0Легко видеть, что в силу леммы Римана – ЛебегаIn :=Zπ 0С другой стороныIn = 2Делая замену x = n +12Zπ21−tsin 2tsin n +t120t1sin n +t dt → 0,2dt −ZπDn (t) = 20sin n +t012tdt − π.(13)(14)t, получаемIn = 21(n+Z 2 )π0Но так какZπn → ∞.1(n+Z 2 )π0sin xdx →xsin xdx − π.xZ∞sin xdx,x0n → ∞,(15)(16)переходя к пределу в формуле (15), получаем требуемое.1.1.3. Достаточное условие равномерной сходимости ряда ФурьеУтверждение 1.3.