Вопросы и задачи к экзамену 1 поток, страница 2

Найти уровни энергии в потенциале V (|x| < a) = −V0 δ(x − a) − V0 δ(x + a) + U0 , V (|x| > a) = 0.16. Найти уровни энергии в потенциале V (|x| > a) = ∞, V (b < |x| < a) = 0, V (|x| < b) = U0 .17. Найти уровни энергии в потенциале V (x < 0) = ∞, V (0 < x < a) = U0 + δ(x − a), V (a < x < b) = 0,V (x > b) = ∞.18. Найти уровни энергии в потенциале V (|x| > a) = 0, V (|x| < a) = −U0 + V0 δ(x).19.

Найти уровни энергии в потенциале V (x) = −V0 δ(x − a) − V0 δ(x + a) + U0 δ(x).20. Найти коэффициенты отражения и прохождения для потенциала V (x < 0) = 0, V (x > 0) = U0 + V0 δ(x).21. Найти расположение разрешенных зон для одномерной решетки Дирака∞XV (x) =V0 δ(x − na)n=−∞22. Найти расположение нижней разрешенной зоны для одномерной решетки Дирака∞XV (x) = −V0 δ(x − na)n=−∞23. * Найти приповерхностные (Таммовские) уровни в потенциале∞XV (x > 0) = −V0 δ(x − na),V (x < 0) = U0 .n=124.

Найти в квазиклассическом приближении уровни энергии в потенциале V (x < 0) = ∞, V (x > 0) = kx2 /2.Сравнить с точным ответом.25. Найти в квазиклассическом приближении уровни энергии в потенциале V (x < 0) = ∞, V (x > 0) = kx.26. Найти в квазиклассическом приближении коэффициент надбарьерного отражения на потенциале V (x <0) = 0, V (0 < x < a) = U0 x/a, V (a < x) = U0 . Сравнить с точным ответом при a → 0. Проанализироватьответ в классическом пределе.27. Найти зависимость времени жизни α-активного ядра от энергии вылетающей α-частицы.28.

Найти зависимость тока холодной эмиссии от величины приложенного электрического поля.29. Найти уровни энергии для сферической оболочки V (r) = −V0 δ(r − a) при l 6= 0.30. Найти уровни энергии в сферически-симметричном потенциале V (r < a) = −U0 + V0 δ(r − a), V (r > a) = 0при l 6= 0.31.

Найти уровни энергии в шаровом слое V (r < a) = ∞, V (r > c) = ∞, V (a < r < b) = 0, V (b < r < c) = A/r2 .32. Найти уровни энергии в трехмерном сферически-симметричном потенциале V (r < a) = U0 + V0 δ(r − a),V (a < r < b) = 0, V (r > b) = ∞ при l 6= 0.33. Найти уровни энергии в трехмерном сферически-симметричном потенциале: V (r < a) = −U0 , V (r > a) =A/r2 .34.

Найти среднее значение кинетической энергии, потенциальной энергии, центробежного потенциала и величины 1/r3 для атома водорода, который находится в состоянии |ψnlm i.35. Вычислить hl0 m0 |lx ly |lmi, hl0 m0 |ly lx |lmi.36. Дана волновая функция |ψi = exp(iϕly )|lmi. Найти hψ|lx lz |ψi.37. Система двух спинов 1/2 находится в состоянии |ψi = exp(iϕSx )| ↑↑i. Чему равны вероятности PS=1,Sz =1 ,PS=1,Sz =0 , PS=1,Sz =−1 ?38.

Система двух спинов 1/2 находится в состоянии S = 0. Оба спина пропускают сквозь прибор ШтернаГерлаха с полем, ориентированным по оси ~n(θ, ϕ). Найти вероятности всех 4 возможных результатов(вв,вн,нв,нн).439. Гамильтониан системы двух спинов 1/2 имеет вид(2)Ĥ = −2µ1 s(1)s(1) · ~s(2)z Hz − 2µ2 sz Hz + α~Найти уровни энергии и соответствующие волновые функции.40. Волновая функция системы двух спинов имеет вид11i|ψi = √ | ↑↑i − √ | ↑↓i + √ | ↓↑i424Найти матрицы плотности первого и второго спинов и вероятность того, что полный спин равен 0.41. Матрица плотности системы двух спинов имеет вид111iiρ̂ = | ↑↑ih↑↑ | + | ↑↓ih↑↓ | + | ↓↑ih↓↑ | + | ↑↓ih↓↓ | − | ↓↓ih↑↓ |33399Найти матрицы плотности первого и второго спинов и вероятность того, что полный спин равен 1.42.

Сложение двух спинов 1/2. ВычислитьhS = 1, Sz = 0|s(2)x |S = 1, Sz = 1ihS = 1, Sz = −1|s(2)y |S = 0, Sz = 0ihS = 0, Sz = 0|s(1)z |S = 1, Sz = 0i43. Сложение орбитального момента и спина. Вычислитьhj = l − 1/2, mj = m + 1/2|sy |j = l − 1/2, mj = m − 1/2ihj = l + 1/2, mj = m − 1/2|sx |j = l − 1/2, mj = m + 1/2ihj = l + 1/2, mj = m + 1/2|sz |j = l − 1/2, mj = m + 1/2i44. Частица со спином 1/2 находится в состоянии |jlsmj i. Найдите направление спина ~n(θ̃, ϕ̃) в точке с координатами (r, θ, ϕ).45. Показать, что если A — скалярный оператор, то hl0 m0 |A|lmi = δl0 l δm0 m a(l), т.е. его матричные элементыдиагональны по l, диагональны по m, не зависят от m.46.

Сложение моментов l1 = 2 и l2 = 1. Вычислить |L = 1, M = 1i|L = 1, M = 0i|L = 1, M = −1i.47. Сложение моментов l1 = 2 и l2 = 2. Найти все старшие вектора с определенными значениями L.~48. Cпин 1/2 помещен в магнитное поле H(t)= (H1 cos Ωt, H1 sin Ωt, H0 ). В момент времени t = 0 спин былориентирован вверх. Найти вероятность переворота спина в момент времени t.

Указать условие резонанса.49. Одномерный гармонический осциллятор в момент времени t = 0 находится в основном состоянии. Затем онна интервале 0 < t < t0 подвергается воздействию постоянной силы f (t) = f0 . Найти волновую функциюв момент времени t и вероятность обнаружить его на n-ом уровне в момент времени t.50. Линейный гармонический осциллятор в начальный момент времени находится в состоянии |0i. При 0 < t <2π/Ω на него действует классическая сила f (t) = f0 sin(Ωt). Найти волновую функцию |ψ(t)i и вероятностьпребывания в состоянии |ni в произвольный момент времени t.51. Одномерный гармонический осциллятор в момент времени t = 0 находился в когерентном состоянии |αi.Найти волновую функцию в момент времени t.

Вычислить средние значения координаты и импульса и ихдисперсию в момент времени t.(1)(2)52. Гамильтониан системы двух частиц со спином 1/2 имеет вид Ĥ = −2µ0 (sz − sz )Hz . Найти вероятностьтого, что полный спин системы равен нулю в момент времени t, если в момент времени t = 0 спин первойчастицы был ориентирован вдоль оси y, а второй — против оси y.53. Симметричный двумерный гармонический осциллятор в начальный момент времени находится в состоянии1i1|ψ(t = 0)i = √ |10i − √ |01i + √ |00i333Найти волновую функцию |ψ(t)i, среднее значение и дисперсию x, y, px , py в произвольный момент времениt.554. Спин 1/2 в начальный момент времени находится в состоянии ρ(t = 0) = 21 + 12 ξ~n~σ . Он помещен в однородное магнитное магнитное поле, ориентированное по оси z.

Найти матрицу плотности, направление истепень поляризации в произвольный момент времени t.Задачи. Часть 2.1. Заряженный двумерный симметричный гармонический осциллятор помещен в слабое однородное магнитное поле, ориентированное по оси z. В первом порядке теории возмущений найти поправки к энергиивторого возбужденного уровня E (0) = 3h̄ω, вызванные магнитным полем.2. Двумерный симметричный гармонический осциллятор.

В первом порядке теории возмущений найти поправки к энергии второго возбужденного уровня E (0) = 3h̄ω, вызванные возмущением HI = αxy. Сравнитьс точным ответом.3. Одномерный гармонический осциллятор. Найти поправки к энергии n-го уровня, вызванные возмущениемHI = αx3 .4. Одномерный гармонический осциллятор. Найти поправки к энергии основного состояния, вызванные возмущением HI = αx4 . Сравнить с ответом, полученным вариационным методом.5. Найти диэлектрическую восприимчивость газа, состоящего из атомов водорода, находящихся в основномсостоянии.

Спином пренебречь.6. Найти магнитную восприимчивость газа, состоящего из атомов водорода, находящихся в основном состоянии. Спином пренебречь.7. Найти энергию взаимодействия двух атомов водорода на больших расстояниях (силы Ван-дер-Ваальса).8. Найти расщепление уровня n = 2 атома водорода в среднем магнитном поле с учетом тонкой структуры.9. Найти расщепление уровня n = 2 атома водорода в среднем электрическом поле с учетом тонкой структуры.10. Три тождественных фермиона (одномерное движение) со спином 1/2 описываются гамильтонианомH=33XXx2p2n+k n + α~s1 · ~s2 + α~s2 · ~s3 + α~s3 · ~s12m n=1 2n=1Найти энергию и волновые функции основного состояния.11. Разложить электронную конфигурацию 3d2 на термы с помощью диаграмм Юнга.12. Разложить электронную конфигурацию 3d3 на термы с помощью диаграмм Юнга.13. * Найти термы электронной конфигурации nl2 .14.

Найти явный вид волновых функций термов в конфигурации 2p3 .15. Найти явный вид волновых функций термов в конфигурации 2p4 .16. Найти явный вид волновых функций старших векторов термов в конфигурации 3d2 .17. Пользуясь правилами Хунда, найти квантовые числа S, L, J состояния с наименьшей энергией для конфигурации nlk .18.

Найти поправки к уровням энергии многоэлектронного атома в слабом однородном магнитном поле.19. Найти поправки к уровням энергии многоэлектронного атома в сильном однородном магнитном поле.20. Найти поправки к уровням энергии многоэлектронного атома в слабом однородном электрическом поле.21. На атоме водорода, находящемся в основном состоянии, рассеиваются µ-мезоны. Найти формфактор идифференциальное сечение упругого рассеяния.622. Источник потенциала Юкавы равномерно распределен по шару радиуса R с плотностью заряда ρ0 :ZV (~x) =d3 ~y ρ0 exp(−µ · |~x − ~y |)/|~x − ~y ||~y |<R.Найти формфактор и дифференциальное сечение упругого рассеяния.23.

Определить полное сечение упругого рассеяния непроницаемой сферой радиуса a для быстрых частиц,де-бройлевская длина волны которых λ a. Проанализировать классический предел задачи.24. Определить полное сечение упругого рассеяния непроницаемой сферой радиуса a для медленных частиц,де-бройлевская длина волны которых λ a.25. Найти энергию и время жизни метастабильных s-уровней в потенциале V (r) = V0 δ(r − a).26. Найти энергию и время жизни метастабильных уровней в одномерном потенциале V (x) = V0 δ(x − a) +V0 δ(x + a).27. Найти энергию и время жизни метастабильных уровней в одномерном потенциале V (|x| > a) = 0, V (|x| <a) = U0 − V0 δ(x).28.