Вопросы и задачи к экзамену 1 поток

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТфизический факультетКвантовая теория (I поток)январь 2017 г.http://hep.phys.msu.ruТеоретические вопросы1. Гильбертово пространство. Базис. Унитарные, эрмитовы и проекционные операторы. Их физический смысл.2. Спектральное разложение эрмитова оператора. Случай непрерывного спектра. Определение функции отоператора. Теоремы о коммутаторах эрмитовых операторов и их собственных векторах.3.

Результаты измерения наблюдаемой. Матрица плотности, ее свойства, условие нормировки.4. Чистое состояние. Матрица плотности чистого состояния. Описание чистого состояния с помощью векторагильбертова пространства. Принцип суперпозиции, его обоснование.5. Совместимые и несовместимые наблюдаемые. Полный набор наблюдаемых. Соотношение неопределенностей.6. Пространство состояний составной системы. Нахождение матрицы плотности подсистемы.

Примеры всехвозможных комбинаций чистых и смешанных состояний у системы и подсистем.7. "Парадоксы" квантовой механики. "Парадокс" ЭПР (Эйнштейна, Подольского, Розена). "Парадокс" GHZ(Greenberger, Horne, Zeilinger).8. Представления Гайзенберга и Шредингера, связь между ними, формальные решения уравнений Гайзенберга и Шредингера.9. Стационарные состояния.

Симметии и интегралы движения. Оператор эволюции и его свойства. Выражение для оператора эволюции в случае гамильтониана, зависящего от времени.10. Координатное и импульсное представление. Их связь. Операторы трансляции в кординатном и импульсномпространстве.11. Общие свойства спектра при одномерном движении. Дискретный спектр, непрерывный спектр, кратностьвырождения.

Осцилляционная теорема. Четный потенциал.12. Непрерывный спектр и одномерное рассеяние. Рассеяние волновых пакетов.13. Периодический потенциал, спектр и волновые функции. Периодический потенциал и конечный отрезокпериодического потенциала.14. Квазиклассическое приближение. Условие применимости. Условие сшивания в точках поворота.15. Правила квантования Бора-Зоммерфельда. Коэффициент туннелирования. Двойная яма. Условия применимости.16. Теория момента. Матричные элементы оператора момента. Спин. Орбитальный момент.17.

Сложение моментов. Коэффициенты Клебша-Гордона. Старшие вектора.18. Скалярные и векторные операторы. Их матричные элементы.19. Центрально-симметричное поле. Радиальное уравнение Шредингера, граничное условие.20. Координатное и импульсное представление в 3-мерном случае. Поток вероятности, уравнение непрерывности. Падение на центр.21.

Стационарная теория возмущений, случай невырожденного уровня. Условия применимости.22. Стационарная теория возмущений, случай вырожденного уровня. Теория возмущений для близких уровней.123. Тождественные частицы. Принцип неразличимости. Бозоны и фермионы. Базис в пространстве состоянийтождественных частиц. Операторы в пространстве состояний тождественных частиц. Принцип Паули.24. Многоэлектронный атом, приближение центрального поля, интегралы движения, конфигурация, термы.25.

Построение явного вида волновых функций термов, старшие вектора.26. Диаграммы Юнга. 1-е и 2-е правила Хунда, их объяснение.27. Тонкая структура термов. 3-е правило Хунда, его доказательство.28. Метод Хартри. Метод Хартри-Фока. Таблица Менделеева.29. Упругое потенциальное рассеяние. Постановка задачи. Уравнение Липпмана-Швингера. Борновский ряд,условие сходимости, условие применимости 1-го борновского приближения.30. Парциальное разложение. Условие унитарности для парциальных амплитуд рассеяния, фаза рассеяния.Оптическая теорема, ее физический смысл.31. Дискретные уровни, виртуальные уровни, метастабильные уровни.

Метастабильный уровень и резонанс врассеянии.32. Метастабильный уровень и эволюция частицы в неидеальной потенциальной ловушке. Время жизни метастабильного уровня.33. Рассеяние при низких энергиях, резонансы в рассеянии при низких энергиях.34. Рассеяние при высоких энергиях. Фаза рассеяния в приближении эйконала. Формула для амплитуды рассеяния в приближении эйконала как формула парциального разложения.35. Представление Дирака. Нестационарная теория возмущений. Переходы мгновенные и адиабатические.36.

Переходы под действием периодического возмущения. Золотое правило Ферми.37. Функция Грина системы и эволюция состояния. Дискретный и непрерывный спектр системы и функцияГрина. Превращение дискретного уровня в метастабильный при наличии возмущения. Закон распада метастабильного уровня и форма линии.38. Уравнение Липпмана-Швингера в теории переходов. S-матрица, ее свойства. T-матрица.

Оптическая теорема для T-матрицы.39. Вторичное квантование. Коммутационные соотношения для операторов рождения-уничтожения. Фоковское пространство. Базис в Фоковском пространстве.40. Оператор волновой функции, его физический смысл. Операторы в представлении вторичного квантования.Гамильтониан и оператор числа частиц.41. Квантование электромагнитного поля. Коммутационные соотношения для операторов рождения-уничтожения фотонов. Энергия и импульс поля.42. Когерентное состояние как описание классической электромагнитной волны.

Дисперсия компонент электромагнитного поля в когерентном состоянии. Нулевой шум.43. Излучение фотонов квантовомеханической системой. Спонтанные и вынужденные переходы.44. Мультипольное разложение в задаче излучения. Электрическое дипольное излучение.45. Уравнение Дирака. Решения свободного уравнения Дирака с определенным импульсом и спиральностью,их интерпретация.46.

Невозможность локализации частицы Дирака. Скорость частицы Дирака. Спин частицы Дирака.47. Нерелятивистский предел уравнения Дирака, уравнение Паули. Квазирелятивистское разложение уравнения Дирака.2Задачи. Часть 1.1. Волновая функция спина 1/2 равна12i − 1|ψi = √i6Куда направлен спин (θ=?, ϕ=?). Найти вероятности попадания в верхний и нижний пучок в прибореШтерна-Герлаха с полем, ориентированным по оси ~n0 (θ0 , ϕ0 ). Найти среднее значение проекции спина наось ~n0 (θ0 , ϕ0 ). Показать, что ответы для среднего значения и вероятностей согласованы.2.

Волновая функция спина 1/2 равна 10Куда направлен спин (θ=?, ϕ=?). Найти вероятности попадания в верхний и нижний пучок в прибореШтерна-Герлаха с полем, ориентированным по оси ~n0 (θ0 , ϕ0 ). Найти среднее значение проекции спина наось ~n0 (θ0 , ϕ0 ). Показать, что ответы для среднего значения и вероятностей согласованы.|ψi = exp[i(β/2)(− sin ασ1 + cos ασ2 )]3. Пучок частиц со спином 1/2 в состоянии ρ̂ = (1/2) + (1/2) ξ ~σ · ~n(θ, ϕ), влетает в прибор Штерна-Герлахас магнитным полем, ориентированным по оси z.

Найти отношение интенсивностей верхнего и нижнегопятна. Как надо направить поле, чтобы это отношение стало максимальным? Чему равно это максимальноеотношение?4. Матрица плотности спина 1/2 равна3/41/8 − i/81/8 + i/81/4Найти направление поляризации и степень поляризации. Найти вероятности попадания в верхний и нижний пучок в приборе Штерна-Герлаха с полем, ориентированным по оси ~n0 (θ0 , ϕ0 ). Найти среднее значениепроекции спина на ось ~n0 (θ0 , ϕ0 ).

Показать, что ответы для среднего значения и вероятностей согласованы.ρ=5. Пучок частиц со спином 1/2, ориентированным по оси x, влетает в прибор Штерна-Герлаха с полем по осиz. На выходе из прибора верхний пучок пролетает область магнитного поля Hz , время пролета τ . Послеэтого пучки сводят вместе и направляют в прибор Штерна-Герлаха с полем по оси x. Найти отношениеинтенсивностей пятен.6. Матрица плотности одномерного гармонического осциллятора имеет вид1ii3ρ̂ = |0ih0| + |1ih1| + |0ih1| − |1ih0|4466Найти среднее значение и дисперсию энергии, среднее значение и дисперсию импульса в этом состоянии.7.

Одномерный гармонический осциллятор. Вычислить hα|x̂p̂|αi − hα|x̂|αihα|p̂|αi, hα|p̂x̂|αi − hα|x̂|αihα|p̂|αi.8. Одномерный гармонический осциллятор. Вычислить hα|x̂|βi, hα|p̂|βi. Как убывает ответ с ростом |α − β| ?9. Одномерный гармонический осциллятор. В координатном представлении найти явный вид волновой функции для когерентного состояния |αi.10. Одномерный гармонический осциллятор. Вычислить hn|p̂ 4 |ni, hn|x̂ 3 |mi.11. Матрица плотности осциллятора имеет видXρ̂ =exp(−αn) 1 − exp(−α) |nihn|n=0(здесь α = h̄ω/kT ).

Найти среднее значение и дисперсию энергии, среднее значение и дисперсию координаты.√√12. Волновая функция осциллятора имеет вид |ψi = |αi/ 2 + |βi/ 2. Полагая hα|βi 1, найти среднеезначение и дисперсию координаты.13. Найти уровни энергии и волновые функции системы H = p2x /(2m) + p2y /(2m) + kx2 /2 + qy 2 /2 + αxy.14. Гамильтониан системы 4 частиц (одномерное движение) имеет видH=44XX (xm − xn )2Xx2p2n+k n+q2m n=1 22n=1m6=nНайти уровни энергии и волновые функции системы.315.