Методы оптимизации. Конспект лекций (Буряков) (2010), страница 3

. . , xn (t)) ðåøåíèå (òðàåêòîðèÿ), ñîîòâåòñòâóþùàÿ óïðàâëå1r2íèþ u = u(t) = (u (t), . . . , u (t)) ∈ Lr (t0 , T ). Òàêæå ìû ñ÷èòàåì èçâåñòíîé òðàåêòîðèþ,ðàçíèöó ñ êîòîðîé ìû ìèíèìèçèðóåì y(t).çäåñüÊðèòåðèÿìè êà÷åñòâà óïðàâëåíèÿ ìîãóò âûñòóïàòü ðàçëè÷íûå ôóíêöèîíàëû, íàïðèìåð:J1 (u) = |x(T, u) − y|2Rn → infòåðìèíàëüíûé êâàäðàòè÷íûé ôóíêöèîíàë(2)èëèJ2 (u) =wT|x(t, u) − y(t)|2Rn dt → infèíòåãðàëüíûé êâàäðàòè÷íûé ôóíêöèîíàë(3)t0Ìèíèìèçàöèÿ òåðìèíàëüíîãî êâàäðàòè÷íîãî ôóíêöèîíàëà ïîçâîëÿò äîáèòüñÿ òî÷íîñòè â äîñòèæåíèè êîíå÷íîé òî÷êè. Èíòåãðàëüíîãî áëèçîñòè òðàåêòîðèè ê çàäàííîé.14Îïðåäåëåíèå. Ïðè u(t) ∈ L2 (t0 , T ) ïîä ðåøåíèåì çàäà÷è Êîøè (1) ïîíèìàåòñÿ íåïðåðûâíàÿ íà îòðåçêå[t0 , T ]ôóíêöèÿx(t) = x0 +wtx(t),óäîâëåòâîðÿþùàÿ èíòåãðàëüíîìó óðàâíåíèþt ∈ [t0 , T ](A(τ )x(τ ) + B(τ )u(τ ) + f (τ )) dτ,t0Ïðè ýòîì ôóíêöèîíàëûA(t), B(t), F (t) äîëæíûL∞ (t0 , T ).ïðèíàäëåæàòü êëàññó èçìåðèìûõïî Ëåáåãó è îãðàíè÷åííûõ ôóíêöèéÍàïîìíèì, ÷òîkukL∞ (t0 ,T ) =infC>0:|u(t)|6Cï.â.rTC = limp→∞! p1|u(t)|p dtt0Ðåäóöèðóåì èñõîäíóþ çàäà÷ó ê ëèíåéíîé, ïîëîæèâx01 = Ax1 + Bux1 (t0 ) = 0,x = x1 + x 2 ,ãäåx02 = Ax2 + fx2 (t0 ) = x0 .Çàìåòèì, ÷òî âî âòîðîé ñèñòåìå íåò íåèçâåñòíîãî óïðàâëåíèÿ, à çíà÷èò ìîæíî íàéòèx2 .Ïðè òàêîé ðåäóêöèè êðèòåðèàëüíûå ôóíêöèîíàëû ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàêJ1 (u) = | x1 (T, u) − (y − x2 (T )) |2 = kA1 u − f k2Rn ,| {z } |{z}=f ∈Rn=A1 uJ2 (u) =wTt0| x1 (t, u) − (y − x2 (t)) |2 dt = kA2 u − f kL2 (t0 ,T ) .| {z } | {z }=A2 u=f ∈L2 (t0 ,T )Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (1), (2) èëè çàäà÷è (1), (3) íåîáõîäèìî ìèíèìè22çèðîâàòü íîðìû kA1 u−yk è kA2 u−yk ñîîòâåòñòâåííî, ãäå îïåðàòîðû A1 è A2 çàäàþòñÿñëåäóþùèì îáðàçîìA1 u = x(T, u): L2 (t0 , T ) → Rn ,A2 u = x(t, u): L2 (t0 , T ) → L2 (t0 , T ).Äëÿ äàëüíåéøèõ ðàññóæäåíèé äîêàæåì, ÷òî îïåðàòîðûäëÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ íîðìkAuk 6 c·kuk.Èç(1)A1èA2îãðàíè÷åíû, òî åñòüè îïðåäåëåíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøèèìååìtw wt|x(t)| = (A(τ )x(τ ) + B(τ )u(τ )) dτ 6 (|A(τ )||x(τ )| + |B(τ )||u(τ )|) dτ.t0Òàê êàêt0A(t), B(t) ∈ L∞ ,òî ìîäóëè ïîä çíàêîì èíòåãðàëà ìîæíî îöåíèòü ñâåðõóêîíñòàíòàìè, òîãäà ïîëó÷èì, ÷òîCBwt|x(t)|íå ïðåâîñõîäèò|u(τ )| dτ + CAt0wt|x(τ )| dτ.t0Ìîæíî çàãðóáèòü îöåíêó, çàìåíèâ ìîìåíò âðåìåíè íà ìàêñèìàëüíûé, òîãäà â ñèëóíåðàâåíñòâà Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå ìåíüøå èëè ðàâíîwtpCB T − t0 kukL2 + CA |x(τ )| dτ.t015Ýòà îöåíêà âåðíà äëÿ âñåõt ∈ [t0 , T ].Äàëåå íàì ïîíàäîáèòñÿ ëåììà Ãðîíóîëëà-Áåëëìàíà.

Íàïîìíèì å¼ ôîðìóëèðîâêó áåç äîêàçàòåëüñòâà.Ëåììà (Ãðîíóîëë-Áåëëìàí).Ïóñòü ôóíêöèÿω(t)[Â2, ñòð. 3031, ëåììà 2], [ÀÒÔ, ñòð. 189]óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ0 6 ω(t) 6 b + awtω(τ ) dτ(b > 0, a > 0).t0ω(t) 6 b·ea(t−t0 ) .√C (t−t0 )Ïðèìåíÿÿ ëåììó ê ôóíêöèè x(t), ïîëó÷àåì îöåíêó |x(t)| 6 CB T − t0 kuke A, òîåñòü |x(t)| 6 Ckuk. Òàêèì îáðàçîì, ìû äîêàçàëè, ÷òî îïåðàòîð A1 îãðàíè÷åí.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà îãðàíè÷åííîñòè îïåðàòîðà A2 çàìåòèì, ÷òîvuwTupkA2 ukL2 = kxkL2 = t |x(t)|2 dt 6 CkukL2 T − t0 .Òîãäà âåðíî íåðàâåíñòâît0Èç ïðèâåä¼ííûõ ðàññóæäåíèé ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî ôóíêöèîíàëû2ñëàáî ïîëóíåïðåðûâíû ñíèçó íà L , îòêóäà ñëåäóåò ñëåäóþùàÿJ1 (u)èJ2 (u)(1), (2) è (1), (3)).

ÏóñòüA(t), B(t), f (t) ∈ L∞ (t0 , T ); y(t) ∈ L2 (t0 , T ), x0 ∈ Rn , y ∈ Rn . Òîãäà ó îáåèõ çàäà÷(1), (2) è (1), (3) ïðè âûáîðå óïðàâëåíèÿ èç ñëàáî êîìïàêòíîãî ìíîæåñòâà U ⊂ L2 (t0 , T )ñóùåñòâóåò îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå.Òåîðåìà 3 (î ñóùåñòâîâàíèè îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ çàäà÷Äîêàçàòåëüñòâî.Ïî ñóòè, äîñòàòî÷íî ñîñëàòüñÿ íà Òåîðåìó 2.Òåïåðü îáðàòèìñÿ ê âîïðîñó î äèôôåðåíöèðóåìîñòè ôóíêöèîíàëîâ J1 è J2 . Äëÿ ëþáî2ãî äèôôåðåíöèðóåìîãî ïî Ôðåøå êâàäðàòè÷íîãî ôóíêöèîíàëà J(u) = kAu−f k ñïðàâåä0∗00∗ëèâû ôîðìóëû J (u) = 2A (Au − f ) è J (u) = 2A A. Âû÷èñëèì ñîïðÿæ¼ííûå îïåðàòîðûâ íàøåì ñëó÷àå.

Äëÿ îïåðàòîðàA1äëÿ ëþáîãîvèìååìhA1 u, viRn = hu, A∗1 viL2Åñëè ðàñïèñàòü ýòî ðàâåíñòâî, òî ïîëó÷èìhx(T, u), viRn =wThu(t), . . .iRr dt,t0ãäå âìåñòî ìíîãîòî÷èÿ ñòîèò íåîáõîäèìûé íàì ìíîæèòåëü.Ââåä¼ì ôóíêöèþψ(t)êàê ðåøåíèåñîïðÿæ¼ííîé çàäà÷è Êîøè :ψ(T ) = v,ψ 0 (t) = −AT (t)ψ(t).16(5)Òîãäà ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ìîæíî ðàñïèñàòü êàêhx(T ), viRn = hx(T ), ψ(T )i − h0, ψ(t0 )i = {ô-ëà Íüþòîíà-Ëåéáíèöà, x(t0 ) = 0} =wTwT= hx(t), ψ(t)i0t dt = (hx0 (t), ψ(t)i + hx(t), ψ 0 (t)i) dt = {x0 (t) = Ax + Bu} =t0t0=wThBu, ψ(t)iRn dt +t0=wT(hAx, ψ(t)iRn + hx(t), ψ 0 (t)iRn ) dt =t0wT wT u(t), B ψ(t) Rr dt +x(t), ψ 0 (t) + AT (t)ψ(t) Rn dtTt0t0Ïîñëåäíèé èíòåãðàë â ñèëó (5) îáíóëÿåòñÿ, à èç ïåðâîãî∗A1 v = B T ψ(t).Àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ ìîæíî ïðîâåñòè äëÿ îïåðàòîðà A2 :ìûïîëó÷àåì,÷òîhA2 u, viL2 = hu, A∗2 viL2wThx(t, u), viRn =t0wThu(t), .

. .iRr dtt0Ïðèáàâèì ê ëåâîé ÷àñòè ýòîãî ðàâåíñòâà èíòåãðàëwThBu + Ax − x0 (t), ψ(t)iRn dt = 0,t0ãäåψ(t) ðåøåíèå ñèñòåìûψ(T ) = 0,ψ 0 (t) = −AT (t)ψ(t) − v(t).(6)Ïîëó÷àåì:wThx(t, u), viRn =t0wT wTu(t), B ψ(t) Rr dt +hx(t), v(t)i + x(t), AT ψ − hx0 (t), ψi dt.Tt0t0Ïîñëåäíèé èíòåãðàë îáðàùàåòñÿ â íóëü â ñèëó(6)è òîãî, ÷òî ïî ôîðìóëå Íüþòîíà-Ëåéáíèöà−wTt0ÎòñþäàThx (t), ψi dt = − hx(t), ψ(t)i 0+t=t0wTt0A∗2 v = B T ψ(t).170hx(t), ψ (t)i dt =wTt0hx(t), ψ 0 (t)i dt.Ïóñòü A(t), B(t) ∈ L∞ (t0 , T );y(t) ∈ L2 (t0 , T ), y ∈ Rn .

Òîãäà îáà ôóíêöèîíàëà J1 è J2 áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìû ïî uíà L2 (t0 , T ), ïðè÷¼ìÒåîðåìà 4 (î äèôôåðåíöèðóåìîñòè ôóíêöèîíàëîâ J1 è J2 ).J10 (u) = 2B T ψ(t),ãäåψ(t) ðåøåíèå(5),J20 (u) = 2B T ψ(t),ãäåψ(t) ðåøåíèå(6).Äîêàçàòåëüñòâî.Ôàêòè÷åñêè ìû ïðîâåëè äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû âûøå ïðè âû÷èñëåíèè îïåðà∗∗òîðîâ A1 è A2 .Óïðàæíåíèå 10 (5).Âû÷èñëèòüJ(u) =J 0 (u)wläëÿ|y(x, u) − z(x)|2 dx,0ãäåy ðåøåíèå ñèñòåìû0 (k(x)y 0 (x)) − q(x)y(x) = u(x), 0 < x < ly(0) = 0y(l) = 0k(x) > k0 > 0, q(x) > 0, u(x) ∈ L2 (0, l).2Ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå äðóãîãî ïðèìåðà ñëåäóþùóþ ðàçíîñòíóþ ñõåìó : xi+1 − xi = A x + B u , i = 0, 1, . .

. , N − 1;i ii ihx = 0,0x ∈ Rn ,à u ∈ Rr . Ââåä¼ì ïðîñòðàíñòâî L2h ≡ RN ×rNP−1hu, viL2 =hui , vi iRr h. Ââåä¼ì âåêòîðãäå âåêòîðíèåìh(1)ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäå-i=0u = (u0 , u1 , . . . , un−1 ) ∈ U ⊂ L2h .(2)Äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ ïîòðåáóåì çàìêíóòîñòè è îãðàíè÷åííîñòèU . Íàêîíåö, ââå-ä¼ì ôóíêöèîíàëû êà÷åñòâà:J(u) =NX|xi (u) − fi |2Rn h,(3)i=1àíàëîãè÷íûé èíòåãðàëüíîìó ôóíêöèîíàëó èç ïðåäûäóùåãî ïóíêòà, èJ(u) = |xN (u) − f |2Rn ,2 Îòìåòèì, ÷òî ýòà ñõåìà åñòü íè ÷òî èíîå, êàê ðåøåíèå çàäà÷è Êîøèìåòîäîì ëîìàííûõ Ýéëåðà.18(4)ẋ = A(t)x(t) + B(t)u(t), x(0) = 0ÿâëÿþùèéñÿ, ñîîòâåòñòâåííî, àíàëîãîì òåðìèíàëüíîãî ôóíêöèîíàëà. Çàïèøåì ýòè ôóíê2öèîíàëû â õîðîøî çíàêîìîì íàì âèäå ||Au − f || . Ââåä¼ì äëÿ ýòîãî ñîîòâåñòâóþùèåîïåðàòîðûA:Au = (x1 (u), x2 (u), .

. . , xN (u)) : L2h → L2h ,äëÿ (3) èAu = xN (u) : L2h → Rnäëÿ (4). Ïîäðîáíî îñòàíîâèìñÿ íà ôóíêöèîíàëå (4). Òàê êàê îí èìååò êâàäðàòè÷íûé30∗∗âèä, òî åãî ïðîèçâîäíàÿ J (u) = 2A (Au − f ). Íàéäåì A . Äëÿ ýòîãî òðàíñôîðìèðóåì∗ïðàâóþ ÷àñòü ðàâåíñòâà hAu, vi = hu, A vi:hAu, vi = hxN , viRn + 0 = hxN , vi +N−1 Xi=0ãäåψixi+1 − xiAi xi + Bi ui −, ψi h,h(5)íàì íàäëåæèò âûáðàòü íåêèì ñïåöèàëüíûì îáðàçîì. Äëÿ ýòîãî ðàñïèøåì ïîäðîá-íî ïåðâóþ ÷àñòü äîáàâëåííîãî âûðàæåíèÿ:N−1XhAi xi , ψi i h =N−1Xi=0xi , ATi ψih = {èáîNXx0 = 0} =xi , ATi ψi h − xN , ATN ψN .i=0i=1Âòîðóþ æå ÷àñòü çàïèøåì â âèäåN−1XhBi ui , ψi i h =N−1Xi=0ui , BiT ψi h,i=0à òðåòüþ −N−1Xhxi+1 , ψi i +i=0Òåïåðü âûáåðåìN−1Xhxi , ψi i = −i=0ψiïîòðåáóåì, ÷òî áûNXhxi , ψi−1 i +i=1NXhxi , ψi i − hxN , ψN i .i=1òàê, ÷òî áû â (5) îñòàëîñü òîëüêî âûðàæåíèå âèäàψihxN , A∗ vi. Äëÿ ýòîáûëè ðåøåíèÿìè ñåòî÷íîãî óðàâíåíèÿ ψi − ψi−1= −ATi ψi , i = N, N − 1, .

. . , 1;h(I + hAT )ψ = v.NN(6)Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùóþÔóíêöèîíàëû (3) è (4) äèôôåðåíöèðóåìû íà âñåì L2h , è J 0 (u) = 2A∗ (Au−f ),Tãäå äåéñòâèå îïåðàòîðà A* íà âåêòîð v îïèñûâàåòñÿ êàê A∗ v = (B0T ψ0 , B1T ψ1 , . . . , BN−1 ψN −1 ),ãäåÒåîðåìà 5.1. ψi ðåøåíèÿ(6)3 ßñíî, ÷òî îïåðàòîðAâ ñëó÷àå(4),ëèíååí è îãðàíè÷åí...192. ψi ðåøåíèÿ ñèñòåìû ψi − ψi−1= −ATi ψi − vi , i = N, N − 1, . . . , 1;hψ = 0.Nâ ñëó÷àå(3).Äîêàçàòåëüñòâî.Òåîðåìà íàìè äîêàçàíà äëÿ ñëó÷àÿ (4), äëÿ ñëó÷àÿ (3) âñå ïîñòðîåíèÿ àíàëîãè÷íû.Óïðàæíåíèå 11 (5).ÍàéòèJ 0 (u)J(u) =âL2hN−1Xôóíêöèîíàëà|yi (u) − zi |2 h,i=1ãäåyi- ðåøåíèå ñåòî÷íîãî óðàâíåíèÿ− yi+1 − 2yi + yi−1 − y = −u ,iih2y = 0, y = 0.0N êà÷åñòâå ïîñëåäíåãî ïðèìåðà, ðàññìîòðèì êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ:Ïóñòüu ∈ U ⊂ L2 .yt = yxx , (t, x) ∈ Q = [0 < t < T, 0 < x < l],y(0, t) = y(l, t) = 0, t ∈ [0, T ],y(x, 0) = u(x), x ∈ [0, l].(7)Uñëàáîé êîìïàêòíîñòè.Äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ ïîòðåáóåì îòÂâåäåì ôóíêöèîíàëû êà÷åñòâà:J(u) =x|y(t, x, u) − f (t, x)|2 dtdx,(8)Qãäåf ∈ L2 (Q),èJ(u) =wl(y(T, x, u) − f (x))2 dx,(9)0ãäåf (x) ∈ L2 [0, l].Çàïèøåì ýòè ôóíêöèîíàëû â âèäåêàæäîì ñëó÷àå îïåðàòîðû||Au − f ||2 .Äëÿ ýòîãî ââåäåì âA:Au = y(t, x, u) ∈ L2 (Q)â ñëó÷àå (8), èAu = y(T, x, u) ∈ L2 [0, l]â ñëó÷àå (9).

Äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòèJ 0 (u),íàäî äîêàçàòü ëèíåéíîñòü è îãðàíè÷åííîñòüýòèõ îïåðàòîðîâ. Ëèíåéíîñòü î÷åâèäíà, äîêàæåì îãðàíè÷åííîñòü.20Äëÿ ýòîãî äîìíîæèì ïåðâîå óðàâíåíèå â (7) íàyQt = (0, t) ×è ïðîèíòåãðèðóåì ïî(0, l):xQt1w 21w 21w 21wl 2y (0, x) dx =y (t, x) dx −u (x) dx,y (t, x) dx −yt y dsdx =2 0202020lllè, êðîìå òîãî, â ñèëó ãðàíè÷íûõ óñëîâèé,xyxx y dsdx = −xQtQtyx2 dsdx.Ïðèðàâíèâàÿ ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòü, ïîëó÷àåì:x1w 21yx2 dsdx = ||u||2L2 [0,l] .y (t, x) dx +Qt202lÎòìåòèì, ÷òî âòîðîå ñëàãàåìîå â ëåâîé ÷àñòè ïîëîæèòåëüíî, è, ñòàëî áûòü,1w 21y (t, x) dx 6 ||u||2L2 [0,l] .202lÅñëè â (10) ïîëîæèòüt = T,(10)òî ìû ïîëó÷èì îãðàíè÷åííîñòü îïåðàòîðà0åñëè âìåñòî ýòîãî ïðîèíòåãðèðîâàòü îòäîT,Aâ ñëó÷àå (9);òî ïîëó÷èì îãðàíè÷åííîñòüAâ ñëó÷àå4(8) .Çàìå÷àíèå.Îòìåòèì, ÷òî ïîäàâàÿ â (7) íà âõîä ôóíêöèþu(x)èçL2 ,ìû ïîëó÷èìðåøåíèå, âîîáùå ãîâîðÿ, â îáîáùåííîì ñìûñëå.Ïîêàæåì òåïåðü äèôôåðåíöèðóåìîñòü è íàéäåì ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèîíàëà (9).

Òàê222êàê îí èìååò âèä J(u) = ||Au − f ||L2 [0,l] , A : L [0, l] → L [0, l]., òî åãî ïðîèçâîäíàÿ èìååò0∗∗âèä J (u) = 2A (Au − f ). Íàéäåì A .rl∗Ïî îïðåäåëåíèþ ñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà, hAu, vi = hu, A vi, ò.å.y(T, x, u)v(x) dx =0rlu(x)(A∗ v)(x)dx. Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùèì ïóíêòàì, ðàñïèøåì:0wly(T, x)v(x)dx + 0 =0ãäåψ(t, x)wly(T, x)v(x)dx +0x(yxx − yt )ψ(t, x) dtdx,ìû âûáåðåì íåêîòîðûì ñïåöèàëüíûì îáðàçîì. Âî-ïåðâûõ, ïîòðåáóåì ñïðà-âåäëèâîñòè ñîîòíîøåíèÿxyxx ψ dtdx = −xQäëÿ ÷åãî òðåáóåòñÿ−(11)QxQψ(t, 0) = ψ(t, l) = 0.yt ψ dtdx = −yx ψx dtdx =Qwlxyψxx dtdx,QÐàññìîòðèìy(T, x)ψ(T, x) dx +04 Ïðè ýòîì ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî â ñëó÷àå (9)wlu(x)ψ(0, x) dx +0||A|| 6 1,21à â ñëó÷àå (10)xyψt dtdx.Q||A|| 6√T.Äîïîëíèòåëüíî ïîòðåáóåì, ÷òî áûψ(T, x) = v(x)wlèψt = ψxx .Òîãäà (11) ïðèìåò âèäu(x)ψ(0, x)dx,0îòêóäà ñëåäóåò, ÷òîA∗ v = ψ(0, x).Òàêèì îáðàçîì, ñïðàâåäëèâàÔóíêöèîíàëû (8) è (9) äèôôåðåíöèðóåìû íà âñåì ïðîñòðàíñòâå L2 [0, l],ïðè÷åì J 0 (u) = 2ψ(0, x, u), ãäå ψ Òåîðåìà 6.1.