sem6 (Семинары)

УМФ – семинар – Метод Фурье1Метод Фурье для однородного гиперболического уравнения с однородными краевыми условиями.№ 643.Найти решение u(x, t) начально-краевой задачиutt = a2 uxx ,u(x, 0) = ϕ(x),ut (x, 0) = ψ(x),u(0, t) = u(l, t) = 0.(1.1)Шаг 1. Будем искать решение уравнения utt = a2 uxx с краевыми условиямиu(0, t) = u(l, t) = 0 в видеU (x, t) = X(x)T (t).Сразу заметим, что краевые условия означают для функции X(x) следующее:X(0) = X(l) = 0.(1.2)Подставим U (x, t) в уравнение, получим:X(x)T ”(t) = a2 X”(x)T (t)Предположив, что X(x)T (t) 6= 0, поделим это равенство на a2 X(x)T (t) 6= 0:−X”(x)T ”(t)=− 2= λ.X(x)a T (t)Отсюда для функции X(x) имеем задачуX”(x) + λX(x) = 0,X(0) = X(l) = 0,(1.3)(1.4)а для функции T (t) – уравнение:T ”(t) + λa2 T (t) = 0,t > 0.(1.5)Задача (1.3)–(1.4) есть задача Штурма–Лиувилля.

Общее решение уравнения (1.3) имеет вид√√при λ > 0;(1.6)X(x) = c1 sin( λ x) + c2 cos( λ x)√X(x) = c1 e −λ x + c2 e−X(x) = c1 x + c2√−λ xпри λ < 0;при λ = 0;(1.7)(1.8)√• При λ > 0 имеем из краевого условия X(0) = 0, что c2 = 0, ⇒ X(x)=csin(λ x).1√Поэтому из второго краевого условия X(l) = 0 получаем, что λ l = πn откудаимеем бесконечное множество собственных чисел задачи Штурма–Лиувилля:λn =π 2 n2,l2n ∈ N.Им соответствует бесконечное множество собственных функций: πnx Xn (x) = sin,n ∈ N.l-1-(1.9)(1.10)УМФ – семинар – Метод Фурье• При λ√ < 0 имеем из краевого условия X(0) = 0, что c2 = −c1 , ⇒X(x) =2c1 sh −λ x. Поэтому из второго краевого условия X(l) = 0 получаем, что c1 = 0,т.е. задача Штурма–Лиувилля не имеет отрицательных собственных чисел.• При λ = 0 имеем из краевого условия X(0) = 0, что c2 = 0, ⇒ X(x) = c1 x.Поэтому из второго краевого условия X(l) = 0 получаем, что c1 = 0, т.е.

задачаШтурма–Лиувилля не имеет собственного числа, равного нулю.Итак, мы имеем бесконечное множество нетривиальных решений πnx π 2 n2, n∈Nλn = 2 , Xn (x) = sinllзадачи (1.3), (1.4). Стало быть, рассматривать задачу (1.5) имеет смысл только при λ = λn ,и мы получаем семейство задач:T ”n (t) + λn a2 Tn (t) = 0,t > 0.(1.11)Решение этого линейного однородного уравнения второго порядка имеет вид: πna πna Tn (t) = An cost + Bn sint ,t > 0,ll(1.12)где An , Bn – произвольные постоянные.Шаг 2. Решаем задачу (1.1).∞PБудем искать решение задачи (1.1) в виде u(x, t) =Xn (x)Tn (t), т.е.n=1u(x, t) =∞Xsin πnx ln=1An cos πna πna t + Bn sint .ll(1.13)Из условий задачи мы ещё не использовали только начальные условияu(x, 0) = ϕ(x), ut (x, 0) = ψ(x).

Для функции u(x, t) искомого вида они означают:ϕ(x) = u(x, 0) =∞XXn (x)Tn (0) =∞Xn=1ψ(x) = ut (x, 0) =∞XAn Xn (x),(1.14)n=1Xn (x)Tn0 (0) =∞XBn apλn Xn (x).(1.15)n=1n=1Пусть функции ϕ(x) и ψ(x), входящие в начальные условия, разлагаются в рядϕ(x) =∞Xαn Xn (x),ψ(x) =n=1∞Xβn Xn (x),(1.16)n=1Выясним, какимидолжны быть коэффициенты αn , βn .

Для этого домножим (1.16) наπmxXm = sin lскалярно в смысле L2 [0, l]:Zl(ϕ, Xm ) = αmsin02 πmx lαmdx =2Zl 1 − cos2πmxlαmdx =20Zldx =lαm,20откуда22αn = (ϕ, Xn ) =llZlϕ(x) sin0-2- πnx ldx.(1.17)УМФ – семинар – Метод ФурьеАналогично, для βn имеем представление:22βn = (ψ, Xn ) =llZlψ(x) sin πnx ldx.(1.18)0Таким образом, для коэффициентов An , Bn из представления (1.13) решения u(x, t), сопоставляя (1.14) – (1.16), получим:2An = αn =lZlϕ(x) sin πnx ldx;(1.19)0βn2Bn = √ =aπna λnZlψ(x) sin πnx ldx.(1.20)0Всё, что нам осталось сделать, – это подставить в формулу (1.13) найденные коэффициенты An , Bn из (1.19), (1.20).№ 649m .Найти решение u(x, t) уравнения utt = a2 uxx ,u(0, t) = ux (l, t) = 0,u(x, 0) = ϕ(x), ut (x, 0) = ψ(x)(1.21)Шаг 1.

Будем искать решение уравнения utt = a2 uxx с краевыми условиямиu(0, t) = ux (l, t) = 0 в видеU (x, t) = X(x)T (t).Сразу заметим, что краевые условия означают для функции X(x) следующее:X(0) = X 0 (l) = 0.(1.22)Подставим U (x, t) в уравнение, получим:X(x)T ”(t) = a2 X”(x)T (t)Предположив, что X(x)T (t) 6= 0, поделим это равенство на a2 X(x)T (t) 6= 0:−X”(x)T ”(t)=− 2= λ.X(x)a T (t)Отсюда для функции X(x) имеем задачуX”(x) + λX(x) = 0,X(0) = X 0 (l) = 0,(1.23)(1.24)а для функции T (t) – уравнение:T ”(t) + λa2 T (t) = 0,t > 0.(1.25)Задача (1.23)–(1.24) есть задача Штурма–Лиувилля.

Общее решение уравнения (1.23)имеет вид√√X(x) = c1 sin( λ x) + c2 cos( λ x)при λ > 0;(1.26)√X(x) = c1 e −λ x + c2 e−X(x) = c1 x + c2√-3-−λ xпри λ < 0;при λ = 0;(1.27)(1.28)УМФ – семинар – Метод Фурье• При λ√ > 0 имеем из краевогоX(x) =√ условия√ X(0) = 0, что c2 = 0, ⇒c1 sin( λ x) ⇒ X 0 (x)√= c1 λ cos( λ x). Поэтому из второго краевого условияX 0 (l) = 0 получаем, что λ l = π 21 + k откуда имеем бесконечное множество собственных чисел задачи Штурма–Лиувилля:2π(2n − 1)λn =,n ∈ N.(1.29)2lИм соответствует бесконечное множество собственных функций:π(2n − 1)x ,n ∈ N.Xn (x) = sin2l(1.30)• При λ√ < 0 имеем из краевогоX(x) =√ условия√ X(0) = 0, что c2 = −c1 , ⇒02c1 sh −λ x ⇒ X (x) = 2c1 −λ ch( −λ x).

Поэтому из второго краевого условияX 0 (l) = 0 получаем, что c1 = 0, т.е. задача Штурма–Лиувилля не имеет отрицательных собственных чисел• При λ = 0 имеем из краевого условия X(0) = 0, что c2 = 0, ⇒ X(x) = c1 x ⇒X 0 (x) = c1 ). Поэтому из второго краевого условия X 0 (l) = 0 получаем, что c1 = 0,т.е.

задача Штурма–Лиувилля не имеет собственного числа, равного нулю.Итак, мы имеем бесконечное множество нетривиальных решений2π(2n − 1)π(2n − 1)λn =x , n∈N, Xn (x) = sin2l2lзадачи (1.23), (1.24). Стало быть, рассматривать задачу (1.25) имеет смысл только приλ = λn , и мы получаем семейство задач:T ”n (t) + λn a2 Tn (t) = 0,t > 0.Решение этого линейного однородного уравнения второго порядка имеет вид:π(2n − 1)aπ(2n − 1)aTn (t) = An cost + Bn sint ,t > 0,2l2l(1.31)(1.32)где An , Bn – произвольные постоянные.Шаг 2.

Решаем задачу (1.21).Будем искать решение задачи (1.21) в виде u(x, t) =∞PXn (x)Tn (t), т.е.n=1u(x, t) =∞Xn=1sinπ(2n − 1)x2lπ(2n − 1)aπ(2n − 1)aAn cost + Bn sint.2l2l(1.33)Из условий задачи мы ещё не использовали только начальные условияu(x, 0) = ϕ(x), ut (x, 0) = ψ(x).

Для функции u(x, t) искомого вида они означают:ϕ(x) = u(x, 0) =∞XXn (x)Tn (0) =n=1ψ(x) = ut (x, 0) =∞X∞XAn Xn (x),(1.34)n=1Xn (x)Tn0 (0) =n=1∞Xn=1-4-Bn apλn Xn (x).(1.35)УМФ – семинар – Метод ФурьеПусть функции ϕ(x) и ψ(x), входящие в начальные условия, разлагаются в рядϕ(x) =∞Xαn Xn (x),ψ(x) =n=1∞Xβn Xn (x),(1.36)n=1Выясним, какими должны быть коэффициенты αn , βn .

Для этого домножим (1.36) наx скалярно в смысле L2 [0, l]:Xm = sin π(2m−1)2lZl(ϕ, Xm ) = αmsin2Zl π(2m − 1)π(2m − 1)αm1 − cosx dx =xdx =2l2l00αm=2Zldx =lαm,20откуда22αn = (ϕ, Xn ) =llZlϕ(x) sinπ(2n − 1)x dx.2l(1.37)π(2n − 1)x dx.2l(1.38)0Аналогично, для βn имеем представление:22βn = (ψ, Xn ) =llZlψ(x) sin0Таким образом, для коэффициентов An , Bn из представления (1.33) решения u(x, t), имеем:Zlπ(2n − 1)2x dx;(1.39)ϕ(x) sinAn = αn =l2l04βnBn = √ =aπ(2n − 1)a λnZlψ(x) sinπ(2n − 1)x dx.2l(1.40)0Всё, что нам осталось сделать, – это подставить в формулу (1.33) найденные коэффициенты An , Bn из (1.39), (1.44).№ 645.Найти решение u(x, t) уравнения utt = a2 uxx ,u(0, t) = ux (l, t) = 0,u(x, 0) = x, ut (x, 0) = sin πx+ sin 3πx.2l2l(1.41)Данная задача – частный случай рассмотренной в №649m .

Поэтому мы можем сразу воспользоваться формулами (1.33), (1.39), (1.44) для получения ответа. Найдём по (1.39)-5-УМФ – семинар – Метод Фурьекоэффициенты An :2An =lZlx sinπ(2n − 1)x dx =2l0x=lZl22l(2n − 1)π 2l(2n − 1)π= −x cosx +cosx dx =l(2n − 1)π2l(2n−1)π2lx=00"#x=l24l24l28l(2n − 1)π 2n+1=x =sin=(−1)(−1)n+1 .22222π2l (2n − 1) π2ll(2n−1)π(2n−1)x=0(1.42)Для того, чтобы найтиBn , заметим,что заданная функция ψ(x) уже разложена в ряд поx :функциям Xn (x) = sin (2n−1)π2ψ(x) = sinπx3πx+ sin.2l2l(1.43)2l,Следовательно, β1 = β2 = 1, β3 = β4 = . . . = 0, откуда, т.к. Bn = βn π(2n−1)aB1 =2l,πaB2 =2l,3πaB3 = B4 = .

. . = 0.(1.44)Подставим найденныеAn и Bn в ∞Pπ(2n−1)aπ(2n−1)axAcost+Bsint.u(x, t) =sin π(2n−1)nn2l2l2ln=1Получим ответ:u(x, t) =∞Xn=1sinπ(2n − 1)x2l8lπ(2n − 1)an+1(−1)cost+(2n − 1)2 π 22lπ πa 2l3π3πa2lsinx sint +sinx sint .+aπ2l2l3aπ2l2l№ 649.Найти решение u(x, t) уравнения utt = a2 uxx ,ux (0, t) = ux (l, t) = 0,u(x, 0) = ϕ(x), ut (x, 0) = ψ(x)(1.45)Шаг 1.

Будем искать решение уравнения utt = a2 uxx с краевыми условиямиux (0, t) = ux (l, t) = 0 в видеU (x, t) = X(x)T (t).Сразу заметим, что краевые условия означают для функции X(x) следующее:X 0 (0) = X 0 (l) = 0.Подставим U (x, t) в уравнение, получим:X(x)T ”(t) = a2 X”(x)T (t)Предположив, что X(x)T (t) 6= 0, поделим это равенство на a2 X(x)T (t) 6= 0:−X”(x)T ”(t)=− 2= λ.X(x)a T (t)-6-(1.46)УМФ – семинар – Метод ФурьеОтсюда для функции X(x) имеем задачуX”(x) + λX(x) = 0,X 0 (0) = X 0 (l) = 0,(1.47)(1.48)а для функции T (t) – уравнение:T ”(t) + λa2 T (t) = 0,t > 0.(1.49)Задача (1.47)–(1.48) есть задача Штурма–Лиувилля.