sem10 (Семинары)

УМФ – семинар – Метод Фурье1Метод Фурье для эллиптического уравнения.№ 717 a).Случай однородных краевых условий по x.Найти решение u(x, t) краевой задачи uxx + uyy = 0,u(0, y) = ux (l, y) = 0,u(x, 0) = 0, u(x, s) = f (x),x ∈ (0, l), y ∈ (0, s),y ∈ (0, s),x ∈ (0, l).(1.1)Шаг 1. Будем искать решение уравнения uxx + uyy = 0 с краевыми условиямиu(0, y) = ux (l, y) = 0 в видеU (x, y) = X(x)Y (y).Сразу заметим, что краевые условия при x = 0, x = l означают для функции X(x)следующее:X(0) = X 0 (l) = 0.(1.2)Подставим U (x, y) в уравнение, получим:X”(x)Y (y) = −X(x)Y ”(y)Предположив, что X(x)Y (y) 6= 0, поделим это равенство на X(x)Y (y) 6= 0:Y ”(y)X”(x)=−= λ.X(x)Y (y)Отсюда для функции X(x) имеем задачуX”(x) + λX(x) = 0,X(0) = X 0 (l) = 0,(1.3)(1.4)а для функции Y (y) – уравнение:Y ”(y) − λY (y) = 0,y ∈ (0, s).(1.5)Задача (1.3)–(1.4) есть задача Штурма–Лиувилля.

Общее решение уравнения (1.3) имеет вид√√при λ > 0;(1.6)X(x) = c1 sin( λ x) + c2 cos( λ x)√X(x) = c1 e −λ x + c2 e−X(x) = c1 x + c2√−λ xпри λ < 0;при λ = 0;(1.7)(1.8)• При λ√ > 0 имеем из краевогоX(x) =√ условия√ X(0) = 0, что c2 = 0, ⇒c1 sin( λ x) ⇒ X 0 (x)√= c1 λ cos( λ x). Поэтому из второго краевого условияX 0 (l) = 0 получаем, что λ l = π 21 + k откуда имеем бесконечное множество собственных чисел задачи Штурма–Лиувилля:2π(2n − 1)λn =,n ∈ N.(1.9)2lИм соответствует бесконечное множество собственных функций:π(2n − 1)Xn (x) = sinx ,n ∈ N.2l-1-(1.10)УМФ – семинар – Метод Фурье• При λ√ < 0 имеем из краевогоX(x) =√ X(0) = 0, что c1 = −c2 , ⇒√ условия2c1 sh −λ x ⇒ X 0 (x) = 2c1 −λ ch( −λ x).

Поэтому из второго краевого условияX 0 (l) = 0 получаем, что c1 = 0, т.е. задача Штурма–Лиувилля не имеет отрицательных собственных чисел• При λ = 0 имеем из краевого условия X(0) = 0, что c2 = 0, ⇒ X(x) = c1 x ⇒X 0 (x) = c1 ). Поэтому из второго краевого условия X 0 (l) = 0 получаем, что c1 = 0,т.е. задача Штурма–Лиувилля не имеет собственного числа, равного нулю.Итак, мы имеем бесконечное множество нетривиальных решений2π(2n − 1)π(2n − 1)λn =, Xn (x) = sinx , n∈N2l2lзадачи (1.3)–(1.4). Стало быть, рассматривать задачу (1.5) имеет смысл только при λ = λn ,и мы получаем семейство задач:Y ”n (y) − λn Yn (y) = 0,y ∈ (0, s),n ∈ N.(1.11)Решение этого линейного однородного уравнения первого порядка имеет вид:Yn (y) = An eπ(2n−1)y2l+ Bn e−π(2n−1)y2ly ∈ (0, s),,n∈N(1.12)где An и Bn – произвольные постоянные.Шаг 2.

Решаем задачу (1.1).Будем искать решение задачи (1.1) в виде u(x, y) =∞PXn (x)Yn (y), т.е.n=1u(x, t) =∞Xsinn=1π(2n−1)π(2n−1)π(2n − 1)An e 2l y + Bn e− 2l y .x2l(1.13)Из условий задачи мы ещё не использовали только краевые условия по y:u(x, 0) = 0,x ∈ (0, l).u(x, s) = f (x),Для функции u(x, y) искомого вида они означают:0 = u(x, 0) =∞XXn (x)Yn (0) =n=1f (x) = u(x, s) =∞Xn=1Xn (x)Yn (s) =∞X(An + Bn ) Xn (x),(1.14)n=1∞ XAn eπ(2n−1)s2l+ Bn e−π(2n−1)s2lXn (x),(1.15)n=1Пусть функция f (x), входящая в начальное условие, разлагается в рядf (x) =∞Xfn Xn (x),(1.16)n=1Выясним, какими должны быть коэффициенты fn .

Для этого домножим (1.16) на Xm =1sin π − 2 + m x скалярно в смысле L2 [0, l]:Zl(f, Xm ) = fm0sin2Zl fmπ(2n − 1)π(2n − 1)x dx =1 − cosxdx =2l22l0fm=2Zldx =0-2-lfm,2УМФ – семинар – Метод Фурьеоткуда22fn = (f, Xn ) =llZlf (x) sinπ(2n − 1)x dx.2l(1.17)0Итак, для коэффициентов An и Bn из представления (1.13) решения u(x, t), в силу(1.14) имеем:An + Bn = 0.А из (1.15)–(1.17) с учётом Bn = −An получаем:An eπ(2n−1)s2l−−eπ(2n−1)s2l= 2An shπ(2n − 1)s2l2= fn =lZlf (x) sinπ(2n − 1)x dx.2l0И, наконец,fnAn = −Bn =2 shπ(2n−1)s2l=Zl1l shπ(2n−1)s2lf (x) sinπ(2n − 1)x dx.2l0Всё, что нам осталось сделать, – это подставить в формулу (1.13) найденные коэффициенты An и Bn из (1).

Получим∞xsh π(2n−1)X2lπ(2n − 1) sinu(x, t) =fn x ,(1.18)π(2n−1)2lshsn=12lгде fn определены равенством (1.17).№ 717 e).Случай неоднородных краевых условий по x.Найти решение u(x, t) краевой задачи uxx + uyy = 0,u(0, y) = 0, u(l, y) = T y,u(x, 0) = 0, u(x, s) = sTl x ,x ∈ (0, l), y ∈ (0, s),y ∈ (0, s),x ∈ (0, l).(2.1)Шаг 1. Сведение краевых условий при x = 0, x = l к однородным.Аналогично задачам с неоднородными краевыми условиями для параболических и гиперболических уравнений, можно легко найти функциюw(x, y) = (a1 x + b1 )µ(y) + (a2 x + b2 )ν(y), такую, чтобыw(0, y) = µ(y),w(l, y) = ν(y).В нашем случае µ(y) = 0, ν(y) = T y, и функция w(x, y) имеет видw(x, y) =T xy.lНайденная функция w(x, y) удовлетворяет равенствамx ∈ (0, l), y ∈ (0, s), wxx + wyy = 0,w(0, y) = 0, w(l, y) = T y,y ∈ (0, s),w(x, 0) = 0, w(x, s) = T lxs ,x ∈ (0, l).-3-(2.2)(2.3)УМФ – семинар – Метод ФурьеПоэтому для функцииv(x, y) = u(x, y) − w(x, y)мы получаем задачу: vxx + vyy = 0,v(0, y) = 0, v(l, y) = 0,v(x, 0) = 0, v(x, s) = 0,x ∈ (0, l), y ∈ (0, s),y ∈ (0, s),x ∈ (0, l).(2.4)Шаг 2.

Решение задачи (2.4). В данном случае нет необходимости искать решениеметодом Фурье, поскольку задача (2.4) имеет, очевидно, решениеv(x, t) ≡ 0,x ∈ (0, l), y ∈ (0, s).Из теории краевых задач известно, что решение таких задач единственно (в случае еслихотя бы одно краевое условие – не второго рода), поэтому ничего другого мы методомФурье не найдём.Поэтому нам осталось написать ответ:u(x, y) = w(x, y) =T xy,lx ∈ (0, l), y ∈ (0, s).№ 718 a).Найти решение u(x, t) краевой задачи uxx + uyy = 0,u(0, y) = f (y), u(∞, y) = 0,u(x, 0) = uy (x, l) = 0,x ∈ (0, +∞), y ∈ (0, l),y ∈ (0, l),x ∈ (0, +∞).(3.1)В данном случае задача поставлена в полуполосе и, поскольку из двух переменных толькоy меняется на конечном отрезке, задачу Штурма – Лиувилля мы можем получить толькодля функции Y (y).Шаг 1.

Будем искать решение уравнения uxx + uyy = 0 с краевыми условиями u(x, 0) = uy (x, l) = 0 в видеU (x, y) = X(x)Y (y).Сразу заметим, что краевые условия при y = 0, y = l означают для функции Y (y)следующее:Y (0) = Y 0 (l) = 0.(3.2)Подставим U (x, y) в уравнение, получим:X”(x)Y (y) = −X(x)Y ”(y)Предположив, что X(x)Y (y) 6= 0, поделим это равенство на X(x)Y (y) 6= 0:Y ”(y)X”(x)=−= −λ.X(x)Y (y)Отсюда для функции Y (y) имеем задачуY ”(y) + λY (y) = 0,Y (0) = Y 0 (l) = 0,-4-(3.3)(3.4)УМФ – семинар – Метод Фурьеа для функции X(x) – уравнение:X”(x) − λX(x) = 0,x ∈ (0, ∞).(3.5)Задача (3.3)–(3.4) есть задача Штурма–Лиувилля. Её решение мы уже находили в №717 а).Эта задача имеет бесконечное множество нетривиальных решений2π(2n − 1)π(2n − 1), Yn (y) = siny , n∈Nλn =2l2lСтало быть, рассматривать задачу (3.5) имеет смысл только при λ = λn , и мы получаемсемейство задач:X”n (x) − λn Xn (x) = 0,x ∈ (0, ∞),n ∈ N.(3.6)Решение этого линейного однородного уравнения первого порядка имеет вид:Xn (x) = An eπ(2n−1)x2l+ Bn e−π(2n−1)x2ly ∈ (0, s),,n∈N(3.7)где An и Bn – произвольные постоянные.Шаг 2.

Решаем задачу (3.1).Будем искать решение задачи (3.1) в виде u(x, y) =∞PXn (x)Yn (y), т.е.n=1u(x, t) =∞Xn=1sinπ(2n−1)π(2n−1)π(2n − 1)x−x2l2lAn ey+ Bn e.2l(3.8)Из условий задачи мы ещё не использовали только краевые условия по x:u(0, y) = f (y),y ∈ (0, l).u(∞, y) = 0,Для функции u(x, y) искомого вида первое условие означает:f (y) = u(0, y) =∞XXn (0)Yn (y) =n=1∞X(An + Bn ) Yn (y),(3.9)n=1А второе условие u(∞, y) = 0 может выполняться только приn ∈ N.An = 0,Таким образом, наше решение должно иметь вид∞Xπ(2n−1)π(2n − 1)u(x, t) =Bn siny e− 2l x .2ln=1(3.10)Пусть функция f (y), входящая в начальное условие, разлагается в рядf (y) =∞Xfn Yn (y),(3.11)n=1Как мы выяснили, решая № 717 а), коэффициенты fn имеют вид:22fn = (f, Yn ) =llZlf (y) sin0-5-π(2n − 1)y dx.2l(3.12)УМФ – семинар – Метод ФурьеИтак, для коэффициентов Bn из (3.9)–(3.12) получаем:2Bn = fn =lZlf (y) sinπ(2n − 1)y dx.2l(3.13)0Всё, что нам осталось сделать, – это подставить в формулу (3.10) найденные коэффициенты Bn из (3.13).

Получим∞Xπ(2n−1)π(2n − 1)(3.14)u(x, t) =fn siny e− 2l x ,2ln=1где fn определены равенством (3.12).№ 717 б).Найти решение u(x, t) краевой задачи uxx + uyy = 0,ux (0, y) = ux (l, y) = 0,u(x, 0) = A, u(x, s) = Bx,x ∈ (0, l), y ∈ (0, s),y ∈ (0, s),x ∈ (0, l).№ 717 в).Найти решение u(x, t) краевой задачи uxx + uyy = 0,ux (0, y) = u(l, y) = 0,u(x, 0) = 0, u(x, s) = Bx,x ∈ (0, l), y ∈ (0, s),y ∈ (0, s),x ∈ (0, l).№ 717 г).Найти решение u(x, t) краевой задачи uxx + uyy = 0,u(0, y) = U, ux (l, y) = 0,uy (x, 0) = T sin πx, u(x, s) = 0,2lx ∈ (0, l), y ∈ (0, s),y ∈ (0, s),x ∈ (0, l).№ 717 д).Найти решение u(x, t) краевой задачи uxx + uyy = 0,u(0, y) = 0, ux (l, y) = q,u(x, 0) = 0, u(x, s) = U,x ∈ (0, l), y ∈ (0, s),y ∈ (0, s),x ∈ (0, l).№ 718 б).Найти решение u(x, t) краевой задачи uxx + uyy = 0,u(0, y) = f (y), u(∞, y) = 0,uy (x, 0) = uy (x, l) + hu(x, l) = 0,x ∈ (0, +∞), y ∈ (0, l),y ∈ (0, l),x ∈ (0, +∞), h > 0.№ 718 в).Найти решение u(x, t) краевой задачи uxx + uyy = 0,u(0, y) = y(l − y), u(∞, y) = 0,u(x, 0) = u(x, l) = 0,-6-x ∈ (0, +∞), y ∈ (0, l),y ∈ (0, l),x ∈ (0, +∞)..