Семинар по функции Грина и методу электростатичеких изображений (Семинары)

УМФ – семинар – Функция Грина1. Функция Грина задачи Дирихле.0.1. Определение и свойства функции Грина.Рассмотрим краевую задачу для уравнения Лапласа с краевыми условиями I-го рода.Постановка задачи: Пусть D – область евклидова пространства E n , а S = ∂D – гладкая (n−1)Tмерная граница D.

Найти функцию u(x, t) ∈ C 2 (D) C D , удовлетворяющую условиям∆u ≡nX∂2uj=1u(x)∂x2j= 0,x ∈ D,(0.1)x ∈ S,(0.2)= ϕ(x),x∈Sгде ϕ(x) ∈ C(S) – заданная, непрерывная на S функция.Такая задача называется задачей Дирихле. (Если бы краевые условия были условиямиII-го рода, здача называлась бы задачей Неймана.)Опр. 0.1. Фундаментальным (или элементарным) решением уравнения Лапласаназывается функция E(x, ξ), x 6= ξ ∈ D видаE(x, ξ) =rгде |ξ − x| =nP1(n−2)|ξ−x|n−2− ln |ξ − x|n > 2,(0.3)n = 2,(ξi − xi )2 – расстояние между точками x и ξ.i=1Опр. 0.2.

Функцией Грина G(x, ξ) задачи Дирихле для уравнения Лапласа называется функция G(x, ξ), x 6= ξ ∈ D, обладающая сойствами:1. Она имеет видG(x, ξ) = E(x, ξ) + g(x, ξ),где E(x, ξ) – Фундаментальное решение уравнения Лапласа, а функция g(x, ξ) гармонична в D как по x, так и по ξ:∆x g(x, ξ) = ∆ξ g(x, ξ) = 0,2.G(x, ξ)x∈S= G(x, ξ)x, ξ ∈ D.= 0.ξ∈SУтверждение 0.1 (Свойства функции Грина).Усл.

G(x, ξ) функция Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа в D.Утв. 1oG(x, ξ) > 0,x 6= ξ ∈ D;o2∆x G(x, ξ) = ∆ξ G(ξ, x) = 0,x 6= ξ ∈ D;3oG(x, ξ) = G(ξ, x),x 6= ξ ∈ D.-1-УМФ – семинар – Функция ГринаТеорема 0.1 (Представление решения задачи Дирихле при помощи функции Грина).Усл. G(x, ξ) функция Грина задачи Дирихле (0.1) – (0.2).Утв. Решение задачи (0.1) – (0.2) можно представить в виде:Z∂G(x, ξ)1ϕ(ξ)dSξ ,(0.4)u(x) = −ωn∂νξS√ n2( π )– площадь единичной сферы в E n ,√Γ(t) – Гамма-функция Эйлера, Γ n2 = (n−2)!!√ n−1 π,2( )∂–производнаяповнешнейнормалик поверхности S в точке ξ ∈ S,∂νξdSξ – элемент площади поверхности S в точке ξ.где ωn =Γ( n2)Пример 0.1. В случае, когда D = {|x| < 1} – единичный шар в E n для задачи Дирихле (0.1)– (0.2) функция Грина имеет вид:xG(x, ξ) = E(x, ξ) − E |x|ξ,,|x|а решение задачи представляется формулой Пуассона:Z1 − |x|21ϕ(ξ)dSξ .u(x) =ωn|ξ − x|n|ξ|=10.2.

Метод электростатических изображений (метод отражений)0.2.1. Физическая интерпретация для E 3 .В трёхмерном пространстве функцию Грина задачи Дирихле можно интерпретировать физически как потенциал поля, созданного единичным точечным зарядом, помещенным внутризаземлённой проводящей замкнутой поверхности.Фиксируем две точки: x и y в области D. В точку x мы поместим единичный положительный заряд, а в точке y будем наблюдать результирующий потенциал.Пусть в точке x ∈ D расположен единичный положительный элекрический заряд. Ониндуцирует на заземлённой S некоторе распределение зарядов.Тогда потенциал электростатического поля в точке y ∈ D есть сумма потенциала, созданного единичным зарядом, и потенциала, созданного индуцированными на S зарядами:G(x, y) =1+ g(x, y).|x − y|При этом функция g(x, y), соответствующая потенциалу, созданному индуцированными наS зарядами, является гармонической как по x ∈ D, так и по y ∈ D.При такой интерпретации, свойство симметричности функции Грина G(x, y) = G(y, x)является математическим выражением принципа взаимности в физике: источник, помещённый в точке x производит в точке y такое же действие, какое производит в точке x такойже источник, помещённый в точке y.

Заметим, что функцию Грина называют также функцией точечного источника. Заметим также, что в некоторых книгах, например, в книгеТихонов А.Н., Самарский А.А. "Уравнения математической физики"(Гл. 4, §4), коэффициент1ставится не в формуле представления решения (0.4), а в определении функции источника.ωn-2-УМФ – семинар – Функция ГринаТаким образом, чтобы научиться решать задачу Дирихле, надо уметь находить функциюG = E +g, а поскольку E – известная функция ((0.3),стр. 1), вся задача сводится к построениюфункции g(x, ξ). По опеределению функции Грина, от g требуется, чтобы∆x g(x, ξ) = ∆ξ g(x, ξ) = 0,x, ξ ∈ D;g(x, ξ)= −E(x, ξ) .x∈S(0.5)(0.6)x∈SЭти условия, фактически, представляют собой также задачу Дирихле, только уже дляфункции g.

Однако, эта задача во многих случаях существенно проще исходной, так как вней граничная функция имеет очень специальный вид, а в исходной задаче она совершеннопроизвольна. Кроме того, найдя функцию Грина для задачи Дирихле в области D, мы сразуполучаем решения всех задач Дирихле в этой области.Наиболее распространённым способом построения функции Грина являеся метод отражений (электростатических изображений). Его идея состоит в том, что функция g,представляющая собой поле индуцированных на S зарядов, строится как поле зарядов, расположенных вне области D, и таких, чтобыg(x, ξ)= −E(x, ξ) .x∈Sx∈SЕё можно найти, располагая заряды подходящей величины в точках, симметричных относительно S точкам, в которых расположены заряды внутри D.0.2.2.

АлгоритмШаг 1. Строим фундаментальное решение уравнения Лапласа по формуле (0.3).Шаг 2. Помещаем в точку ξ ∈ D единичный положительный заряд. Обозначаем черезξ ∗ точку, симметричную точке ξ относительно поверхности S, и помещаем в ξ ∗ заряд q(ξ).Шаг 3. Ищем решение задачи (0.5) – (0.6) в виде1 − (n−2)q|ξ∗ −x|n−2g = −E(qx, qξ ∗ ) = ln q |ξ ∗ − x|n > 2,n = 2,подбирая подходящим образом заряд q. Так определённая функция g будет гармонической(то есть удовлетворяющей уравнению Лапласа), поскольку E – гармоническая. По этомунаходить q надо из условия (0.6). При этом удобно считать,что точка x ∈ S, – тогда qнаходится из краевого условия g(x, ξ)= −E(x, ξ) .

(Поскольку в формуле (0.4)x∈Sx∈Sинтеграл берётся по ξ ∈ S, а функции E, g и G обладают свойством симметричности,полученная функция G = E + g будет удовлетворять определению функции Грина.)Шаг 4. Строим функцию Грина по формуле G(x, ξ) = E(x, ξ) + g(x, ξ). (В ответе надоизбавиться, по возможности от выражений, зависящих от ξ ∗ , выразив координаты ξ ∗ черезкоординаты ξ. Это делается потому, что в формуле (0.4) ξ ∈ S, и ξ ∗ = ξ, а не x ∈ S, какна Шаге 3.)Задача 1.Методом отражений найти функцию Грина задачи Дирихле (0.1) – (0.2) в полуплоскостиx2 > 0.-3-УМФ – семинар – Функция ГринаШаг 1. Строим фундаментальное решение уравнения Лапласа по формуле (0.3).Для данного двумерного случая n = 2, и по формуле (0.3) имеем:qE(x, ξ) = − ln |ξ − x| ,|ξ − x| = (ξ1 − x1 )2 + (ξ2 − x2 )2 .(1.1)Шаг 2.

Помещаем в точку ξ = (ξ1 , ξ2 ), ξ2 > 0, единичный положительный заряд. Обозначаем через ξ ∗ точку, симметричную точке ξ относительно прямой S = {ξ2 = 0}.ξ ∗ = (ξ1 , −ξ2 ).(1.2)Шаг 3. Ищем решение задачи (0.5) – (0.6) в виде1g = −E(qx, qξ ∗ ) = ln q |ξ ∗ − x| = ln q + ln (ξ1 − x1 )2 + (−ξ2 − x2 )2 =21= ln q + ln (ξ1 − x1 )2 + (ξ2 + x2 )2 .2Чтобы выпонялось краевое условие g(x, ξ)= −E(x, ξ) , очевидно, необходимо взятьx∈Sx∈Sq(ξ) ≡ 1. При таком выборе, безусловно, будет выполнятся и уравнение Лапласа ∆ξ g(x, ξ) = 0(поскольку оно выполняется для E(x, ξ)).Таким образом,g = ln (ξ1 − x1 )2 + (ξ2 + x2 )2 .Шаг 4. Строим функцию Грина по формуле G(x, ξ) = E(x, ξ) + g(x, ξ).(ξ1 − x1 )2 + (ξ2 + x2 )2|ξ ∗ − x|= ln.G(x, ξ) = ln |ξ − x| − ln |ξ − x| = ln|ξ − x|(ξ1 − x1 )2 + (ξ2 − x2 )2∗Ответ:2∗2−x|1 −x1 ) +(ξ2 +x2 )G(x, ξ) = ln |ξ|ξ−x|.= ln (ξ(ξ −x )2 +(ξ −x )21122Задача 2.Методом отражений найти функцию Грина задачи Дирихле (0.1) – (0.2) в полупространстве x3 > 0.Шаг 1.

Строим фундаментальное решение уравнения Лапласа по формуле (0.3).Для данного двумерного случая n = 3, и по формуле (0.3) имеем:q1E(x, ξ) =,|ξ − x| = (ξ1 − x1 )2 + (ξ2 − x2 )2 + (ξ3 − x3 )2 .|ξ − x|(2.1)Шаг 2. Помещаем в точку ξ = (ξ1 , ξ2 , ξ3 ), ξ3 > 0, единичный положительный заряд.Обозначаем через ξ ∗ точку, симметричную точке ξ относительно плоскости S = {ξ3 = 0}.ξ ∗ = (ξ1 , ξ2 , −ξ3 ).(2.2)Шаг 3.

Ищем решение задачи (0.5) – (0.6) в видеg = −E(qx, qξ ∗ ) = −11q=−=q |ξ ∗ − x|q (ξ1 − x1 )2 + (ξ2 − x2 )2 + (−ξ3 − x3 )21=− q.q (ξ1 − x1 )2 + (ξ2 − x2 )2 + (ξ3 + x3 )2-4-УМФ – семинар – Функция ГринаЧтобы выпонялось краевое условие g(x, ξ)x∈S= −E(x, ξ), очевидно, необходимо взятьx∈Sq ≡ 1. При таком выборе, безусловно, будет выполнятся и уравнение Лапласа ∆ξ g(x, ξ) = 0(поскольку оно выполняется для E(x, ξ)).Таким образом,1.g=− q(ξ1 − x1 )2 + (ξ2 − x2 )2 + (ξ3 + x3 )2Шаг 4. Строим функцию Грина по формуле G(x, ξ) = E(x, ξ) + g(x, ξ).G(x, ξ) =Ответ:G(x, ξ) = √11− ∗.|ξ − x||ξ − x|1(ξ1 −x1 )2 +(ξ2 −x2 )2 +(ξ3 −x3 )2− √1(ξ1 −x1 )2 +(ξ2 −x2 )2 +(ξ3 +x3 )2.Задача 3.Методом отражений найти функцию Грина задачи Дирихле (0.1) – (0.2) в круге |x−x0 | < R.Шаг 1.

Строим фундаментальное решение уравнения Лапласа по формуле (0.3).Для данного двумерного случая n = 2, и по формуле (0.3) имеем:qE(x, ξ) = − ln |ξ − x| ,|ξ − x| = (ξ1 − x1 )2 + (ξ2 − x2 )2 .(3.1)Шаг 2. Помещаем в точку ξ = (ξ1 , ξ2 ), (ξ1 − x01 )2 + (ξ2 − x01 )2 < R2 , единичный положительный заряд. Обозначаем через ξ ∗ точку, симметричную точке ξ относительно окружностиS = {|x − x0 | = R},то есть точку, лежащую на луче [x0 , ξ) на таком расстоянии |ξ ∗ − x0 | от центра окружности,чтобы |ξ − x0 | · |ξ ∗ − x0 | = R2 . Или в векторном виде:−−→x0 ξ ∗ =−→R2x0 ξ,02|ξ − x |откудаR2ξ =x +|ξ − x0 |2∗0ξ − x0 .Шаг 3.

Ищем решение задачи (0.5) – (0.6) в видеg = −E(qx, qξ ∗ ) = ln q |ξ ∗ − x| = ln q + ln |ξ ∗ − x| .(3.2)(3.3)Чтобы правильно подобрать величину заряда q, положим x ∈ S, то есть |x − x0 | = R (см. рис. 1). Тогда треугольники ∆x0 ξx и ∆x0 xξ ∗ подобны, так какугол при вершине x0 у них общий, а прилегающиек нему стороны пропорциональны:|x − x0 ||ξ − x0 |=|x − x0 ||ξ ∗ − x0 |в силу свойства симметричных точек ξ и ξ ∗ : ξ − x0 · ξ ∗ − x0 = R 2 .Рис. 1: Симметричные точки и подобные-5-треугольникиУМФ – семинар – Функция ГринаВеличина q должна быть такой, чтобы для функции g вида (3.3) выполнялось краевоеусловиеg(x, ξ)= −E(x, ξ) .x∈Sx∈SВ нашем случае это означает, что|ξ − x|.|ξ ∗ − x|q=И из подобия треугольников ∆x0 ξx и ∆x0 xξ ∗ окончательно получаем|ξ − x0 |q=.R(3.4)Итак,|ξ − x0 | · |ξ ∗ − x||ξ − x0 |+ ln |ξ ∗ − x| = ln.RRШаг 4.

Строим функцию Грина по формуле G(x, ξ) = E(x, ξ) + g(x, ξ).g(x, ξ) = lnG(x, ξ) = ln|ξ − x0 | · |ξ ∗ − x||ξ − x0 | · |ξ ∗ − x|− ln |ξ − x| = ln.RR |ξ − x|Чтобы избавиться в ответе от ξ ∗ , ещё раз воспользуемся симметричностью точек ξ и ξ ∗ : ξ − x0 · ξ ∗ − x0 = R 2и векторным соотношением:−→ −−→ −→ξ ∗ − x ≡ xξ ∗ = x0 ξ ∗ − x0 x =−→−→R20·xξ−x0 x,|ξ − x0 |2откуда x − x0ξ − x0 |ξ ∗ − x|= R−RR2|ξ − x0 |2 Окончательно получаем:Ответ:G(x, ξ) = ln0R|ξ−x0 |· x−x2 −Rξ−x0 |ξ−x0 |2 |ξ−x|.Задача 4.Методом отражений найти функцию Грина задачи Дирихле (0.1) – (0.2) в шаре |x−x0 | < R.Шаг 1. Строим фундаментальное решение уравнения Лапласа по формуле (0.3).Для данного двумерного случая n = 3, и по формуле (0.3) имеем:q1E(x, ξ) = −,|ξ − x| = (ξ1 − x1 )2 + (ξ2 − x2 )2 + (ξ3 − x3 )2 .|ξ − x|(4.1)Шаг 2. Помещаем в точку ξ = (ξ1 , ξ2 ), (ξ1 − x01 )2 + (ξ2 − x01 )2 < R2 , единичный положительный заряд.

Обозначаем через ξ ∗ точку, симметричную точке ξ относительно сферыS = {|x − x0 | = R},то есть точку, лежащую на луче [x0 , ξ) на таком расстоянии |ξ ∗ − x0 | от центра окружности,чтобы |ξ − x0 | · |ξ ∗ − x0 | = R2 . Или в векторном виде:−−→x0 ξ ∗ =−→R2x0 ξ,02|ξ − x |-6-УМФ – семинар – Функция Гринаоткудаξ ∗ = x0 +R2|ξ − x0 |2ξ − x0 .(4.2)Шаг 3. Ищем решение задачи (0.5) – (0.6) в видеg = −E(qx, qξ ∗ ) = −1.q |ξ ∗ − x|(4.3)Чтобы правильно подобрать величину заряда q, положим x ∈ S, то есть |x − x0 | = R (см.рис. 1). Тогда треугольники ∆x0 ξx и ∆x0 xξ ∗ подобны, так как угол при вершине x0 у нихобщий, а прилегающие к нему стороны пропорциональны:|x − x0 ||ξ − x0 |=|x − x0 ||ξ ∗ − x0 |в силу свойства симметричных точек ξ и ξ ∗ : ξ − x0 · ξ ∗ − x0 = R 2 .Величина q должна быть такой, чтобы для функции g вида (3.3) выполнялось краевое условиеg(x, ξ)= −E(x, ξ) .x∈Sx∈SВ нашем случае это означает, чтоq=|ξ − x|.|ξ ∗ − x|И из подобия треугольников ∆x0 ξx и ∆x0 xξ ∗ окончательно получаемq=|ξ − x0 |.RИтак,g(x, ξ) = −|ξ −R.· |ξ ∗ − x|x0 |Шаг 4.