Семинар 5. Задача для уравнения теплопроводности на прямой и полупрямой. Метод продолжения (Семинары)

УМФ – семинар – К 5 – 5Уравнение теплопроводности на прямой и полупрямой№ 582, 586, 588, 574, 581, 583, 585, 587, 584.1. Формула ПуассонаВ n-мерном Евклидовом пространстве En = {x = (x1 , . . . , xn )} рассмотрим задачу Коши дляпростейшего случая уравнения теплопроводности:ut − a2 ∆u = f (x, t),x ∈ En , t > 0;(1.1)u(x, 0) = ϕ(x),x ∈ En .Опр. 1.1. Её решение задаётся формулой Пуассона:1√ nu(x, t) =2a πtZe−|x−ξ|24a2 tZt Z· ϕ(ξ)dξ +0 EnEnгде |x − ξ|2 =nP−|x−ξ|2e 4a2 (t−τ ) pn · f (ξ, τ )dξdτ,2a π(t − τ )(1.2)(xk − ξk )2 .k=1В частном случае, когда n = 1, формула Пуассона принимает вид:2Z t Z+∞ − 4a(x−ξ)Z+∞2 (t−τ )(x−ξ)2epe− 4a2 t · ϕ(ξ)dξ +· f (ξ, τ )dξdτ.u(x, t) =2a πt2a π(t − τ )1√(1.3)0 −∞−∞2. № 582Найти решение задачи для уравнения теплопроводности на полупрямой в случае однородногокраевого условия второго рода (условие теплоизолированного конца):x > 0, t > 0; ut − a2 uxx = 0,u(x, 0) = ϕ(x),x > 0;(2.1)ux (0, t) = 0,t > 0.Рассмотрим вспомогательную задачу на прямой:vt − a2 vxx = 0,x ∈ (−∞, +∞), t > 0;v(x, 0) = ϕ1 (x),x ∈ (−∞, +∞),(2.2)где функция ϕ1 (x) построена по функции ϕ(x) её чётным продолжением на всю числовуюось:ϕ(x),при x > 0;ϕ1 (x) =(2.3)ϕ(−x),при x < 0,Рассмотрим, каким условиям удовлетворяет v(x, t) на промежутке x ∈ (0, +∞).

Так как v –решение (2.2), то:1) из первого равенства (2.2) следует, чтоvt − a2 vxx = 0,c Д.С. Ткаченкоx ∈ (0, +∞), t > 0;-1-УМФ – семинар – К 5 – 52) из второго равенства (2.2) следует, чтоv(x, 0) = ϕ1 (x) ≡ ϕ(x),x ∈ (0, +∞), t > 0.Убедимся, что для решения v(x, t) вспомогательной задачи (2.2) справедливо соотношениеvx (0, t) = 0,t > 0.Для этого воспользуемся формулой Пуассона для случая f ≡ 0:v(x, t) =1√2a πtZ+∞(x−ξ)2e− 4a2 t · ϕ1 (ξ)dξ =Z+∞1√e2a πt−∞−(x−ξ)24a2 t−+e(x+ξ)24a2 t· ϕ(ξ)dξ.0ТогдаZ+∞(x−ξ)2(x+ξ)22(x + ξ)2(x − ξ)−−22−vx (x, t) =· e 4a t + −· e 4a t · ϕ1 (ξ)dξ,4a2 t4a2 t2a πt1√0откуда для vx (0, t) получаем:1vx (0, t) = 3 √4a t πtZ+∞−ξe0ξ24a2 t|−− ξe{zξ24a2 t· ϕ(ξ)dξ = 0.}=0Таким образом, найденная функция v(x, t) удовлетворяет, помимо условий vt − a2 vxx = 0 иv(x, 0) = ϕ(x), краевому условиюvx (0, t) = 0,t > 0.Поэтому оказывается, что решение v(x, t) вспомогательной задачи (2.2) являетсятакже решением задачи (2.1) на полупрямой1 :u(x, t) ≡ v(x, t),x > 0, t > 0.Ответ:u(x, t) =1√Z+∞−e2a πt(x−ξ)24a2 t−+e(x+ξ)24a2 t· ϕ(ξ)dξ.03.

№ 586Найти решение задачи для уравнения теплопроводности на полупрямой в случае однородногокраевого условия второго рода:x > 0, t > 0; ut − a2 uxx = f (x, t),u(x, 0) = 0,x > 0;(3.1)ux (0, t) = 0,t > 0.Рассмотрим вспомогательную задачу на прямой:vt − a2 vxx = f1 (x, t),x ∈ (−∞, +∞), t > 0;v(x, 0) = 0,x ∈ (−∞, +∞),1То, что другого решения у задачи (2.1) нет, следует из соответствующей теоремы единственности.c Д.С.

Ткаченко-2-(3.2)УМФ – семинар – К 5 – 5где функция f1 (x, t) построена по функции f (x, t) её чётным продолжением на всю числовую ось:f (x, t),при x > 0;f1 (x, t) =(3.3)f (−x, t),при x < 0,Рассмотрим, каким условиям удовлетворяет v(x, t) на промежутке x ∈ (0, +∞). Так как v –решение (3.2), то:1) из первого равенства (3.2) следует, чтоvt − a2 vxx = f1 (x t) ≡ f (x, t),x ∈ (0, +∞), t > 0;2) из второго равенства (3.2) следует, чтоx ∈ (0, +∞), t > 0.v(x, 0) = 0,Убедимся, что для решения v(x, t) вспомогательной задачи (3.2) справедливо соотношениеvx (0, t) = 0,t > 0.Для этого воспользуемся формулой Пуассона для случая ϕ(x) ≡ 0:Z t Z+∞v(x, t) =0 −∞(x−ξ)2−e 4a2 (t−τ )p· f (ξ, τ )dξdτ =2a π(t − τ )Z t Z+∞0−e(x−ξ)24a2 (t−τ )2a0p−+e(x+ξ)24a2 (t−τ )π(t − τ )· f (ξ, τ )dξdτ.(3.4)ТогдаZ t Z+∞vx (x, t) =−(x − ξ)e−2·− τ)(x−ξ)24a2 (t−τ )4a2 (t02a0−+ (x + ξ)epπ(t − τ )(x+ξ)24a2 (t−τ )· f (ξ, τ )dξdτ,откуда для vx (0, t) получаем:=0Z t Z+∞vx (0, t) =z−}|ξ24a2 (t−τ )−+ ξe−2−ξep·− τ)2a π(t − τ )4a2 (t00{ξ24a2 (t−τ )· f (ξ, τ )dξdτ = 0.Таким образом, найденная функция v(x, t) удовлетворяет, помимо условий vt −a2 vxx = f1 (x, t)и v(x, 0) = 0, ещё и краевому условиюvx (0, t) = 0,t > 0.Поэтому оказывается, что решение v(x, t) вспомогательной задачи (3.2) являетсятакже решением задачи (3.1) на полупрямой2 :Ответ:2(x+ξ)2Z t Z+∞ − 4a(x−ξ)− 22 (t−τ )4a(t−τ )e+epu(x, t) =· f (ξ, τ )dξdτ.2a π(t − τ )020То, что другого решения у задачи (3.1) нет, следует из соответствующей теоремы единственности.c Д.С.

Ткаченко-3-УМФ – семинар – К 5 – 54. № 588Найти решение задачи для уравнения теплопроводности:x > 0, t > 0; ut − a2 uxx + hu = f (x, t),u(x, 0) = 0,x > 0;ux (0, t) = 0,t > 0.(4.1)Шаг 1. Избавление от младшего слагаемогоЧтобы избавиться от слагаемого hu, которое отличает данную задачу от уже решённой в№ 586, сделаем замену:w(x, t) = u(x, t) · ehtwt = (ut + hu) · eht .=⇒(4.2)Умножим уравнение ut − a2 uxx + hu = f (x, t) на eht и получим для новой функции wwt − a2 wxx = f (x, t) · eht .Таким образом, введённая функция w(x, t) является решением задачи:x > 0, t > 0; wt − a2 wxx = f1 (x, t) ≡ f (x, t) · eht ,w(x, 0) = 0,x > 0;wx (0, t) = 0,t > 0.(4.3)Шаг 2. Решение полученной задачиРешение этой задачи мы получили в № 586.

Воспользуемся результатом:Z t Z+∞w(x, t) =0−e0(x−ξ)24a2 (t−τ )2ap−+e(x+ξ)24a2 (t−τ )· f1 (ξ, τ )dξdτ.| {z }π(t − τ )f (ξ, τ )·ehτВозвращаясь к функции u(x, t) = w(x, t) · e−ht , получаем:Ответ:2(x+ξ)2Z t Z+∞ − 4a(x−ξ)− 22 (t−τ )4a(t−τ )e+epu(x, t) =· f (ξ, τ ) · e−h(t−τ ) dξdτ.2a π(t − τ )005.

№ 574MПоказать, что функцияu(x, t) =1√2a πtZ+∞(x−ξ)2e− 4a2 t · ϕ(ξ)dξ,(5.1)−∞где ϕ(x) – непрерывная ограниченная на R функция, является решением следующей задачи:ut − a2 uxx = 0,x ∈ R, t > 0;(5.2)u(x, 0) = ϕ(x),x > 0.Шаг 1. Формальное дифференцирование (5.1)Найдём формально (то есть не задумываясь над правомощностью этих действий) производныеот функции u(x, t), входящие в уравнение (5.1).1ut = − √ 34a π t 2c Д.С. ТкаченкоZ+∞(x−ξ)2e− 4a2 t · ϕ(ξ)dξ +−∞1√2a πt-4-Z+∞−∞2(x − ξ)2 − (x−ξ)4a2 t · ϕ(ξ)dξ;·e4a2 t2УМФ – семинар – К 5 – 5далее, так как2d2 − (x−ξ)4a2 t=edx222d − (x−ξ)2(x − ξ) − (x−ξ)4a2 t ,e 4a2 t = −·edx4a2 t1(x − ξ)2− 2 +2a t4a4 t2· e−(x−ξ)24a2 t,то для uxx получаем выражение1√uxx =2a πtZ+∞(x − ξ)21− 2 +2a t4a4 t2· e−(x−ξ)24a2 t· ϕ(ξ)dξ.−∞Шаг 2. Подстановка формальных производных в уравнение теплопроводностиПодставив найденные формальные производные ut и uxx в уравнение ut − a2 uxx = 0, видим,что окрашенные одинаково слагаемые друг друга сокращают, и уравнение превращается вверное тождество:ut − a2 uxx1=− √ 34a π t 2Z+∞(x−ξ)2e− 4a2 t · ϕ(ξ)dξ +−∞1√2−a ·2a πtZ+∞2a πtZ+∞1√2(x − ξ)2 − (x−ξ)4a2 t · ϕ(ξ)dξ−·e4a2 t2−∞1(x − ξ)2− 2 +2a t4a4 t2· e−(x−ξ)24a2 t· ϕ(ξ)dξ ≡ 0.−∞Шаг 3.

Формальная подстановка решения в начальное условиеФункция u(x, t), заданная формулой (5.1), не определена при t = 0. Однако, её можно доопределить в начальный момент времени по непрерывности, то есть считать её равной в моментt = 0 её пределу при t → 0 + 0:√Z+∞(x−ξ)2ξ=x+2aηt,⇒−√e 4a2 t · ϕ(ξ)dξ ==u(x, 0) = lim u(x, t) = limt→0+0t→0+0 2a πtdξ = 2a t dη1√−∞1= lim √t→0+0πZ+∞−η 2e√1· ϕ(x + 2aη t)dη = √π−∞1= ϕ(x) · √πZ+∞√2e−η · lim ϕ(x + 2aη t) dη =t→0+0−∞Z+∞hi1 √−η 2e dη = ϕ(x) · √ · π = как интеграл Эйлера – Пуассона = ϕ(x)π−∞Таким образом, мы убедились, что формула (5.1) действительно задаёт решение задачи (5.2),если все формальные действия Шагов 1 и 3 являются правомощными.Шаг 4.

Обоснование правомощности формальных действийПоскольку все интегралы, участвующие в наших формальных операциях, являются равномерно по параметрам x и t сходящимися в любом замкнутом прямоугольнике(x, t) ∈ [x1 , x2 ] × [t1 , t2 ], 0 < t1 < t2 для Шага 1, и в прямоугольнике (x, t) ∈ [x1 , x2 ] × [0, T ]для Шага 3, их можно в этом прямоугольнике дифференцировать по параметрам и переходить к пределу по параметру t.А равномерная сходимость этих интегралов легко показать по признаку Вейерштрасса, например, для Шага 3:Z+∞(x−ξ)21√e− 4a2 t · ϕ(ξ)dξ2a πt−∞c Д.С.

Ткаченко-5-УМФ – семинар – К 5 – 5в силу ограниченности |ϕ(ξ)| 6 M , можно мажорировать интеграломM√2a πtZ+∞(x−ξ)2e− 4a2 t dξ,−∞сходимость которого легко проверить:ξ−x√ ,Z+∞Z+∞η=2a t(x−ξ)2MM2√e− 4a2 t dξ = e−η dη == √π2a πtdη = 2adξ√t−∞−∞√hiπMM=.= как интеграл Эйлера – Пуассона = √ ·2π 2Итак, все проделанные на шагах 1–3 формальные действия мы действительно имели праводелать.6. № 581Найти решение задачи для уравнения теплопроводности на полупрямой в случае однородногокраевого условия первого рода:x > 0, t > 0; ut − a2 uxx = 0,u(x, 0) = ϕ(x),x > 0;(6.1)u(0, t) = 0,t > 0.Рассмотрим вспомогательную задачу на прямой:vt − a2 vxx = 0,x ∈ (−∞, +∞), t > 0;v(x, 0) = ϕ1 (x),x ∈ (−∞, +∞),(6.2)где функция ϕ1 (x) построена по функции ϕ(x) её нечётным продолжением на всю числовую ось:ϕ(x),при x > 0;ϕ1 (x) =(6.3)−ϕ(−x),при x < 0,Рассмотрим, каким условиям удовлетворяет v(x, t) на промежутке x ∈ (0, +∞).

Так как v –решение (6.2), то:1) из первого равенства (6.2) следует, чтоvt − a2 vxx = 0,x ∈ (0, +∞), t > 0;2) из второго равенства (6.2) следует, чтоv(x, 0) = ϕ1 (x) ≡ ϕ(x),x ∈ (0, +∞), t > 0.Убедимся, что для решения v(x, t) вспомогательной задачи (6.2) справедливо соотношениеv(0, t) = 0,t > 0.Для этого воспользуемся формулой Пуассона для случая f ≡ 0:v(x, t) =c Д.С. Ткаченко1√2a πtZ+∞(x−ξ)2e− 4a2 t · ϕ1 (ξ)dξ =−∞1√Z+∞e2a πt0-6-−(x−ξ)24a2 t−−e(x+ξ)24a2 t· ϕ(ξ)dξ.УМФ – семинар – К 5 – 5Тогда для v(0, t) получаем:v(0, t) =Z+∞1√−e2a πt0ξ24a2 t|−−e{zξ24a2 t· ϕ(ξ)dξ.}=0Таким образом, найденная функция v(x, t) удовлетворяет, помимо условий vt − a2 vxx = 0 иv(x, 0) = ϕ(x), краевому условиюv(0, t) = 0,t > 0.Поэтому оказывается, что решение v(x, t) вспомогательной задачи (6.2) являетсятакже решением задачи (6.1) на полупрямой3 :u(x, t) ≡ v(x, t),x > 0, t > 0.Ответ:u(x, t) =1√Z+∞−e2a πt(x−ξ)24a2 t−−e(x+ξ)24a2 t· ϕ(ξ)dξ.07.