Семинар 2. Классификация УЧП 2-го порядка. Приведение к каноническому виду (Семинары)

УМФ – семинар – К 5 – 21. Классификация и приведение к каноническому виду уравнений в частных производных 2-го порядка1.1. Классификация линейных УЧП 2-го порядка с 2-мя независимыми переменнымиРассмотрим общее УЧП 2-го порядка с 2-мя независимыми переменными:F (x, y; u, ux , uy , uxx , uxy , uyy ) = 0.Его частным случаем является квазилинейное уравнение:a11 uxx + 2a12 uxy + a22 uyy + f (x, y; u, ux , uy ) = 0.Мы же будем изучать, в основном, ещё более частный случай – линейное уравнение:a11 uxx + 2a12 uxy + a22 uyy + b1 ux + b2 uy + cu = f (x, y),(1.1)где коэффициенты aij , bi , c являются, вообще говоря, функциями от (x, y).Опр. 1.1. Характеристической квадратичной формой уравнения (1.1) называетсявыражение:Q(λ1 , λ2 ) = a11 λ21 + 2a12 λ1 λ2 + a22 λ22 .(1.2)Выражениеa11 a12 = a212 − a11 a22∆ = − a12 a22 (1.3)называется дискриминантом квадратичной формы (1.2).Опр.

1.2. Уравнение (1.1) относится к1) гиперболическому типу, если ∆ > 0;2) эллиптическому типу, если ∆ < 0;3) параболическому типу, если ∆ = 0.Замечание 1.1. В случае, когда коэффициенты aij , bi , c являются функциями от (x, y), дискриминант ∆ также есть функция от (x, y). Поэтому уравнение с переменными коэффициентами может в разных областях плоскости R2 иметь разный тип.Замечание 1.2. Тип уравнения не изменяется при невырожденной замене переменныхξ = ξ(x, y);η = η(x, y).c Д.С. Ткаченко-1-УМФ – семинар – К 5 – 2Опр. 1.3.

Каноническим видом уравнения1) гиперболического типа называется видvξξ − vηη + β1 vξ + β2 vη + γv = g(ξ, η), либоvξη + β1 vξ + β2 vη + γv = g(ξ, η);2) эллиптического типа называется видvξξ + vηη + β1 vξ + β2 vη + γv = g(ξ, η);3) параболического типа называется видvηη + β1 vξ + β2 vη + γv = g(ξ, η);1.2. Приведение к каноническому виду УЧП 2-го порядка с 2-мя независимыми переменнымиАлгоритм.1) Находим ∆, определяем тип уравнения.2) Находим первые интегралы характеристических уравнений:в случае, когда a11 6= 0:dydx=в случае, когда a22 6= 0:dxdy=√a12 ± ∆;a11√a12 ± ∆.a223) Первые интегралы имеют вид:ϕ(x, y) = c,в случае гиперболического типа:в случае эллиптического типа:в случае параболического типа:ψ(x, y) = c;α(x, y) ± iβ(x, y) = c;δ(x, y) = c.4) Делаем замену переменных:в случае гиперболического типа:ξ = ϕ(x, y);;η = ψ(x, y).ξ = α(x, y);;η = β(x, y).ξ = δ(x, y);в случае параболического типа:,η = ε(x, y).δx δy 1где ε(x, y) – любая функция из C такая, что:εx εy 6= 0.в случае эллиптического типа:Результатом произведённой замены будет канонический вид уравнения.Пример 1.1.

№ 91.Привести к каноническому виду в каждой области, где сохраняется тип, уравнениеyuxx + uyy = 0.c Д.С. Ткаченко-2-УМФ – семинар – К 5 – 2Шаг 1. Ищем дискриминант.Так как в нашем случае a11 = y, a12 = 0, a22 = 1, то∆ = a212 − a11 a22 = −y.Поэтомуа)в полуплоскости y < 0 дискриминант ∆ > 0⇒гиперболический тип;б)в полуплоскости y > 0 дискриминант ∆ < 0⇒эллиптический тип;в)на прямой y = 0 дискриминант ∆ = 0⇒параболический тип.Шаг 2. Составим характеристические уравнения.Так как a22 = 1 6= 0, характеристические уравнения имеют вид:√√dxa12 ± ∆dx=,то есть= ± −y.dya22dy(1.4)Это – уравнения с разделяющимися переменными.

Решаем их:а)в полуплоскости y < 0√dx = ± −ydy32x + c = ∓ (−y) 2 .3⇒Поэтому первые интегралы имеют вид:33ϕ(x, y) = x + 32 (−y) 2 = c,б)ψ(x, y) = x − 23 (−y) 2 = c(1.5)в полуплоскости y > 0√dx = ±i ydy2 3x + c = ±i y 2 .3⇒Поэтому первые интегралы имеют вид:α(x, y) ± iβ(x, y) = c,в)α(x, y) = x ,где3β(x, y) = 23 y 2(1.6)на прямой y = 0dx = 0 · dy⇒x=cПоэтому первый интеграл (единственный линейно независимый) имеет вид:δ(x, y) = x.(1.7)Шаг 3. Замена переменных.В соответствии с алгоритмом, необходимо произвести замену:а)в полуплоскости y < 03ξ = x + 23 (−y) 2 ;3η = x − 23 (−y) 2 .Тогда, введя функцию v(ξ, η), получаем:√uy = (−vξ + vη ) −y,ux = v ξ + v η ,uxx = vξξ + 2vξη + vηη ,c Д.С. Ткаченко1uyy = −y (vξξ − 2vξη + vηη ) − √(−vξ + vη ) .2 −y-3-УМФ – семинар – К 5 – 2Подставив найденные производные в исходное уравнение, получаем:1(−vξ + vη ) =yuxx + uyy = y (vξξ + 2vξη + vηη ) − y (vξξ − 2vξη + vηη ) − √2 −y"#1= y 4vξη −= 0.3 (−vξ + vη )2(−y) 23Поделив на 4y и выразив 2(−y) 2 = 32 (ξ − η), получаем канонический вид:vξη −б)1(−vξ + vη ) = 0.6(ξ − η)в полуплоскости y > 0ξ = x;3η = 23 y 2 .Тогда, введя функцию v(ξ, η), получаем:ux = vξ ,uy = vη√y,1uyy = vηη y + √ vη .2 yuxx = vξξ ,Подставив найденные производные в исходное уравнение, получаем:yuxx + uyy11= y (vξξ + vηη ) + √ vη = y vξξ + vηη + 3 vη =2 y2y 2h 3i1vη = 0.= 2y 2 = 3η = y vξξ + vηη +3ηПоделив на y, получаем канонический вид:vξξ + vηη +в)1vη = 0.3ηна прямой y = 0ξ = x;η = y.(Нам надо было произвольным образом выбрать η(x, y) так, чтобы функции ξ, ηобразовывали линейно независимую пару.)Введя функцию v(ξ, η), получаем:ux = v ξ ,uy = vη ,uxx = vξξ ,uyy = vηη .Подставив найденные производные в исходное уравнение при y = 0, получаем:uyy = vηη = 0.Итак, канонический вид исходного уравнения на прямой y = 0:vηη = 0c Д.С.

Ткаченкоили, что то же самое,-4-uyy = 0.УМФ – семинар – К 5 – 2Ответ:1(−vξ + vη ) = 0vξη − 6(ξ−η)1vξξ + vηη + 3ηvη = 0uyy = 0в области y < 0,гиперболический тип;в области y > 0,эллиптический тип;в области y = 0,параболический типПри этом√√η =y−x−2 xξ = y − x + 2 x,√ξ = y − x,η = 2 −xξ = x,η=yв области y < 0;в области y > 0;в области y = 0.1.3.

Приведение к каноническому виду УЧП 2-го порядка с постоянными коэффициентамиВ этом параграфе мы будем рассматривать УЧП 2-го порядка с постоянными коэффициентами и n независимыми переменными:nXaij uxi xj + f (x1 , . . . , xn ; u, ux1 , . . . , uxn ) = 0,(1.8)i,j=1aij = const ∈ R,i, j = 1, n.Опр. 1.4. Характеристической квадратичной формой уравнения (1.8) называетсявыражение:nXQ(λ1 , . . . , λn ) =aij λi λj .(1.9)i,j=1Нормальным видом квадратичной формы (1.9) называется её видQ̃(µ1 , .

. . , µn ) =nXβk µ2k ,βk ∈ −1, 0, 1 .(1.10)k=1Каноническим видом уравнения (1.8) называется вид, в котором его характеристическаяквадратичная форма принимает нормальный (или канонический) вид:nXβk uxk xk + g(x1 , . . . , xn ; u, ux1 , . . . , uxn ) = 0.(1.11)k=1Опр. 1.5. Уравнение (1.8) относится к1) гиперболическому типу, если все коэффициенты βk отличны от нуля и не все одногознака;2) эллиптическому типу, если все коэффициенты βk отличны от нуля и все одного знака;3) параболическому типу, если хотя бы один из коэффициентов βk равен нулю.c Д.С.

Ткаченко-5-УМФ – семинар – К 5 – 2Алгоритм.1) Приводим характеристическую квадратичную форму к каноническому (нормальному)виду (1.10) (методом выделения полных квадратов). Выписываем матрицу преобразования, осуществляющую этот процесс:..  µ1 α11 α12 .. α1n  λ1 µ2  α21 α22 .. α2n   λ2  , =det A 6= 0.(1.12). . .  .. . . . ..........λnµn..αn1 αn2 .

αnn{z}|A2) Находим матрицу Γ замены переменных по законуΓ = AT−1.(1.13)3) Производим замену переменных:ξ1 γ11 ξ2  γ21 =. . .  . . .ξnγn1|......γ12γ1n   x 1xγ22γ2n   2. . ... . . .. . . .xn.γn2 .. γnn{z}(1.14)ΓРезультатом произведённой замены будет канонический вид (1.11) уравнения (1.8).2. № 119Привести к каноническому виду уравнение:uxy − 2uxz + uyz + ux +1uy = 0.2Шаг 1. Характеристическая квадратичная форма данного уравнения имеет видQ(λ1 , λ2 , λ3 ) = λ1 λ2 − 2λ1 λ3 + λ2 λ3 .Приведём её к каноническому виду:ν1 = λ1 + λ2 ;Q(λ1 , λ2 , λ3 ) = λ1 λ2 − 2λ1 λ3 + λ2 λ3 =  ν2 = λ1 − λ2 ;  =ν3 = λ31 211 213=ν1 − ν22 − (ν1 + ν2 ) ν3 + (ν1 − ν2 ) ν3 =ν1 − ν22 − ν1 ν3 − ν2 ν3 =424221 2111=ν − 2ν1 ν3 + ν32 −ν 2 + 6ν2 ν3 + 9ν32 + 2ν32 = (ν1 − ν3 )2 − (ν2 + 3ν3 )2 + 2ν32 =4 14 2441 21 2= κ1 − κ2 + 2κ32 = µ21 − µ22 + µ23 , где44c Д.С.

Ткаченко-6-УМФ – семинар – К 5 – 2µ1 = 21 (λ1 + λ2 − λ3 ) ;µ2 = 21 (λ1 − λ2 + 3λ3 ) ;√µ3 = 2 λ 3то есть11 − 12  22µ1 λ13  µ2  =  12 − 21λ2 .2 √µ3λ30 02|{z}AШаг 2. Найдём матрицу замены переменных Γ:√  √211− 2 − 22 0√√ −12 2 1−1=− √ Γ = AT− 220 2=2√√12−1 − 12− 222Шаг 3. Осуществляем замену переменных: 110  ξ xη  =  1−1 0  y √√√ζz2 22− 22то есть00√22ξ = x + y;η = x − y;√ζ = 22 (−x + 2y + z) .Чтобы подставить новые переменные в исходное уравнение, положимv(ξ, η, ζ) = u(x, y, z)и найдём ux , uy , uxy , uxz , uyz как производные сложной функции v (ξ(x, y, z), η(x, y, z), ζ(x, y, z)):√√2ux = vξ + vη −vζ ,uy = vξ − vη + 2vζ ;2√√ √22uxy = vξξ + vξη · (−1) + vηξ · 1 − vηη +(vξζ · 2 + vηζ · 2) −vζξ − vζη + 2 vζζ ⇒22√2uxy = vξξ − vηη − vζζ +(vξζ + 3vηζ ) ;2√12uxz =(vξζ + vηζ ) − vζζ ;22√2uyz =(vξζ − vηζ ) + vζζ ;2Подставляя найденный производные в левую часть исходного уравнения и приводя подобные,получаем:!!√√1221uxy −2uxz +uyz +ux + uy = vξξ − vηη − vζζ +(vξζ + 3vηζ ) −2(vξζ + vηζ ) − vζζ +2222!!√√√ 221+(vξζ − vηζ ) + vζζ + vξ + vη −vζ +vξ − vη + 2vζ =222= vξξ − vηη + vζζ +Ответ:уравнение имеет гиперболический тип,vξξ − vηη + vζζ +c Д.С.

Ткаченко31vξ + vη = 0,22-7-где13vξ + vη .22УМФ – семинар – К 5 – 2√ξ = x + y;η = x − y;ζ=2(−x + 2y + z) .2Замечание 2.1. Поскольку преобразование, приводящее квадратичную форму к нормальномувиду, определено неоднозначно, то и замена переменных, приводящая уравнение к каноническому виду, также определено неоднозначно, поэтому правильных ответов много. Но в любомслучае разница между количеством «плюсов» и «минусов» при вторых проихводных не зависит от способа решения.Замечание 2.2.

Старшие коэффициенты уравнения в канонической форме совпадают с коэффициентами нормального вида квадратичной формы. Поэтому, строго говоря, можно былобы не вычислять и не подставлять uxy , uxz , uyz в исходное уравнение, а подставить туда лишьмладшие производные ux , uy . Однако проделанная полностью подстановка помогает находитьошибки, допущенные на предыдущих шагах.3. № 74Привести к каноническому виду уравнение:uxx + 2uxy + 5uyy − 32u = 0.Шаг 1. Характеристическая квадратичная форма данного уравнения имеет видQ(λ1 , λ2 ) = λ21 + 2λ1 λ2 + 5λ22 .Приведём её к каноническому виду:Q(λ1 , λ2 ) = λ21 + 2λ1 λ2 + 5λ22 = (λ1 + λ2 )2 + (2λ2 )2 = µ21 + µ22 , где λ1µ1 = λ 1 + λ 2 ;µ11 1.то есть=λ2µ2 = 2λ2µ20 2| {z }AШаг 2.