Семинар 14 для К-5. Многомерное преобразование Фурье для задач УМФ (Семинары)

УМФ – семинар – К 5 – 141. Многомерное преобразование Фурье для задач УМФ.Пусть x = (x1 , x2 , . . . , xn ) – элемент n-мерного евклидова пространства Rn , а функцияf (x) = f (x1 , x2 , . . . , xn ) определена на Rn и для неё сходится интеграл +∞ +∞Z ZZ f (x)dx ≡ . . . < +∞.f(x,x,...,x)dxdx...dx12n12n n R−∞−∞Тогда для функции f (x) существует преобразование Фурье:Z1de−i(ξ, x) f (x)dx,F (ξ) = f (x) = √ n2πn(1.1)Rгде (ξ, x) = ξ1 x1 + ξ2 x2 + . . .

+ ξn xn – скалярное произведение векторов ξ и x.При этом функцию f (x) можно восстановить по её образу Фурье по следующей формуле:Z1f (x) = F (ξ) = √ nei(ξ, x) F (ξ)dξ.(1.2)2πndR1.1. Двумерное преобразование Фурье для задач УМФ.Для важного частного случая двумерного пространства с координатами x и y формулы (1.1)– (1.2) переписываются в виде:Z1\e−i(ξx+ηy) f (x, y)dxdy,(1.3)F (ξ, η) = f (x, y) =2πR2d1f (x, y) = F (ξ, η) =2πZei(ξx+ηy) F (ξ, η)dξdη.(1.4)R2Важными вариантами этих формул являются косинус–преобразование по y:1Fc (ξ, η) =πZ+∞ Z+∞e−i(ξx) cos(ηy)f (x, y)dxdy,(1.5)−∞ 01f (x, y) =πZ+∞ Z+∞ei(ξx) cos(ηy)Fc (ξ, η)dξdη(1.6)−∞ 0и синус–преобразование по y:1Fs (ξ, η) =πZ+∞ Z+∞e−i(ξx) sin(ηy)f (x, y)dxdy,(1.7)−∞ 01f (x, y) =πZ+∞ Z+∞ei(ξx) sin(ηy)Fs (ξ, η)dξdη.−∞ 0Очевидно, что если f (x, y) – чётная по y, тоF (ξ, η) = Fc (ξ, η),1f (x, y) =πZ+∞ Z+∞ei(ξx) cos(ηy)Fc (ξ, η)dξdη−∞ 0c Д.С.

Ткаченко-1-(1.8)УМФ – семинар – К 5 – 14а если нечётная по y, тоZ+∞ Z+∞ei(ξx) sin(ηy)Fs (ξ, η)dξdηif (x, y) = −πF (ξ, η) = −iFs (ξ, η),−∞ 0Кроме этих общих формул нам потребуются также важные формулы:Утверждение 1.1.Усл.U (ξ, η; t) – образ Фурье функции u(x, y; t) при ИПФ (1.3), cos-ИПФ (1.5),sin-ИПФ (1.7).Утв.Верны формулы:√Z+∞π − 4pq22−p2 u2ecos(qu)du =e2p(1.9)0Z+∞ Z+∞e−i(ξx+ηy) uxx (x, y; t) + uyy (x, y; t) dydx = − ξ 2 + η 2 U (ξ, η; t)1π(1.10)−∞ −∞1πZ+∞ Z+∞−∞ 01πZ+∞e−i(ξx) u(x, 0; t) dx − η 2 U (ξ, η; t)ηe−i(ξx) sin(ηy)uyy (x, y; t)dydx =π(1.11)−∞Z+∞ Z+∞1e−i(ξx) cos(ηy)uyy (x, y; t)dydx = −π−∞ 0Z+∞e−i(ξx) uy (x, 0; t) dx − η 2 U (ξ, η; t).(1.12)−∞+∞RДоказательство.

Докажем формулу (1.9). Пусть I(p, q) =2 u2e−pcos(qu)du – искомый0интеграл. Рассмотрим∂I=−∂q∂I:∂q"Z+∞222 2ue−p u sin(qu)du = по частям: ue−p u =2 2∂e−p u1·−2p2∂u#=01=−−2p2u=∞ −p2 u2· esin(qu)−qu=0{z}|Z+∞2 u2e−pqcos(qu)du ≡ − 2p2 I.0=0Таким образом, для I, как функции переменной q, получаем однородное линейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами (уравнение Эйлера):∂Iq+I = 0.∂q2p2Его общее решение имеет вид:−Ioo (p, q) = c(p)eq24p2.Чтобы найти "константу" c(p), положим в этом равенстве q = 0 и возьмём интеграл I(p, 0):Z+∞hi 1 Z+∞ 2−p2 u2c(p) = I(p, 0) =e· 1 · du = t = pu =e−t dt.p0c Д.С. Ткаченко0-2-УМФ – семинар – К 5 – 14√Последний интеграл – интеграл Эйлера – Пуассона, и он равен√πc(p) =2pи окончательно получаем:√π − 4pq22.eI(p, q) =2pЧтобы доказать (1.10), докажем формулу1ππ,2откудаZ+∞ Z+∞e−i(ξx+ηy) uyy (x, y; t)dydx = −η 2 U (ξ, η; t).−∞ −∞1πZ+∞ Z+∞hie−i(ξx+ηy) uyy (x, y; t)dydx = по частям по y =−∞ −∞1=πy=∞Z+∞ Z+∞ Z+∞−i(ξx+ηy)−i(ξx) −iηydx − iηeuy (x, y; t)dydx =euy (x, y; t) ey=−∞−∞ −∞−∞{z}|=0Z+∞ Z+∞hi−iηe−i(ξx+ηy) uy (x, y; t)dydx = ещё раз по частям по y ==π−∞ −∞y=∞Z+∞Z+∞ Z+∞−iη −i(ξx) −iηy−i(ξx+ηy)eu(x, y; t)dx − iηeu(x, y; t)dydx == eπ y=−∞−∞−∞ −∞|{z}=0= (iη)2 U (ξ, η; t) = −η 2 U (ξ, η; t).Формула1πZ+∞ Z+∞e−i(ξx+ηy) uxx (x, y; t)dydx = −ξ 2 U (ξ, η; t).−∞ −∞доказывается совершенно аналогично.

(Заметим, кстати, что аналог последней формулы будети для cos-ИПФ и sin-ИПФ, поскольку всюду в них под интегралом оказываются одинаковыевыражения, зависящие от x и не зависящие от y.)Докажем формулу (1.11).1πZ+∞ Z+∞hi−i(ξx)esin(ηy)uyy (x, y; t)dydx = по частям по y =−∞ 01=πy=∞Z+∞ Z+∞ Z+∞−i(ξx)−i(ξx)esin(ηy)u(x,y;t)dx−ηecos(ηy)u(x,y;t)dydx=yyy=0−∞−∞ 0|{z}=−ηπ=0+∞+∞Z Zhie−i(ξx) cos(ηy)uy (x, y; t)dydx = ещё раз по частям по y =−∞ 0c Д.С. Ткаченко-3-УМФ – семинар – К 5 – 14−η=πy=∞ Z+∞Z+∞ Z+∞−i(ξx)−i(ξx) ecos(ηy)u(x, y; t)dx + ηesin(ηy)u(x, y; t)dydx=−∞y=0−∞ 0|{z}=−u(x, 0; t)Z+∞e−i(ξx) u(x, 0; t) dx − η 2 U (ξ, η; t).η=π−∞Докажем формулу (1.12).1πZ+∞ Z+∞hie−i(ξx) cos(ηy)uyy (x, y; t)dydx = по частям по y =−∞ 01=πy=∞ Z+∞Z+∞ Z+∞−i(ξx)−i(ξx) e=cos(ηy)u(x,y;t)esin(ηy)u(x,y;t)dydxdx+ηyy−∞y=0−∞ 0|{z}=−uy (x, 0; t)1=−πZ+∞ηe−i(ξx) uy (x, 0; t)dx +π−∞Z+∞ Z+∞e−i(ξx) sin(ηy)uy (x, y; t)dydx =−∞ 0Z+∞hi1= ещё раз по частям по y = −e−i(ξx) uy (x, 0; t)dx+π−∞η+πy=∞Z+∞ Z+∞ Z+∞−i(ξx)−i(ξx)sin(ηy)u(x, y; t)dx − ηecos(ηy)u(x, y; t)dydx = ey=0−∞−∞ 0|{z}=01=−πZ+∞e−i(ξx) uy (x, 0; t) dx − η 2 U (ξ, η; t).−∞Прежде чем перейти к рассмотрению примеров, сформулируем ПРАВИЛО:Если задача рассматривается при• x, y ∈ (−∞, +∞),то надо использовать ИПФ по формулам (1.3)-(1.4);• x ∈ R, y ∈ (0, +∞) с краевым условием I-го рода,формулам (1.7)-(1.8);то надо использовать sin-ИПФ по• x ∈ R, y ∈ (0, +∞) с краевым условием II-го рода,формулам (1.5)-(1.6).то надо использовать cos-ИПФ поc Д.С.

Ткаченко-4-УМФ – семинар – К 5 – 142. № 822.Пользуясь интегральным преобразованием Фурье решить задачу:ut − a2 (uxx + uyy ) = 0,u(x, y, 0) = ϕ(x, y),x, y ∈ (−∞, +∞), t > 0,x, y ∈ (−∞, +∞).(2.1)(2.2)Шаг 1. Применение ИПФ.Поскольку задача рассматривается на полной плоскости x, y ∈ (−∞, +∞), в соответствии с правилом, применяем полное ИПФ (1.3) по пространственным переменным (x, y) кравенствам (2.1) – (2.2).ПустьZ1\U (ξ, η; t) = u(x,y; t) =e−i(ξx+ηy) u(x, y; t)dxdy,2π2ZR1\Φ(ξ, η) = ϕ(x,y) =e−i(ξx+ηy) ϕ(x, y)dxdy.2πR2Тогда результатом действия ИПФ на (2.1) – (2.2) будет задача:ξ, η ∈ (−∞, +∞), t > 0,Ut (ξ, η; t) + a2 ξ 2 + η 2 U (ξ, η; t) = 0,U (ξ, η; 0) = Φ(ξ, η),ξ, η ∈ (−∞, +∞).(2.3)(2.4)Шаг 2. Решение задачи Коши (2.3) – (2.4) для ОДУ.Общее решение однородного линейного уравнения (2.3) имеет вид:222Uoo (ξ, η; t) = c(ξ, η) e−a (ξ +η ) t ,ξ, η ∈ (−∞, +∞).а из начального условия (2.4) получаем, что "константа" c(ξ, η) равна Φ(ξ, η), откуда222U (ξ, η; t) = Φ(ξ, η) e−a (ξ +η ) t .(2.5)Шаг 3.

Обратное преобразование Фурье.Применим к (2.5) обратное преобразование Фурье (1.4). ПолучимZZ11222i(ξx+ηy)eU (ξ, η; t)dξdη =ei(ξx+ηy) Φ(ξ, η) e−a (ξ +η ) t dξdη =u(x, y; t) =2π2πR2R2ZZ11222ei(ξx+ηy) e−i(ξz+ηs) ϕ(z, s)dzds e−a (ξ +η ) t dξdη ==2π2πR2R2ZZ12 22 2= 2 ϕ(z, s)dzds ei(x−z)ξ e−a ξ t · ei(y−s)η e−a η t dξdη =4πR21= 24πZϕ(z, s)dzdsR2hR2+∞Z−a2 ξ 2ei(x−z)ξ eZ+∞2 2tdξ ·ei(y−s)η e−a η t dη =−∞−∞2 ξ2= в силу чётности функций e−at2 η2и e−atiпо переменным ξ и η =ZZ+∞ Z+∞ 22 2 21−a ξ t= 2 ϕ(z, s)dzdscos (x − z)ξ edξ ·cos (y − s)η e−a η t dη =π200hRi√= по формуле (1.9) с p = a t и q = x − z либо q = y − s =ZZ2(y−s)2(x−z)2 +(y−s)21π − (x−z)1−−224a2 t= 2 ϕ(z, s) 2 e 4a t e 4a t dzds =ϕ(z,s)edzds.π4a t4πa2 tR2c Д.С.

ТкаченкоR2-5-УМФ – семинар – К 5 – 14Ответ:u(x, t) =14πa2 tRϕ(z, s)e−(x−z)2 +(y−s)24a2 tdzds.R23. № 823.Пользуясь интегральным преобразованием Фурье решить задачу:ut − a2 (uxx + uyy ) = f (x, y; t),u(x, y, 0) = 0,x, y ∈ (−∞, +∞), t > 0,x, y ∈ (−∞, +∞).(3.1)(3.2)Шаг 1. Применение ИПФ.Поскольку задача рассматривается на полной плоскости x, y ∈ (−∞, +∞), в соответствии с правилом, применяем полное ИПФ (1.3) по пространственным переменным (x, y) кравенствам (3.1) – (3.2).ПустьZ1\e−i(ξx+ηy) u(x, y; t)dxdy,U (ξ, η; t) = u(x, y; t) =2πR2Z1\F (ξ, η; t) = f (x,y; t) =e−i(ξx+ηy) f (x, y; t)dxdy.2πR2Тогда результатом действия ИПФ на (3.1) – (3.2) будет задача:Ut (ξ, η; t) + a2 ξ 2 + η 2 U (ξ, η; t) = F (ξ, η; t),ξ, η ∈ (−∞, +∞), t > 0,U (ξ, η; 0) = 0,ξ, η ∈ (−∞, +∞).(3.3)(3.4)Шаг 2.

Решение задачи Коши (3.3) – (3.4) для ОДУ.Общее решение однородного линейного уравнения (3.3) имеет вид:222Uoo (ξ, η; t) = c(ξ, η) e−a (ξ +η ) t ,ξ, η ∈ (−∞, +∞).поэтому МЕТОДОМ ВАРИАЦИИ "ПОСТОЯННОЙ" c(ξ, η) получаем:222UoHo (ξ, η; t) = c(ξ, η; t) e−a (ξ +η ) t ,ξ, η ∈ (−∞, +∞).откуда для c(ξ, η; t), подставив искомый вид решения (3) в уравнение (3.3), получаем условие:222ct (ξ, η; t) = F (ξ, η; t) ea (ξ +η ) t .Зная производную ct , найдём c:Ztc(ξ, η; t) =222F (ξ, η; τ ) ea (ξ +η ) τ dτ + c1 (ξ, η).0Таким образом, общее решение неоднородного уравнения (3.3) имеет вид:ZtUoHo (ξ, η; t) =222222F (ξ, η; τ ) e−a (ξ +η ) (t−τ ) dτ + c1 (ξ, η) e−a (ξ +η ) t .(3.5)0Используя начальное условие (3.4), находим c1 (ξ, η) ≡ 0, откуда, наконец получаем решениезадачи Коши (3.3) – (3.4):ZtU (ξ, η; t) =222F (ξ, η; τ ) e−a (ξ +η ) (t−τ ) dτ.0c Д.С.

Ткаченко-6-(3.6)УМФ – семинар – К 5 – 14Шаг 3. Обратное преобразование Фурье.Применим к (3.6) обратное преобразование Фурье (1.4). Получимu(x, y; t) =Z12π1=2πZei(ξx+ηy)dτ1= 24πR2ZtR2Zdτ0Zt1222ei(ξx+ηy)  F (ξ, η; τ ) e−a (ξ +η ) (t−τ ) dτ  dξdη =2π20RZ1222e−a (ξ +η ) (t−τ ) e−i(ξz+ηs) f (z, s, τ )dzds dξdη =2πei(ξx+ηy) U (ξ, η; t)dξdη =R2tZ0ZZf (z, s, τ )dzdsR22 ξ2ei(x−z)ξ e−a(t−τ )2 η2· ei(y−s)η e−a(t−τ )dξdη =R2Z+∞ZtZZ+∞12 2i(x−z)ξ −a2 ξ 2 (t−τ )= 2 dτ f (z, s, τ )dzdseedξ ·ei(y−s)η e−a η (t−τ ) dη =4π0−∞−∞R2hi−a2 ξ 2 t−a2 η 2 t= в силу чётности функций eиeпо переменным ξ и η =1= 2πZtZdτ0Z+∞ Z+∞ 22 2 2cos (x − z)ξ e−a ξ (t−τ ) dξ ·cos (y − s)η e−a η (t−τ ) dη =f (z, s, τ )dzds02hR= по формуле (1.9) сp=a t−τ1= 2πZtZt1t−τ0Ответ:u(x, t) =14πa2Rt01t−τq =x−zиZdτ01=4πa20√f (z, s, τ )либоiq =y−s =(x−z)2(y−s)2π− 2− 24a (t−τ ) e4a (t−τ ) dzds =e4a2 (t − τ )R2Zf (z, s, τ )e−(x−z)2 +(y−s)24a2 (t−τ )dzds dτ.R2R−f (z, s, τ )e(x−z)2 +(y−s)24a2 (t−τ )dzds dτ .R24.

№ 824.Пользуясь интегральным преобразованием Фурье решить задачу:ut − a2 (uxx + uyy ) = 0,u(x, 0; t) = 0,u(x, y; 0) = ϕ(x, y),x ∈ (−∞, +∞), y ∈ (0, +∞), t > 0,x ∈ (−∞, +∞), y ∈ (0, +∞).x ∈ (−∞, +∞), y ∈ (0, +∞).(4.1)(4.2)(4.3)Шаг 1. Применение sin-ИПФ.Поскольку задача рассматривается на полуплоскости x ∈ R, y > 0, а краевое условиепервого рода, в соответствии с правилом, применяем sin-ИПФ (1.7) – по пространственнымпеременным (x, y) к равенствам (4.1) – (4.3).ПустьZ+∞ Z+∞1U (ξ, η; t) =e−i(ξx) sin(ηy)u(x, y; t)dydx,π−∞ 0c Д.С. Ткаченко-7-УМФ – семинар – К 5 – 141Φ(ξ, η) =πZ+∞ Z+∞e−i(ξx) sin(ηy)ϕ(x, y)dydx.−∞ 0При действии sin-ИПФ на ut получим, очевидно, Ut , а при действии на uxx , как при обычном ИПФ, получим −ξ 2 U . Чтобы выяснить, в какое равенство перейдёт уравнение (4.1), осталось применить формулу (1.11) (стр.

2) – результат действия sin-ИПФ на uyy , и учесть, что вданном примере u(x, 0; t) = 0. Окончательно получаем:1πZ+∞ Z+∞e−i(ξx) sin(ηy)uyy (x, y; t)dydx = −η 2 U (ξ, η; t)−∞ 0Итак, результатом действия sin-ИПФ на (4.1) – (4.3) будет задача:ξ ∈ R, η > 0, t > 0,Ut (ξ, η; t) + a2 ξ 2 + η 2 U (ξ, η; t) = 0,U (ξ, η; 0) = Φ(ξ, η),ξ ∈ R, η > 0.(4.4)(4.5)Шаг 2. Решение задачи Коши (4.4) – (4.5) для ОДУ.Общее решение однородного линейного уравнения (4.4) имеет вид:222Uoo (ξ, η; t) = c(ξ, η) e−a (ξ +η ) t ,ξ, η ∈ (−∞, +∞).а из начального условия (4.5) получаем, что "константа" c(ξ, η) равна Φ(ξ, η), откуда222U (ξ, η; t) = Φ(ξ, η) e−a (ξ +η ) t .(4.6)Шаг 3.

Обратное преобразование Фурье.Применим к (4.6) обратное sin-преобразование Фурье (1.8). ПолучимZ+∞ Z+∞Z+∞ Z+∞1222ei(ξx) sin(ηy)U (ξ, η; t)dξdη =ei(ξx) sin(ηy)Φ(ξ, η) e−a (ξ +η ) t dξdη =π−∞ 0−∞ 0 +∞ +∞+∞+∞Z ZZ Z11222=ei(ξx) sin(ηy) e−i(ξz) sin(ηs)ϕ(z, s)dsdz  e−a (ξ +η ) t dξdη =ππ1u(x, y; t) =π−∞ 01= 2π−∞ 0Z+∞ Z+∞Z+∞ Z+∞2 22 2ϕ(z, s)dzdsei(x−z)ξ e−a ξ t · sin(ηy) sin(ηs)e−a η t dξdη =−∞ 0−∞ 01= в силу sin α sin β =cos(α − β) − cos(α + β) =2Z+∞ Z+∞Z+∞Z+∞ 2 2122= 2ϕ(z, s)dsdzei(x−z)ξ e−a ξ t dξ ·cos (y − s)η − cos (y + s)η e−a η t dη =2π−∞ 0−∞−∞h2 2= в силу чётности функций cos (y ± s)η и e−a η t по переменной η,i−a2 ξ 2 tа также чётности функций eпо переменной ξ =c Д.С.