Семинар 11 для Ф-5. Метод Фурье для неоднородного уравнения теплопроводности в прямоугольнике (Семинары)

УМФ – семинар – Ф 5 – 11Задачи для уравнения колебаний мембраны.1. № 684 а).Пренебрегая реакцией окружающей среды, определить поперечные колебанияоднородной прямоугольной мембраны, 0 6 x 6 s, 0 6 y 6 p с жёстко закреплённымдля случая, когда начальное отклонение мембраны равно краемπyπxsin s sin p , а начальная скорость равна нулю.Записав эти условия математически, получим задачу:Найти функцию u(x, y; t) из условийutt = a2 (uxx + uyy ) ,(x, y) ∈ Π, t > 0; πysin p ,(x, y) ∈ Π; u(x, y; 0) = ϕ(x, y) ≡ sin πxs(1.1)ut (x, y; 0) = ψ(x, y) ≡ 0,(x, y) ∈ Π;u(0, y; t) = u(s, y; t) = 00 < y < p, 0 < t < T,u(x, 0; t) = u(x, p; t) = 00 < x < s, 0 < t < T,где через Π обозначен прямоугольникΠ = {(x, y) :0 6 x 6 s,0 6 y 6 p} .Шаг 1.

Предварительные рассуждения.Если искать решение задачи (1.1) в виде двойного рядаu(x, y; t) =∞∞ XXXk (x)Yn (y)Tkn (t),(1.2)k=1 n=1то, подставив этот ряд в уравнение utt = a2 (uxx + uyy ), получим, что оно заведомо выполняется, если равны члены рядов в левой и правой частях с одинаковыми номерами:Xk (x)Yn (y)T00kn (t) = a2 · (X00k (x)Yn (y) + Xk (x)Yn00 (y)) Tkn (t).Поделив это равенство на a2 · Xk (x)Yn (y)Tkn (t), получим:T00kn (t)X00k (x) Yn00 (y)=+.a2 Tkn (t)Xk (x) Yn (y)(1.3)Так как слева стоит функция, зависящая только от t, а справа – от (x, y), то это возможнотолько если и левая, и правая части этого равенства равны константе.

Итак, ∃ λkn такая, чтоX00k (x) Yn00 (y)+= λkn .Xk (x) Yn (y)T00kn (t) + a2 λkn Tkn (t) = 0,Но сумма функций, одна из которых зависит только от x, а вторая – только от y, может бытьконстантой только в случае, если обе эти функции – константы. Тогда ∃ µk и νn такие, чтоX00k (x) + µk Xk (x) = 0,Yn00 (y) + νn Yn (x) = 0,µk + νn = λkn .(1.4)Таким образом, естественно начать решение задачи (1.1) с решения двух задач ШтурмаЛиувилля – для Xk (x) и для Yn (y).Шаг 2. Решение двух задач Штурма-ЛиувилляКраевые условия дают для функций Xk (x) и Yn (y) выполнение равенств:X(0) = X(s) = 0,c Д.С.

ТкаченкоY(0) = Y(p) = 0.-1-(1.5)УМФ – семинар – Ф 5 – 11Таким образом, функции Xk (x) и Yn (x) есть решения задачи Штурма-Лиувилля 00 00Xk (x) + µk Xk (x) = 0,Yn (y) + νn Yn (y) = 0,Xk (0) = Xk (s) = 0,Yn (0) = Yn (p) = 0,(1.6)Эти задачи мы уже решали много раз. Выпишем результат:существует бесконечное множество нетривиальных решений 2πkxπk, Xk (x) = sin, k∈Nµk =ssпервой задачи (1.6) и бесконечное множество нетривиальных решенийνn =πnp2,Yn (y) = sinπnypn ∈ N.,второй задачи (1.6).В силу соотношения µk + νn = λkn , для функций Tkn имеем уравнение:T00kn (t)2+ a λkn Tkn (t) = 0,t > 0,λknπ 2 k 2 π 2 n2= 2 + 2 .spИспользуем начльные условия.Разложим функции ϕ(x, y) и ψ(x, y) в ряд по собственным функциям задач Штурма-Лиувилля:ϕ(x, y) =ψ(x, y) =∞∞ XXk=1 n=1∞ X∞XXk (x)Yn (y)ϕkn ,(1.7)Xk (x)Yn (y)ψkn .(1.8)k=1 n=1В данном случае коэффициенты разложения ϕkn и ψkn найти гораздо проще, чем обычно,поскольку ψ ≡ 0, а функция ϕ(x, y) имеет в точности вид ОДНОГО из слагаемых соответствующего ряда.

А именно: πx πyϕ(x, y) ≡ X1 (x)Y1 (y) = sinsin.(1.9)spПоэтомуϕkn =1,0,k = 1, n = 1;в остальных случаях;ψkn = 0 при всех k и n.(1.10)А поскольку начальное условие u(x, y; 0) = ϕ(x, y) будет заведомо выполнено, если Tkn (0) =ϕkn , а второе начальное условие ut (x, y; 0) = ψ(x, y) ≡ 0, – если T0kn (0) = ψkn = 0, то дляфункций Tkn (t) имеем задачу Коши: 00 Tkn (t) + a2 λkn Tkn (t) = 0,π 2 k 2 π 2 n2Tkn (0) = ϕkn ;λkn = 2 + 2(1.11) 0spTkn (0) = 0,Шаг 3. Решаем задачу (1.11).c Д.С.

Ткаченко-2-УМФ – семинар – Ф 5 – 11Общее решение этого линейного однородного уравнения второго порядка, с учётом, что a2 λkn >0, имеет вид:ppTkn (t) = c1 sin( λkn at) + c2 cos( λkn at)где c1 , c2 – произвольные постоянные.Подставив Tkn во второе начальное условие T0kn (0) = 0, получим, что c1 = 0, откудаpTkn (t) = c2 cos( λkn at).Из первого начального условия Tkn (0) = ϕkn сразу получаем, что c2 = ϕkn и, наконец, получаем, что решение задачи Коши (1.11) задаётся формулой:pTkn (t) = ϕkn cos( λkn at),t > 0.(1.12)С учётом, что ϕkn = 0 всегда, за исключением случая k = n = 1, а ϕ11 = 1, из (1.13) получаем√cos( λ11 at),k = 1, n = 1;Tkn (t) =(1.13)0,в остальных случаях.Поэтому после подстановки найденных Tkn (t) в искомый вид решенияu(x, y; t) =∞∞ XXXk (x)Yn (y)Tkn (t),k=1 n=1получим, что от ряда останется только одно слагаемое:u(x, y; t) = X1 (x)Y1 (y)T11 (t).Ответ:u(x, y; t) = sinгде λ11 =π2s2+π2p2 πx ssinπyppcos( λ11 at),.2.

№ 684 в).Пренебрегая реакцией окружающей среды, определить поперечные колебанияоднородной прямоугольной мембраны, 0 6 x 6 s, 0 6 y 6 p с жёстко закреплённым краем для случая, когда колебаниянепрерывно распределённой вызваны2πy−tпо мембране силой с плотностью x sin p · e .Записав эти условия математически, получим задачу:Найти функцию u(x, y; t) из условий 2πyx2u=a(u+u)+sin· e−t ,(x, y) ∈ Π, t > 0;xxyyρp tt u(x, y; 0) = ϕ(x, y) ≡ 0,(x, y) ∈ Π;(2.1)u(x,y;0)=ψ(x,y)≡0,(x, y) ∈ Π;tu(0, y; t) = u(s, y; t) = 00 < y < p, 0 < t < T,u(x, 0; t) = u(x, p; t) = 00 < x < s, 0 < t < T,где ρ – поверхностная плотность массы мембраны, а через Π обозначен прямоугольникΠ = {(x, y) :c Д.С.

Ткаченко0 6 x 6 s,-3-0 6 y 6 p} .УМФ – семинар – Ф 5 – 11Шаг 1. Предварительные рассуждения.Если искать решение задачи (2.1) в виде двойного рядаu(x, y; t) =∞ X∞XXk (x)Yn (y)Tkn (t),(2.2)Xk (x)Yn (y)fkn (t),(2.3)k=1 n=1то, подставив этот ряд и рядf (x, y; t) =∞ X∞Xk=1 n=1в уравнение utt = a2 (uxx + uyy ) + f , получим, что оно заведомо выполняется, если равнычлены рядов в левой и правой частях с одинаковыми номерами:Xk (x)Yn (y)T00kn (t) = a2 · (X00k (x)Yn (y) + Xk (x)Yn00 (y)) Tkn (t) + Xk (x)Yn (y)fkn (t).Поделив это равенство на a2 · Xk (x)Yn (y)Tkn (t), получим:X00k (x) Yn00 (y)fkn (t)T00kn (t)=++ 22a Tkn (t)Xk (x) Yn (y) a Tkn (t)илиT00kn (t) − fkn (t)X00k (x) Yn00 (y)=+.a2 Tkn (t)Xk (x) Yn (y)(2.4)Так как слева стоит функция, зависящая только от t, а справа – от (x, y), то это возможнотолько если и левая, и правая части этого равенства равны константе. Итак, ∃ λkn такая, чтоT00kn (t) + a2 λkn Tkn (t) = fkn (t),X00k (x) Yn00 (y)+= λkn .Xk (x) Yn (y)Но сумма функций, одна из которых зависит только от x, а вторая – только от y, может бытьконстантой только в случае, если обе эти функции – константы.

Тогда ∃ µk и νn такие, чтоX00k (x) + µk Xk (x) = 0,Yn00 (y) + νn Yn (x) = 0,µk + νn = λkn .(2.5)Таким образом, естественно начать решение задачи (2.1) с решения двух задач ШтурмаЛиувилля – для Xk (x) и для Yn (y).Шаг 2. Решение двух задач Штурма-ЛиувилляКраевые условия дают для функций Xk (x) и Yn (y) выполнение равенств:X(0) = X(s) = 0,Y(0) = Y(p) = 0.Таким образом, функции Xk (x) и Yn (x) есть решения задачи Штурма-Лиувилля 00 00Xk (x) + µk Xk (x) = 0,Yn (y) + νn Yn (y) = 0,Xk (0) = Xk (s) = 0,Yn (0) = Yn (p) = 0,Эти задачи мы уже решали много раз. Выпишем результат:существует бесконечное множество нетривиальных решений 2πkπkxµk =, Xk (x) = sin, k∈Nssпервой задачи (2.7) и бесконечное множество нетривиальных решений 2πnπnyνn =, Yn (y) = sin,n ∈ N.ppc Д.С.

Ткаченко-4-(2.6)(2.7)УМФ – семинар – Ф 5 – 11второй задачи (2.7).В силу соотношения µk + νn = λkn , для функций Tkn имеем уравнение:T00kn (t) + a2 λkn Tkn (t) = fkn (t),t > 0,λkn =π 2 k 2 π 2 n2+ 2 .s2pИспользуем начльные условия.Разложим функции f (x, y; t), ϕ(x, y) и ψ(x, y) в ряд по собственным функциям задач ШтурмаЛиувилля:f (x, y; t) =∞ X∞XXk (x)Yn (y)fkn ,(2.8)k=1 n=1ϕ(x, y) =ψ(x, y) =∞ X∞Xk=1 n=1∞ X∞XXk (x)Yn (y)ϕkn ,(2.9)Xk (x)Yn (y)ψkn .(2.10)k=1 n=1В данном случае коэффициенты разложения ϕkn и ψkn найти гораздо проще, чем обычно,поскольку ϕ = ψ ≡ 0, а ряд для f (x, y; t) получается не двойной, а одинарный. А именно:∞πkxY2 (y) · e−t Xαk sin·,f (x, y; t) ≡ρsk=1(2.11)где2αk =sZsx sinπkxs0 x=s Zs 2s(−1)k+1πkx2 s πkx=+cosdx = ·−xcosdxdx.s kπ sskπx=0{z}|0=0Поэтому(fkn (t) =2s(−1)k+1πkρ· e−t ,0,n = 2;n 6= 2;ϕkn = 0,ψkn = 0 при всех k и n.(2.12)А поскольку начальное условие u(x, y; 0) = ϕ(x, y) будет заведомо выполнено, еслиTkn (0) = ϕkn = 0, а второе начальное условие ut (x, y; 0) = ψ(x, y) ≡ 0, – еслиT0kn (0) = ψkn = 0, то для функций Tkn (t) имеем задачу Коши: 00 Tkn (t) + a2 λkn Tkn (t) = fkn (t),π 2 k 2 π 2 n2Tkn (0) = 0;(2.13)λkn = 2 + 2 0spTkn (0) = 0,Шаг 3.

Решаем задачу (2.13).Можно решить эту задачу Коши методом вариации постоянной, как в № 713. Но в данномслучае правая часть уравнения есть ce−t , и частное решение неоднородного уравнения легкоугадывается:fkn (t)Tчно =.1 + a2 λknc Д.С. Ткаченко-5-УМФ – семинар – Ф 5 – 11Поэтому общее решение неоднородного уравненияT00kn (t) + a2 λkn Tkn (t) = fkn (t)имеет видTkn (t) = Tчно + Tоо =ppfkn (t)+csin(λat)+ccos(λkn at).1kn21 + a2 λkn(2.14)fkn (0), а подставив вПодставив в (6.14) условие Коши Tkn (0) = 0, получим, что c2 = − 1+a2λknполученноеppfkn (t)fkn (0)Tkn (t) =+csin(λat)−cos(λkn at)1kn1 + a2 λkn1 + a2 λknf 0 (0)во второе условие Коши T0kn (0) = 0, получим, что c1 = − (1+a2 λknkn )a√λkn , и, наконец,1Tkn (t) =1 + a2 λkn0ppfkn(0)fkn (t) − √sin( λkn at) − fkn (0) cos( λkn at) .a λkn(2.15)Теперь осталось выписать в явном виде все Tkn (t) во всех случаях, использовав вид fkn (t) и2 22 2λkn = πs2k + πpn2 .Tkn (t) =1+a2 π 21k2+ 42s2p·· e−t +2s(−1)k+1·πkρr4k2sin+ats2p2r4k2a2+ 2s− cosqk2s2+4p2at  ,k ∈ N, n = 2;(2.16)pk ∈ N, n 6= 2.0,Поэтому после подстановки найденных Tkn (t) в искомый вид решенияu(x, y; t) =∞∞ XXXk (x)Yn (y)Tkn (t),k=1 n=1получим, что от двойного ряда останется только одинарный:u(x, y; t) = Y2 (y)∞XXk (x)Tk2 (t).k=1Ответ:2su(x, y; t) =· sinπρ2πypX∞k=1sinπkxs1 + a2 π 2· e−t +sin1qaгде ρ – поверхностная плотность массы мембраны.c Д.С.

Ткаченко-6-k2s2+k2s2qk2s24p2(−1)k+1·ks!at2k4− cos+ 2 at  ,2sp·+4p2+4p2УМФ – семинар – Ф 5 – 113. № 685 а).В однородной прямоугольной мембране 0 6 x 6 s, 0 6 y 6 p часть границыx = s, 0 < y < p и y = p, 0 < x < s свободна, а остальная часть закрепленажёстко. Пренебрегая реакцией окружающей среды, найти поперечные колебания мембраны, вызванные начальным отклонением Axy.Записав эти условия математически, получим задачу:Найти функцию u(x, y; t) из условий2(x, y) ∈ Π, t > 0; ut = a (uxx + uyy ) ,(x, y) ∈ Π; u(x, y; 0) = ϕ(x, y) ≡ Axy,ut (x, y; 0) = ψ(x, y) ≡ 0,(x, y) ∈ Π;(3.1)u(0,y;t)=u(s,y;t)=00<y<s,0<t<T,xu(x, 0; t) = uy (x, p; t) = 00 < x < p, 0 < t < T,где через Π обозначен прямоугольникΠ = {(x, y) :0 6 x 6 s,0 6 y 6 p} .Шаг 1.