Семинар 1. Основные уравнения и постановка задач математической физики (Семинары)

УМФ – семинар – К 5 – 11. Основные уравнения математической физикиВ математической физике возникают самые разнообразные дифференциальные уравнения,описывающие различные физические процессы. Целью нашего курса является изучение трёхосновных уравнений:уравнения колебаний, уравнения теплопроводности и уравнения, которое мы пока будем называть стационарным уравнением.Всюду ниже предполагаются выполненными условия:c(x) > c0 = const > 0,ρ(x) > ρ0 = const > 0,k(x) > k0 = const > 0.(1.1)1.1. Уравнение колебанийОпр.

1.1. Уравнением колебаний (волновым уравнением) называется уравнение вида:ρ(x)∂2u− div (k(x)grad u) + q(x, t)u = F (x, t),∂t2x = (x1 , . . . , xn ),(1.2)в котором ρ, p, q, F – заданные функции, а u(x, t) – искомая функция и для функций ρ(x)и k(x) выполнены условия (1.1).В случае, когда пространство x одномерно, уравнение принимает вид:∂∂2u∂uρ(x) 2 −k(x)+ q(x, t)u = F (x, t),x = (x1 , . . . , xn ),(1.3)∂t∂x∂xЕсли F (x, t) ≡ 0, то уравнение (1.2) называется однородным, в противном случае – неоднородным.Выражение div (k(x)grad u) в n-мерном пространстве переменных x понимается следующимобразом:nX∂∂udiv (k(x)grad u) =k(x).∂x∂xmmm=1В частном случае, когда k = k0 = const и её можно вынести за знак производных и суммы,получаем:nX∂2u= ∆u.div (k0 grad u) = k0∂x2mm=1Уравнение (1.2) описывает, в частности, малые поперечные колебания струны (а при двумерном прсотранстве x – колебания мембраны), малые продольные колебания упругого стержня, электрические колебания в проводах.

На примере уравнения поперечных колебаний струны рассмотрим смысл всех входящих в него функций.• Искомая функция u(x, t) представляет собой величину отклонения струны в точке x вмомент времени t от её равновесного положения.• Функция ρ(x) имеет смысл линейной плотности струны (то есть ρ(x)dx равняется массекусочка струны длины dx в точке x).• Функция k(x) задаёт натяжение струны (а в случае продольных колебаний стержняпостоянного сечения – модуль Юнга в точке x).c Д.С. Ткаченко-1-УМФ – семинар – К 5 – 1• Функция q(x, t) определяет сопротивление среды и задаёт уровень затухания колебаний.• Функция F (x, t) называется «правой частью» и представляет собой внешнюю силу, действующую на струну.В простейшем случае, когдаρ(x) = ρ0 = const > 0,k(x)= a2 = const > 0,ρ0q ≡ 0,уравнение принимает вид∂2u− a2 ∆u = f (x, t),∂t2x = (x1 , .

. . , xn ),2∂2u2∂ u−a= f (x, t),∂t2∂x2где функция правой части f (x, t) =n = 1,(1.4)(1.5)F (x, t).ρ0Замечание 1.1. Уравнения (1.4) – (1.5) также часто называют волновым уравнением.1.2. Уравнение теплопроводностиОпр. 1.2. Уравнением теплопроводности называется уравнение вида:c(x)ρ(x)∂u− div (k(x)grad u) = F (x, t),∂tx = (x1 , . . . , xn ),(1.6)в котором ρ, k, F – заданные функции, а u(x, t) – искомая функция и для функций c(x), ρ(x)и k(x) выполнены условия (1.1).В случае, когда пространство x одномерно, уравнение принимает вид:∂u∂∂uc(x)ρ(x)−k(x)= F (x, t),x = (x1 , . .

. , xn ),(1.7)∂t∂x∂xЕсли F (x, t) ≡ 0, то уравнение (1.6) называется однородным, в противном случае – неоднородным.Уравнение (1.6) описывает, в частности, распространение тепла в тонком стрежне, тонкоймембране или объёмном теле, диффузию вещества.

На примере распространение тепла в тонком стрежне рассмотрим смысл всех входящих в уравнение функций.• Искомая функция u(x, t) представляет собой температуру стержня в точке x в моментвремени t.• Функция ρ(x) имеет смысл линейной плотности стержня.• Функция c(x) есть удельная теплоёмкость.• k(x) – коэффициент теплопроводности в точке x.• Функция F (x, t) называется «правой частью» и представляет собой плотность источников тепла.c Д.С. Ткаченко-2-УМФ – семинар – К 5 – 1В простейшем случае, когдаc(x) = c0 = const > 0,ρ(x) = ρ0 = const > 0,k(x)= a2 = const > 0,c0 ρ0уравнение принимает вид∂u− a2 ∆u = f (x, t),∂tx = (x1 , . . . , xn ),∂2u∂u− a2 2 = f (x, t),∂t∂xгде функция правой части f (x, t) =n = 1,(1.8)(1.9)F (x, t).c 0 ρ0Замечание 1.2.

Уравнения (1.8) – (1.9) также часто называют уравнением теплопроводности.1.3. Стационарные уравненияЕсли уравнения колебаний или теплопроводности описывают процесс, установившийся во времени, и никакие входящие в уравнения функции уже от времени не зависят, то производные2по времени ∂uи ∂∂t2u обращаются в нуль, и уравнение принимает вид:∂t− div (k(x)grad u) + q(x)u = F (x),x = (x1 , . . . , xn ).(1.10)Уравнение (1.10) описывает, в частности, стационарное распространение тепла в тонком стрежне,тонкой мембране или объёмном теле, установившуюся концентрацию вещества, равновесноеположение мембраны по действием внешней постоянной силы и т.п. Смысл всех входящих вуравнение функций наследуется из нестационарного уравнения, из которого оно получилось.В простейшем случае, когдаk(x) = a2 = const > 0,q(x) ≡ 0,уравнение принимает вид уравнения Лапласа или Пуассона.Опр.

1.3. Уравнением Лапласа называется уравнение вида:∆u = 0,x = (x1 , . . . , xn ),(1.11)в котором u(x, t) – искомая функция.Уравнением Пуассона называется уравнение вида:∆u = f (x),в котором f = −F (x)a2x = (x1 , . . . , xn ),(1.12)– заданная функция, а u(x, t) – искомая функция.2. Основные задачи для уравнений математической физики2.1. Задача КошиЕсли рассмотреть бесконечную струну, то естественно предположить, что её колебания полностью описываются тремя равенствами: уравнением колебаний, начальным положением иc Д.С. Ткаченко-3-УМФ – семинар – К 5 – 1скоростью в каждой точке x ∈ (−∞, +∞) в начальный момент времени t = 0.

Отсюда возникает понятие:Опр. 2.1. ПустьΩ = Rn = {x = (x1 , . . . , xn ) | xi ∈ (−∞, +∞)} ,Q = Ω × (0, +∞) = {(x, t) | x ∈ Ω, t > 0} ,Q∗ = Ω × [0, +∞) = {(x, t) | x ∈ Ω, t > 0} .задачей Коши для уравненияTколебаний называется задача:Найти функцию u(x, t) ∈ C 2 (Q) C(Q∗ ) из условий:2 ρ(x) ∂∂t2u − div (k(x)grad u) + q(x, t)u = F (x, t),u(x, 0) = ϕ(x), ∂u(x, 0) = ψ(x),∂t(x, t) ∈ Q;x ∈ Ω;x ∈ Ω; ,(2.1)где ϕ(x), ψ(x) – заданные функции, называемые начальными данными или даннымиКоши, а для заданных функций ρ(x), k(x), q(x, t) и F (x, t) выполнены условия (1.1) и:ρ, ϕ, ψ ∈ C(Ω),k ∈ C 1 (Ω),q, F ∈ C(Q∗ ).Аналогично определяется задача Коши для уравнения теплопроводности:Опр. 2.2.

задачей Коши для уравнениятеплопроводности называется задача:TНайти функцию u(x, t)u(x, t) ∈ C 2,1 (Q) C(Q∗ ) из условий:− div (k(x)grad u) = F (x, t),(x, t) ∈ Q;c(x)ρ(x) ∂u∂tu(x, 0) = ϕ(x),x ∈ Ω,(2.2)где ϕ(x) – заданная функция, называемая начальными данными или данными Коши, адля заданных функций c(x), ρ(x), k(x) и F (x, t) выполнены условия (1.1) и:c, ρ, ϕ ∈ C(Ω),k ∈ C 1 (Ω),F ∈ C(Q∗ ).Для стационарного уравнения определять задачу Коши бессмысленно, поскольку раз решениеот времени не зависит, то оно должно совпадать со своим начальным условием ϕ(x).2.2. Виды краевых условийПерейдём к рассмотрению уравнений в ограниченных областях. ПустьΩ ⊂ Rn − ограниченная область с гладкой границей∂Ω ∈ C 2 .Тогда поведение решения уравнения будет, очевидно зависеть от того, что с ним происходитна границе.

Например, края колеблющейся мембраны можно закрепить, отпустить или закрепить упруго (на пружинках).c Д.С. Ткаченко-4-УМФ – семинар – К 5 – 1Опр. 2.3. Краевым (граничным) условием I-го рода называется условие:u(x, t) = µ(x, t),x ∈ ∂Ω, t > 0(2.3)∂Ωс заданной функцией µ(x, t).Краевым (граничным) условием II-го рода называется условие:∂u = ν(x, t),x ∈ ∂Ω, t > 0,∂~n ∂Ωгде ~n – внешняя единичная нормаль к поверхности ∂Ω, а функция ν(x, t) задана.Краевым (граничным) условием III-го рода называется условие:∂u+ βu = χ(x, t),x ∈ ∂Ω, t > 0α∂~n∂Ω(2.4)(2.5)с заданной функцией χ(x, t).Краевое уловие называется однородным, если функция в его правой части (µ, ν или χ) равнавсюду нулю, и неоднородным в противном случае.Замечание 2.1.

Краевое условие III-го рода является наиболее общим, так как при α = 0 онопревращается в условие I-го рода, а при β = 0 – в условие II-го рода.Заметим также, что α и β могут быть функциями.Опр. 2.4. Однородное граничное условие I-го рода называют условием Дирихле:x ∈ ∂Ω, t > 0.u(x, t) = 0,(2.6)∂ΩОднородное граничное условие II-го рода называют условием Неймана:∂u = 0,x ∈ ∂Ω, t > 0.∂~n ∂Ω(2.7)Замечание 2.2.

Неоднородное краевое условие I-го рода также иногда называют условием Дирихле, а неоднородное краевое условие II-го рода – условием Неймана.Условие I-го рода в случае уравнения колебаний имеет смысл жёстко закреплённого края,условие Неймана – свободного края, а условие III-го рода – края, закреплённого упруго.В случае уравнения теплопроводности условие I-го рода означает край, на котором поддерживается заданная температура, условие Неймана – теплоизолированный край,а условие III-го рода – край, на котором происходит конвективный теплообмен сокружающей средой.2.3. Задача Дирихле для стационарного уравненияЕсли рассмотреть ограниченную струну, мембрану или ёмкость, где происходила диффузияили теплообмен, то естественно предположить, что решение уравнения будет зависеть от того,что происходит на границе данного тела. К примеру, форма мембраны не может не зависетьот её же профиля на границе.

Поэтому вводят определение:c Д.С. Ткаченко-5-УМФ – семинар – К 5 – 1Опр. 2.5. ПустьΩ ⊂ Rn − ограниченная область с гладкой границей[Ω = Ω ∂Ω − её замыкание.∂Ω ∈ C 3 ;Задачей Дирихле для стационарного уравнения (граничной задачей I-го рода)называется задача:TНайти функцию u(x) ∈ C 2 (Ω) C(Ω) из условий:−div (k(x)grad u) + q(x)u = F (x),x ∈ Ω;(2.8)u(x) = µ(x),x ∈ ∂Ωгде µ(x) – заданная непрерывная функция, называемая данными Дирихле, а для заданныхфункций k(x), q(x) и F (x) выполнены условия (1.1) и:q(x) > 0,k ∈ C 1 (Ω),q, F ∈ C(Ω).В случае одной пространственной переменной задача принимает вид:∂k(x) ∂u+ q(x)u = F (x),x ∈ (0, l); − ∂x∂xu(0) = u0 ,u(l) = u1 .(2.9)Самый простой случай, когдаk(x) ≡ a2 = const > 0,q(x) ≡ 0,n = 1,получим краевую задачу I-го рода для уравнения Пуассона:∆u = f (x) = −F (x),x ∈ Ω;u(x) = µ(x),x ∈ ∂Ω,а если и F ≡ 0, – задачу Дирихле для уравнения Лапласа.c Д.С.

Ткаченко-6-(2.10)УМФ – семинар – К 5 – 12.4. Задача Неймана для стационарного уравненияКроме условий Дирихле, на границе могут быть условия других видов. Например,Опр. 2.6. ПустьΩ ⊂ Rn − ограниченная область с гладкой границей[Ω = Ω ∂Ω − её замыкание.∂Ω ∈ C 3 ;Задачей Неймана для стационарного уравнения (граничной задачей II-го рода)называется задача:TНайти функцию u(x) ∈ C 2 (Ω) C(Ω) из условий:−div (k(x)grad u) + q(x)u = F (x),x ∈ Ω;(2.11)∂u(x)=ν(x),x ∈ ∂Ω,∂~nгде ~n – вектор внешней нормали к поверхности Ω, ν(x) – заданная непрерывная функция,называемая данными Неймана, а для заданных функций k(x), q(x) и F (x) выполненыусловия (1.1) и:q(x) > 0,k ∈ C 1 (Ω),q, F ∈ C(Ω).В случае одной пространственной переменной задача принимает вид:∂k(x) ∂u+ q(x)u = F (x),x ∈ (0, l); − ∂x∂x0u (0) = u0 , 0u (l) = u1 .(2.12)Самый простой случай, когдаk(x) ≡ a2 = const > 0,q(x) ≡ 0,n = 1,получим краевую задачу II-го рода для уравнения Пуассона:∆u = f (x) = −F (x),x ∈ Ω;∂u(x) = ν(x),x ∈ ∂Ω,∂~n(2.13)а если и F ≡ 0, – задачу Неймана для уравнения Лапласа.Замечание 2.3.