В.П. Моденов - Дифференциальные уравнения (курс лекций)

ÌÎÑÊÎÂÑÊÈÉ ÎÑÓÄÀÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÑÈÒÅÒ èì. Ì.Â. ËÎÌÎÍÎÑÎÂÀÔèçè÷åñêèé àêóëüòåòêàåäðà ìàòåìàòèêèÏðîåññîð Â.Ï. ÌîäåíîâÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈßÊóðñ ëåêöèé.ÌÎÑÊÂÀ2003ÎãëàâëåíèåÂâåäåíèå0.10.20.30.40.50.6Ïîíÿòèå äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ . . . . . . . .

. . . . . . . .Íà÷àëüíûå è ãðàíè÷íûå (êðàåâûå) óñëîâèÿ. . . . . . . . . . . . . . .Ñâÿçü ìåæäó äèåðåíöèàëüíûìè, èíòåãðàëüíûìè óðàâíåíèÿìè èíåðàâåíñòâàìè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ïðèìåðû èçè÷åñêèõ çàäà÷, ïðèâîäÿùèõ ê äèåðåíöèàëüíûìóðàâíåíèÿì. . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ñâåäåíèå óðàâíåíèé â ×Ï ê ÎÄÓ. Ìåòîä Ôóðüå. . . . . . . . . . . .Ñâåäåíèå çàäà÷è Øòóðìà-Ëèóâèëëÿ ñ ãðàíè÷íûì óñëîâèåì III ðîäàê çàäà÷å Êîøè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.1 Äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà.1.11.21.31.41.51.6Òåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè çàäà÷è Êîøè. . . . . . . .Íåïðåðûâíàÿ çàâèñèìîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè îò ïàðàìåòðà. . .Ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿíîðìàëüíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé: . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ïðîñòåéøèå äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ 1-ãî ïîðÿäêà,èíòåãðèðóåìûå â êâàäðàòóðàõ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ïîíÿòèå î "êîððåêòíî ïîñòàâëåííûõ"çàäà÷àõ. . . . . . . . . . . . . .Ïðèìåð . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ nãî ïîðÿäêà.2.12.22.32.4Ñâîéñòâà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. . . . . . . . . . . . . . .Ëèíåéíîå îäíîðîäíîå óðàâíåíèå. . . . . . . . . . . . . .Íåîäíîðîäíîå ëèíåéíîå óðàâíåíèå. . . . . . . . . . . . .Ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè.3 Ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.3.13.23.33.43.53.6Ñâîéñòâà ëèíåéíîé ñèñòåìû. .

. . . . . . . . . . .Ëèíåéíàÿ îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà. . . . . . . . . . . .Íåîäíîðîäíàÿ ëèíåéíàÿ ñèñòåìà. . . . . . . . . .Îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèéêîýèöèåíòàìè. . . . . . . . . . . . . . . . . . .Íåîäíîðîäíàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèéêîýèöèåíòàìè. . . . . . . . . . . . . . . . . . .Î ðåøåíèè "âåêîâîãî óðàâíåíèÿ". .

. . . . . . . .1. .. .. .ñ. .ñ. .. .............................. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .ïîñòîÿííûìè. . . . . . . . .ïîñòîÿííûìè. . . . . . . . .. . . . . . . . .335781011121217181920212323242730343435383943454 Êðàåâàÿ çàäà÷à äëÿ íåîäíîðîäíîãîóðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà.4.14.24.34.44.5äèåðåíöèàëüíîãîÔîðìóëà Ëèóâèëëÿ - Îñòðîãðàäñêîãî. . . . . . . .åøåíèå êðàåâîé çàäà÷è ìåòîäîì óíêöèè ðèíà.Ñâîéñòâà óíêöèè ðèíà (***). .

. . . . . . . . . .Ïðèìåð. (Ñòàòè÷åñêàÿ çàäà÷à î ïðîèëå ñòðóíû.)Çàìå÷àíèÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................4646474950525 Óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïåðâîãî ïîðÿäêà.536 Îñíîâû òåîðèè óñòîé÷èâîñòè.605.15.25.36.16.26.36.4Ëèíåéíîå îäíîðîäíîå óðàâíåíèå.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Êâàçèëèíåéíîå íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå . . . . . . . . . . . . . . . .Ïðèìåðû. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ïðîñòåéøèå òèïû òî÷åê ïîêîÿ äëÿ ëèíåéíîé ñèñòåìûóðàâíåíèé ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè. . . . . . . . . . .Èññëåäîâàíèå íà óñòîé÷èâîñòü ïî ïåðâîìó ïðèáëèæåíèþ. .

.Âòîðîé ìåòîä Ëÿïóíîâà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .äâóõ. . . .. . . .. . . .7 àçíîñòíûé ìåòîä ðåøåíèÿ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.7.17.27.37.47.57.6Äèåðåíöèàëüíàÿ è ðàçíîñòíàÿ çàäà÷è Ýéëåðà.Ïîíÿòèå ñõîäèìîñòè ñåòî÷íûõ óíêöèé. . . . . .Ïîíÿòèå àïïðîêñèìàöèè.

. . . . . . . . . . . . . .Ïîíÿòèå óñòîé÷èâîñòè ðàçíîñòíîé ñõåìû. . . . .àçíîñòíàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à. . . . . . . . . . . . .Ìåòîä ðàçíîñòíîé (àëãåáðàè÷åñêîé) ïðîãîíêè. .8 Ïîíÿòèå îá àñèìïòîòè÷åñêèõ ìåòîäàõ.8.18.2..................................................................åãóëÿðíî âîçìóùåííàÿ çàäà÷à. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .Ñèíãóëÿðíî âîçìóùåííàÿ çàäà÷à. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25357586061646772727373747777808081Ââåäåíèå.0.1Ïîíÿòèå äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ0.1.1. Äèåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì (ÄÓ) íàçûâàþò óðàâíåíèå, â êîòîðîìíåèçâåñòíàÿ óíêöèÿ âõîäèò ïîä çíàêîì ïðîèçâîäíîé èëè äèåðåíöèàëà.0.1.2. Åñëè íåèçâåñòíàÿ óíêöèÿ çàâèñèò îò îäíîé ïåðåìåííîé, òî åãî íàçûâàþòîáûêíîâåííûì äèåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì (ÎÄÓ).Íàïðèìåð:y ′ (x) = f (x, y) èëèdy= f (x, y) èëè dy = f (x, y)dx.dx0.1.3.

Åñëè íåèçâåñòíàÿ óíêöèÿ çàâèñèò îò íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ, òî óðàâíåíèåíàçûâàþò óðàâíåíèåì â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ (Ó×Ï).Íàïðèìåð:∂Z(x, y) ∂Z(x, y)+= 0.∂x∂y0.1.4. Ïîðÿäîê óðàâíåíèÿ - íàèâûñøèé ïîðÿäîê âõîäÿùåé â íåãî ïðîèçâîäíîé.Íàïðèìåð, ÎÄÓ 2-ãî ïîðÿäêàF (x, y, y ′ , y ′′ ) = 0.0.1.5. Óðàâíåíèå, ðàçðåøåííîå îòíîñèòåëüíî ñòàðøåé ïðîèçâîäíîéy ′′ (x) = f (x, y, y ′ )0.1.6.

Íîðìàëüíîé ñèñòåìîé ÎÄÓ íàçûâàþò ñèñòåìó âèäà ′y1 = f1 (x, y1 , · · · , yn ),y ′ = f (x, y , · · · , y ),21n2····················· , ′yn = fn (x, y1 , · · · , yn ).0.1.7. åøåíèåì ÎÄÓ íàçûâàþò óíêöèþ, èëè ñîâîêóïíîñòü óíêöèé,îáðàùàþùèõ óðàâíåíèå â òîæäåñòâî.0.1.8.×àñòíîå ðåøåíèå (×) - îäíà êîíêðåòíàÿ óíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ3óðàâíåíèþ.Íàïðèìåð,y ′′ (x) + y(x) = 0 : y1 = sin x, y2 = cos x,y3 = sin x + cos x è ò.ä.0.1.9.

Ìíîæåñòâî ðåøåíèé ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà çàâèñèò îò ïðîèçâîëüíîéïîñòîÿííîé.Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî ðåøåíèé óðàâíåíèÿy ′ = f (x) åñòü y = F (x) + C,ãäå F (x) - íåêîòîðàÿ ïåðâîîáðàçíàÿ óíêöèè f (x), C - ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ.0.1.10. Ìíîæåñòâî ðåøåíèé Ó×Ï 1-ãî ïîðÿäêà îïðåäåëåíî ñ òî÷íîñòüþ äîïðîèçâîëüíîé óíêöèè.Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî ðåøåíèé óðàâíåíèÿ äëÿ óíêöèè Z = Z(x, y)∂Z ∂Z+= 0 åñòü Z = ϕ(x − y),∂x∂yãäå ϕ - ïðîèçâîëüíàÿ äèåðåíöèðóåìàÿ óíêöèÿ:Z = (x − y)n , Z = sin (x − y), Z = ex−yè ò.ä.0.1.11.

Îáùåå ðåøåíèå - ñîâîêóïíîñòü âñåõ ðåøåíèé ÄÓ.Íàïðèìåð, äëÿ óðàâíåèÿy ′′ (x) + y(x) = 0 îáùåå ðåøåíèå y = C1 sin x + C2 cos x,ãäå C1 è C2 - ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå.Çàìå÷àíèå. Èíîãäà îáùåå ðåøåíèå ïîíèìàþò â áîëåå óçêîì ñìûñëå êàêïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî, ãäå ïàðàìåòðû - ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå C . Òîãäàïîÿâëÿþòñÿ åùå îñîáûå ðåøåíèÿ íå âõîäÿùèå â ýòî ñåìåéñòâî íè ïðè êàêèõ C .Íàïðèìåð,· √dy√y = x + C - îáùåå ðåøåíèå,=2 y⇔y=0- îñîáîå ðåøåíèå.dxðàè÷åñêàÿ èëëþñòðàöèÿ:40.1.12. Ïðîöåññ ðåøåíèÿ ÎÄÓ íàçûâàþò èíòåãðèðîâàíèåì , à ãðàèêíåêîòîðîãî ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ - èíòåãðàëüíîé êðèâîé .Íàïðèìåð.Óðàâíåíèå y ′ = f (x, y) èìååò áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî èíòåãðàëüíûõ êðèâûõ.

Âêàæäîé òî÷êå (x, y(x)) èíòåãðàëüíîé êðèâîé óãëîâîé êîýèöèåíò êàñàòåëüíîéðàâåí tgα = f (x, y).îâîðÿò, ÷òî óðàâíåíèå y ′ = f (x, y) çàäàåò íà ïëîñêîñòè (x, y) ïîëåíàïðàâëåíèé - ìíîæåñòâî âåêòîðîâ, íàïðàâëåííûõ âäîëü êàñàòåëüíûõ êèíòåãðàëüíûì êðèâûì.àññìîòðèì ñïîñîáû âûäåëåíèÿ åäèíñòâåííîé èíòåãðàëüíîé êðèâîé.0.2Íà÷àëüíûå è ãðàíè÷íûå (êðàåâûå) óñëîâèÿ.0.2.1. Íà÷àëüíàÿ çàäà÷à (Çàäà÷à Êîøè) :(y ′ (x) = f (x, y)y(x0 ) = y0 - íà÷àëüíîå óñëîâèå,çàäàåò èç ìíîæåñòâà èíòåãðàëüíûõ êðèâûõ åäèíñòâåííóþ èíòåãðàëüíóþ êðèâóþ,ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç çàäàííóþ íà÷àëüíóþ òî÷êó (x0 ,y0 ).5Ïðèìåð 1 (ç. Êîøè) dZ dx = LZ(x)Z(a) = C⇐⇒ Z(x) = CeL(x−a) , (C, L - êîíñòàíòû).

Åñëè íà÷àëüíàÿ òî÷êà (x0 ,y0 ) ëåæèò íà îñîáîì ðåøåíèè, òî ðåøåíèåçàäà÷è Êîøè ìîæåò áûòü íå åäèíñòâåííî.Íàïðèìåð,Çàìå÷àíèå(√y′ = 2 yy(0) = 00.2.2. Êðàåâàÿ çàäà÷à :y ′′ + y = 0, 0 < x < π2 ,ãðàíè÷íûå y(0)⇐⇒ y = sin x¡ π ¢= 0,óñëîâèÿy 2 =1. Íå âñÿêèå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ âûäåëÿþò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå.Íàïðèìåð, êðàåâàÿ çàäà÷à äëÿ îäíîðîäíîãî äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿñ îäíîðîäíûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè ìîæåò èìåòü áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâîðåøåíèé:Çàìå÷àíèåy ′′ + y = 0, 0 < x < π,y(0) = 0,⇐⇒Cy(π) = 0y = C sin x,- ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ60.3Ñâÿçüìåæäóäèåðåíöèàëüíûìè,èíòåãðàëüíûìè óðàâíåíèÿìè è íåðàâåíñòâàìè.Ëåììà 0.1. Ïóñòü: F (x) ∈ C (X) ,X = {x : |x − x0 | 6 a}.Òîãäà:dy= F (x)dxy(x ) = y0⇐⇒ y(x) = y0 +XZxF (ξ)dξx00Äîêàçàòåëüñòâî îñíîâàíî íà îïðåäåëåíèè ïåðâîîáðàçíîé è èñïîëüçîâàíèèòåîðåìû î ïðîèçâîäíîé èíòåãðàëà ñ ïåðåìåííûì âåðõíèì ïðåäåëîì.Ëåììà 0.2.

Ïóñòü: f (x, y(x)) ∈ C(D)), ãäåD = {(x, y) : |x − x0 | 6 a, |y − y0 | 6 b}.Òîãäà:dy= f (x, y)dxy(x ) = y0⇐⇒ y(x) = y0 +DZxf (ξ, y(ξ))dξx00èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèåç. ÊîøèÄîêàçàòåëüñòâî îñíîâàíî íà ïðèìåíåíèè ëåììû 0.1, åñëè f (x, y (x)) = F (x)Ïðèìåð 2Z(x) = C + LZxadZ= LZ(x)Z(ξ)dξ ⇐⇒ dxË0.1 Z(a) = C⇐⇒ Z(x) = CeL(x−a)Ïð.1Ëåììà 0.3 (Ëåììà ðîíóîëëà).∀x ∈ [a, b] : 0 6 Z(x) 6 C + LZx(*)Z(ξ)dξa(L = const > 0)=⇒Äîêàçàòåëüñòâî·C > 0 : 0 6 Z(x) 6 CeL(x−a)C = 0 : Z(x) ≡ 0.(**)1).

Ïóñòü C > 0. ÏîëîæèìV (x) ≡ C + LZxZ (ξ) dξ > 0,∀x ∈ [a, b]⇒V (a) = C.aÒîãäà â ñèëó (*)Z(x) 6 V (x).7(***)V (x) - äèåðåíöèðóåìàÿ óíêöèÿ, ñëåäîâàòåëüíî,V ′ = LZ(x) 6 LV (x) ⇐⇒(∗∗∗)V >0V′6LV=⇒ ln V (x) − ln V (a) = ln V (x) − ln C 6 L(x − a)=⇒ V (x) ≤ CeL(x−a) =⇒ Z(x) 6 V (x) 6 CeL(x−a) ,ïîòåíö.(∗∗∗)∀x ∈ [a, b], ÷.ò.ä.2). Ïóñòü Ñ=0. Åñëè (*) âûïîëíåíî ïðè C=0, òî òåì áîëåå (*) âåðíî ïðè ∀C > 0è ïðè ýòîì âåðíà îöåíêà (**). Óñòðåìëÿÿ C ê íóëþ, ïîëó÷èì èç (**):.

(∗∗) =⇒ C > 0 :Çàìå÷àíèå0.40 6 Z(x) 6 0=⇒ Z(x) ≡ 0, ÷.ò.ä.0 6 Z(x) 6 CeL(b−a)Ïðèìåðû èçè÷åñêèõ çàäà÷, ïðèâîäÿùèõ êäèåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì.0.4.1. Çàäà÷à Êîøè, îïèñûâàþùàÿ äâèæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ïî ïðÿìîé:¸ ·dxdm(t)= f (x)(çàêîí Íüþòîíà)dtdtx(t0 ) = x0 , dx (t0 ) = v0 .dt0.4.2. Çàäà÷à Êîøè, îïèñûâàþùàÿ äâèæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè â ïðîñòðàíñòâåïîä äåéñòâèåì ñèëû f~ = {f1 , f2 , f3 }:¸ ·d~rd~(~r, d~r , t)m(t)=fdtdtdt~r |t=t0 = ~r0 , d~r |t=t = ~v0 .0dt0.4.3.