Лекция 5 - Методпеременныхсостояния (PDF-лекции)

Лекция 5. Метод переменных состоянияМетод переменных состояния в теории управления основан на понятии состояниесистемы. В отличие от описания САУ с использованием аппарата передаточных функций,метод переменных состояния позволяет описать поведение системы во временной областине только в переменных вход-выход. Метод переменных состояния может быть примененк нелинейным, нестационарным и многомерным системам.

Описание систем управления спомощью переменных состояния лежит в основе современной теории управления и методов оптимизации.5.1 Уравнение системы в нормальной формеЕсли уравнения системы разрешены относительно старшей производной, то ихвсегда можно преобразовать к системе уравнений 1-го порядка. Например, пусть системаописывается уравнением(n)( n 1)x  F ( x, x ,, x , t )Его можно преобразовать к видуx1  x2x 2  x3x n 1  xnx n  F ( x1 , x2 ,  , xn , t )( n 1)где x1  x, x2  x , , xn  x .Аналогичное преобразование можно произвести, когда система описывается несколькими уравнениями. Пусть, например, система описывается уравнениямиy1  F1 ( y1 , y1 , y1 , y2 , y 2 , t ),y2  F2 ( y1 , y1 , y1 , y2 , y 2 , t ) .Введя переменные x1  y1 , x2  y1 , x3  y1 , x4  y2 , x5  y 2 , можно преобразовать этиуравнения в следующую систему уравнений 1-го порядка:x1  x2 ,x2  x3 ,x3  F1 ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , t ),x4  x5 ,x5  F2 ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , t ),y1  x1 ,y2  x4 .В общем случае уравнения управляемой системы (рис.

5.1) можно представить в видеx1  f1 ( x1 , x2 ,  , xn , u1 , u2 ,  ur , t ),x2  f 2 ( x1 , x2 ,  , xn , u1 , u2 ,  ur , t ),xn  f n ( x1 , x2 ,  , xn , u1 , u2 ,  ur , t ),y1  h1 ( x1 , x2 ,  , xn , u1 , u2 ,  ur , t ),y2  h2 ( x1 , x2 ,  , xn , u1 , u2 ,  ur , t ),ym  hm ( x1 , x2 ,  , xn , u1 , u2 ,  ur , t ),1Рис. 5.1.Здесь x1 , x2 , , xn – фазовые координаты, или фазовые переменные; u1 , u2 , , ur – управляющие параметры, или управления; y1 , y2 , , ym – выходные переменные; t – время.Уравнения, записанные в виде системы дифференциальных уравнений 1-го порядка, разрешенных относительно производной, называются нормальной формой Коши илипросто нормальной формой.В векторной форме приведенные уравнения принимают видx  f (x, u, t ) ,(5.1а)y  h(x, u, t ) .(5.1б)Здесь x называют фазовым вектором или вектором состояний, u – вектором управленияили просто управлением, а также входной переменной или просто входом, y – выходнымвектором или просто выходом.

Множество всех векторов состояний (фазовых векторов)называют пространством состояний или фазовым пространством.Уравнение (5.1а) называют уравнением состояния, а уравнение (5.1б) – уравнениемвыхода или уравнением наблюдений.При дальнейшем описании будем всегда рассматривать вектор как вектор-столбец.Так что имеемx  ( x1 , x2 , xn )T , u  (u1 , u2 ,ur )T , y  ( y1 , y2 , ym )T ,где T обозначает операцию транспонирования.Если вход и выход системы являются скалярными величинами, то такие системыназывают одномерными.

Если хотя бы одна из указанных переменных является векторной,то такие системы называют многомерными.5.2. Уравнения линейных САУ в переменных состоянияВ общем случае уравнения линейной системы управления в нормальной форме могут быть записаны в следующем виде:x1  a11 x1  a12 x2    a1n xn  b11u1  b12u 2    b1r u r ,x2  a21 x1  a22 x2    a2 n xn  b21u1  b22u 2    b2 r u r ,xn  an1 x1  an 2 x2    ann xn  bn1u1  bn 2u 2    bnr u r .(5.2)В матричной форме уравнения (5.2) имеют вид: x1   a11 x   a 2    21     x n   a n1a12a 22an2 a1n   x1   b11 a 2 n   x 2  b21        a nn   x n  bn1b12b22bn 2 b1r   u1  b2 r  u 2      bnr  u r (5.3)В компактной форме система (5.3) может быть описана при помощи уравнения состояния:x  Ax  Bu .(5.4)Для полного описания системы к уравнениям состояния необходимо добавитьуравнения выхода, устанавливающие связь между переменными состояния и выходнымипеременными, которые обычно представляются в виде системы линейных алгебраическихуравнений:y1  c11 x1  c12 x2    c1n xn ,y2  c21 x1  c22 x2    c2 n xn ,ym  cm1 x1  am 2 x2    cmn xn .или в компактной векторно-матричной форме:2y  Cx .Матрица C называется матрицей выхода.(5.5)5.3.

Матричная передаточная функцияПрименяя прямое преобразование Лапласа к уравнениям (5.4) и (5.5), выраженнымв переменных состояния, получимsX( s )  AX( s )  x(0)  BU ( s ),(5.6)Y( s )  CX( s ).Отсюда, исключая X(s) и полагая x(0)  0 , найдемsX( s )  AX( s )  BU ( s ),( sI  A) X( s )  BU ( s ),X( s )  ( sI  A) 1 BU( s ),Y( s )  C( sI  A) 1 BU ( s ),(5.7)где I – единичная матрица.МатрицуФ( s )  C( sI  A) 1 B ,(5.8)устанавливающую связь между векторами выхода Y(s) и входа U(s), называют матричнойпередаточной функцией многомерной системы.Если система имеет только один вход u(t) и только один выход y(t), то матрицы B иC в уравнениях (5.6) превращаются в скаляры, которые обозначим через b и c соответственно.

Поэтому для одномерной системыY ( s)Ф( s )  c( sI  A) 1 b(5.9)U (s)5.4. Управляемость и наблюдаемость объекта управленияСостоянием системы x(t) можно управлять, изменяя вектор входа u(t), а наблюдатьсостояние системы можно, измеряя вектор выхода y(t). В связи с этим возникает два вопроса, имеющих кардинальное значение для теории автоматического управления.1.

Можно ли, выбрав соответствующим образом входы u(t), перевести объектуправления из некоторого произвольного состояния x(t0) в другое произвольное состояниеx(tf)?2. Можно ли, наблюдая вектор выхода y(t) в течение достаточного промежуткавремени, определить начальное состояние объекта x(t0)?Ответ на первый вопрос связан с понятием управляемости, а ответ на второй вопрос – с понятием наблюдаемости.5.4.1. Управляемость объекта управленияДля определения понятия управляемости рассмотрим управляемую систему (объект), которая описывается уравнениемx  f (x, u, t ), x  R n , u  R r(5.10)где х – вектор состояния, u – управление (вектор управления).Управление u  u(t )  (u1 (t ) u 2 (t )  u r (t )) T называется кусочно непрерывным, есливсе его компоненты u i (t ) являются кусочно непрерывными. Кусочно непрерывные управления называют допустимыми.3Определение 1.

Управляемая система (объект) (5.10) называется управляемой иливполне управляемой, если, каковы бы ни были точки x 0 и x f в фазовом пространстве R n ,существует допустимое управление, определенное на конечном интервале [t 0 , t f ] и переводящее систему (5.10) из начальной точки x 0  x(t0 ) в конечную точку x f  x(t f ) .Другими словами, если объект вполне управляем, то он может быть переведен допустимым управлением из произвольного начального состояния в любое другое состояниеза конечное время.Рассмотрим линейный объект, который описывается уравнениемx  Ax  Bu, x  R n , u  R r(5.11)В случае линейного объекта справедливо следующее утверждение.Утверждение 1. а) Линейный объект (5.11) вполне управляем, если, каково бы нибыло начальное состояние x(t0 )  x 0 , существует допустимое управление, определенноена конечном интервале [t 0 , t f ] и переводящее объект (5.11) в конечное состояниеx(t f )  0 , т.е.

в начало координат.б) Линейный объект (5.11) вполне управляем, если, каково бы ни было конечное состояние x(t f )  x f , существует допустимое управление, определенное на конечном интервале [t 0 , t f ] и переводящее объект (5.11) из начального состояния x(t0 )  0 , т.е. из начала координат, в конечное состояние x(t f )  x f .Утверждение остается справедливым, если в первой части в качестве конечнойточки вместо x(t f )  0 выбрать любую другую фиксированную точку, а во второй частивместо начальной точки x(t0 )  0 выбрать любую другую фиксированную точку.5.4.2. Управляемость линейных стационарных объектовПусть уравнение (5.11) описывает стационарную систему, т.е.

матрицы А и В являются постоянными. Введем в рассмотрение матрицуУ  B AB A 2 B  A n1B ,(5.12)столбцы которой представляют собой столбцы матрицы В и произведений матриц АВ,A 2 B,  , A n1B . Эту матрицу называют матрицей управляемости.Критерий управляемости линейных стационарных систем. Линейный стационарный объект вполне управляем тогда и только тогда, когда матрица управляемостиимеет максимальный ранг, т. е. когда ее ранг равен n.Напомним, что ранг матрицы равен числу независимых строк, числу независимыхстолбцов и порядку отличного от нуля минора максимальной размерности.Утверждение 2. Одномерная система управления, описываемая уравнениемb0 p m  b1 p m1    bmu, 0  m  n ,ya0 p n  a1 p n1    anгде не все коэффициенты bi (i  0, 1,  , m) равны нулю, вполне управляема.5.4.3. Наблюдаемость объекта управленияОпределение 2. Системуx  Ax  Bu,y  Cx4(5.13)называют наблюдаемой, если по данным измерения или наблюдения векторов y(t) и u(t) наконечном интервале времени [t 0 , t f ] можно однозначно определить начальное состояниеx(t0 ) .

Систему (5.13) называют полностью наблюдаемой, если все ее состояния наблюдаемы в любые моменты времени.Пусть уравнения (5.13) описывают стационарную систему, т.е. матрицы А, В и Cявляются постоянными. Введем в рассмотрение матрицуН  C T A T C T ( A T ) 2 C T  ( A T ) n1 C T .(5.14)Эту матрицу называют матрицей наблюдаемости.Критерий наблюдаемости линейных стационарных систем. Линейная стационарная система управления полностью наблюдаема тогда и только тогда, когда матрица наблюдаемости имеет максимальный ранг, т.

е. когда ее ранг равен n.5.