Вопросы и задачи к зачету, страница 2

Преобразования Лоренца для координат-времени. ИнтервалПри ответе на вопрос билета необходимо сформулировать принцип относительностии принцип форминвариантности фундаментальных физических законов. Ввести понятиеинтервала между событиями. Получить прямые и обратные преобразования Лоренца. Показать, что эти преобразования не нарушают форминвариантности интервала.2.2. Релятивистская кинематика. Преобразование промежутка времени и длины отрезка. Релятивистский закон сложения скоростей. Преобразование угловПри ответе на вопрос билета необходимо получить закон преобразования промежутка времени между двумя событиями, происходящими в одной и той же точке пространствав инерциальной системе отсчета.

Получить закон преобразования длины геометрическогоотрезка, покоящегося в одной из инерциальных систем отсчета. Рассмотреть случай, когдаотрезок расположен вдоль вектора скорости относительного движения и перпендикулярно к нему. Получить закон преобразования угла, образованного направлением скоростиотносительного движения и геометрическим отрезком.42.3. Релятивистский закон сложения скоростей. Преобразование угловПолучить релятивистский закон сложения скоростей. Прямым вычислением показать, что ни в одной из инерциальных систем отсчета скорость частицы не может превысить скорости света в вакууме.

Получить закон преобразования углов, образованныхвектором скорости частицы и вектором относительной скорости системы отсчета.2.4. Тензоры в четырехмерном пространстве-времениПри ответе на вопрос билета необходимо ввести обозначения для координат четырехмерного пространства-времени.

Записать закон преобразования: скаляра, ковариантного иконтравариантного четырехмерных векторов, тензора второго ранга при преобразованияхкоординат четырехмерного пространства-времени. Получить закон преобразования компонент четырехмерного вектора при преобразованиях Лоренца. Доказать инвариантностьквадрата вектора при произвольных координатных преобразованиях. Ввести понятие тензорного инварианта и записать такие инварианты для всех перечисленных величин.Ввести определение для метрического тензора.

Записать связь между ковариантными и контравариантными компонентами этого тензора. Определить операции опускания/поднятия тензорных индексов с помощью метрического тензора.2.5. Пространство Минковского. Описание движения точечной частицы в четырехмерном пространстве-времениИспользуя выражение для квадрата интервала, получить компоненты метрическоготензора в декартовых координатах инерциальной системы отсчета пространства Минковского. Записать правила поднятия/опускания индексов в пространстве Минковского (вдекартовых координатах инерциальной системы отсчета).Ввести определение мировой линии, четырехмерных векторов скорости и ускорения.Вычислить компоненты каждого из этих векторов.

Вычислить квадрат четырехмерноговектора скорости. Показать взаимную ортогональность четырехвекторов скорости и ускорения.2.6. Закон преобразования плотностей заряда и тока и его обоснованиеПри ответе на вопрос билета необходимо получить ковариантную (четырехмерную)запись закона сохранения заряда, на основе которой ввести определение четырехмерноговектора плотности тока. Получить закон преобразования компонент четырехмерного вектора плотности тока при преобразованиях Лоренца.

Привести интерпретацию полученнойсвязи между плотностью заряда и плотностью тока в разных инерциальных системах отсчета.2.7. Ковариантная запись условия Лоренца и уравнений для потенциалов.Законы преобразования потенциаловПри ответе на вопрос билета необходимо используя калибровочное условие Лоренцаввести определение четырехмерного вектора потенциала. Получить закон преобразования5скалярного и векторного потенциалов при преобразованиях Лоренца. Получить ковариантную запись оператора Д’Аламбера и ковариантную запись уравнений для потенциаловв калибровке Лоренца.2.8. Тензор электромагнитного поля. Ковариантная запись уравнений Максвелла для полей в вакуумеПри ответе на вопрос билета необходимо, используя четырехмерный вектор потенциала, записать формулы связи полей и потенциалов в индексной форме.

Ввести определение тензора электромагнитного поля и связать его с четырехмерным вектором потенциала. Получить компоненты дважды ковариантного/дважды контравариантного тензораэлектромагнитного поля в декартовых координатах инерциальной системы отсчета.Получить ковариантную (четырехмерную) запись однородных уравнений Максвелла(1-пара). Проверить соответствие числа уравнений в векторной и ковариантной формах.Получить ковариантную (четырехмерную) запись неоднородных уравнений Максвелла (2пара). Проверить согласованность этих уравнений с законом сохранения заряда.~ и H.~ Инварианты электромагнит2.9. Законы преобразования векторов поля Eного поляПри ответе на вопрос билета необходимо прямым вычислением получить закон преобразования компонент тензора электромагнитного поля при преобразованиях Лоренца.На основе полученных соотношений сделать выводы о связи между напряженностямиэлектрического и магнитного полей в неподвижной и инерциально движущийся системахотсчета.

Закон преобразования должен быть выражен в векторной форме.Ввести понятие тензорных инвариантов. Указать число независимых инвариантовантисимметричного тензора второго ранга в N-мерном пространстве. Записать выражения для первых двух инвариантов тензора электромагнитного поля в индексной и векторной формах.2.10. Принцип стационарного действия в электродинамике. Основные постулаты. Лагранжиан заряженной частицы во внешнем электромагнитном полеПри ответе на вопрос билета необходимо сформулировать постулаты принципа стационарного действия.Сформулировать требования, предъявляемые к функции Лагранжа точечной релятивистской частицы: вещественность, релятивистская инвариантность, локальность, выполнение принципов минимальности и соответствия.Построить действие и функцию Лагранжа для точечной заряженной частицы, движущейся в заданном электромагнитном поле.

Обосновать выбор характеристик частицыи поля, использованных для построения действия и функции Лагранжа. Для найденной функции Лагранжа выполнить разложение в ряд при малых скоростях частицы (посравнению со скоростью света) и проверить выполнение принципа соответствия релятивистского и ньютоновского описания.62.11. Уравнения движения релятивистской заряженной частицы во внешнемэлектромагнитном поле в четырехмерном виде. Энергия и импульс релятивистской частицыПри ответе на вопрос билета необходимо на основе принципа стационарного действия (прямым вычислением вариации) получить в ковариантной (четырехмерной) форме уравнения движения релятивистской заряженной частицы, движущейся в заданномэлектромагнитном поле.

Записать полученные уравнения в проекциях на временную ипространственные оси. На основании проекций, ввести определение для энергии релятивистской частицы. Разложить выражение для энергии в ряд при малых скоростях частицы(по сравнению со скоростью света) и проверить соответствие ньютоновскому описанию.Ввести определения кинетической энергии и импульса релятивистской частицы. Ввестиопределение четырехмерного вектора импульса.

Вычислить квадрат этого вектора в пространстве Минковского. Ввести определение четырехмерного вектора силы и записать~ и H.~компоненты этого вектора выраженные через напряженности поля E2.12. Лагранжиан электромагнитного поля при заданных источниках. Вариационный принцип в теории поляПри ответе на вопрос билета необходимо сформулировать основные требованияпредъявляемые к Лагранжиану свободного электромагнитного поля. С учетом этих ограничений обосновать выбор характеристик необходимых для построения Лагранжиана свободного электромагнитного поля в электродинамике Максвелла. Записать функционалдействия для электромагнитного поля при заданных источниках, и выделить из него плотность функции Лагранжа.На основании вариационного принципа, для поля с заданными источниками, получить уравнения Максвелла в ковариантном виде.Задачи3.2, 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 5.2, 5.3, 5.4, 6.2, 6.3, 7.2, 7.3, 7.5, 7.7, 8.2, 8.3, 11.1, 11.2, 11.6,11.8, 12.3, 13.3, 13.5, 14.3, 14.4, 14.6, 14.8, 16.1 (только ~v ), 16.3.7.