Том 2 (З. Флюгге - Задачи по квантовой механике), страница 10

62,а. С другой стороны, колебания с частотой нтв, в которых принимает участие и атом углерода, как можно показать, являются антисимметричными (см. фиг. 62, б). Чтобы выяснить, чтб соответствует этой классической картине нормальных колебаний в квантовой механике, рассмотрим свойства волновых функций (149.9). Волновая функция основного состояния (нормировка произвольная) имеет вид тр (и', в')=ехр ! — — тли"1! ехр ! — ыв о"! (149.13) Энергетические уровни этих двух гармонических осцилляторов мы можем написать сразу (см. задачу 30): Иу. т)»ехал»омнал лакеакал молекула где и' = = (х,— х, — 2а), о' = = (х»+ х» — 2х,). (149.

14) 1 1 Оба сомножителя в (149.13) имеют резкий максимум соответственно при и'=О и о'=О. Таким образом, нулевые колебания совершаются вблизи положения х, +х, = 2х, (при этом атом углерода находится точно посередине между атомами кислорода) и вблизи положения х,— х,=2а (т. е. расстояние между атомами кислорода равно 2а). Мы видим, что наиболее вероятное положение атомов в основном состоянии молекулы как раз совпадает с нх классическим равновесным положением.

Рассмотрим теперь первое возбужденное состояние колебательной моды А. В этом случае к волновой функции Ч'е добавится лишний множитель и'. Так как функция 1 ф (и') = и'е где 1=в лео е имеет два экстремума противоположных знаков в точках и'= ~1-н», то теперь наиболее вероятные положения атомов определяются условиями х,— х,— 2а=4- 1/ —, х,+х,— 2х,=О. (!49.15) Классическим аналогом наиболее вероятного положения осциллнрующей частицы являются точки поворота„вблизи которых частица проводит наибольшую часть времени. Таким образом, два значения и' в (149.15), отвечающие экстремумам волновой функции, соответствуют чему-то вроде амплитуд классических колебаний. Условие о'=О показывает, что атом углерода, вероятнее всего, располагается как раз посередине между атомами кислорода, расстояние же между самими атомами кислорода попеременно то увеличивается, то уменьшается, как это схематически показано на фнг.

62,а. Если же возбуждена колебательная мода В, то положение экстремумов волновой функции определяется соотношениями х,— х,— 2а=О, х +х,— 2х = ~ "1е — р= —. (149.16) -/ 2 В»ов » е 1/ Мы видим, что наиболее вероятное расстояние между атомами кислорода (х,— х,) остается, как н прн равновесии, равным 2а, причем сами онн сдвигаются то влево, то вправо по отношению к атому углерода, что схематически показано на фиг. 62,б. 3 еа ыга 66 Лг. Миогочааиичиые задачи. А. Малое число частиц Задача !50. Движение центра масс В классической задаче многих тел движение центра масс отделяется от относительного движения, если в системе действуют только одни внутренние силы.

Показать, что такое отделение возможно и в квантовой механике. Специально рассмотреть случай двух частиц. Решение. Мы начнем с гамильтониана системы из гч' частиц, на которые не действуют внешние силы: гг и и Н= — —,~ — Ро+ —,~ ~ Угч(х; — хч, д,— Ух, гг — г ) (150.1) е=! ' е=! е=! и заменим Згчг координат хе, уе, г! координатами центра масс Х, У, Л н координатами ал, Чл, ~л, определяющими положение частицы Х (Х = 1, 2, ..., У вЂ” 1) относительно частицы )ч'. Мы имеем ег л ! к~ Х= м г и!хе, М=~~' глг, (150. 2) е=! е=! $л =хл — хл, (Л=1, 2, ..., У вЂ” 1) и соответствующие формулы для У, Л, з)л, ~л. Использование этих координат, разумеется, нарушает естественную симметрию гамильтониана (150.1), так как частица !ч' искусственно выделяется из числа других частиц.

Из формул (150.2) легко получаются следующие операторные соотношения: — = — ' — + — о=1 2 ..., гчг — 1, д тч д д дх М дХ д д тгч д ч-ч д дхсч М дХ Ли д$л ' !ч л!-! з де ! !' тг„де тл дз де .). — — =.)'., — (,— * — +' лг + )+ т! дхз т! ( Ме дХе дХд$л дхле) е де ! ! д' д' где суммирование по греческому индексу проводится от 1 до )ч* — 1. Мы видим, что все смешанные пРоизводные д'(дХдч~л взаимно сократились и не вошли в окончательный результат. 1вО.

движение центра масс 67 Это позволяет разбить гамильтониан на две части: Н =Н,+Н„ где первая часть (150.3) (150.4) описывает движение центра масс, а вторая О .= — — е — 7'-~ — е е е 7„).~.е (авве) Ь( х ~х ~~ х а — относительное движение частиц. Входящая сюда потенциальная энергия ! е — ~~, рха(Ь, $ Чх Ч Ьх ~а)+~',)е (Ь Ч ° Ь) х (150.6) разумеется, также не зависит от координат центра масс. Теперь уравнение Шредингера (Н,+Н)У=Е У допускает разделение переменных. Полагая У = р(Х, У, 7) и(Ь„Чх, Ь)' (150.8) получаем ле — — у'~р= Е„р, 2М Н,и =Е,и, Е, -1- Е, = Е. (150.9) (150.10) (150.11) Решение уравнения (150.9) имеет вид плоской волны: йаКе (150.

12) где Я вЂ” вектор с координатами Х, У, 2. Полученный результат находится в полном соответствии с классическим законом движения центра масс: центр масс движется как материальная точка с массой М и постоянным импульсом йК. Характер относительного движения частиц определяется уравнением (150.10) и совершенно не зависит от движения центра масс. Наличие в выражении (150.5) третьего члена препятствует дальнейшей факторизации функции и($ы т)ы ~х) Только в двух- частичной задаче, когда %=2 и е.=р= 1, часть гамильтониана, связанная с относительным движением, упрощается и принимает 68 ПД Многочосшичные задачи.

А, Малое число часшии вид Н,= — — ~ — 91+ — „, Р,'~+Утз(й„т)т, ~ ) (150 13) Вводя сюда приведенную массу пт*, определенную, как и в клас- сической механике, соотношением (150.!4) и опуская индексы в обозначениях относительных координат и потенциальной энергии Утю мы приходим к уравнению лз — „у'и+УЙ, Ч, ь)и=Еги, (150.15) представляющему собой уравнение Шредингера для эквивалент- ной одночастичной задачи. Замечание. В задаче 67 мы рассматривали атом водорода в ранках одно- частичного подхода и считали, что ядро атома покоится. Согласно уравнению (150.!5), правильнее было бы вместо массы электрона т ввести приведенную массу ядра и электрона шч. Кроме этого, никаких других изменений, учитывающих участие ядра в относительном движении около центра масс, вносить не требуется. Так как масса ядра М значительно больше ш, то вместо равенства (150.14) можно пользоваться приближенным соотношеннем Сравнивая для примера частоту красной линии Н„(л=3- н'=2) в спектре атома водорода бш ез ч(Н )= —— 36 28 ай с частотой соответствующей линии в спектре атома дейтерии 5 шоьл ч(17 )= —— 36 2йзй н учитывая при атом, что Мр и 2Мм, мы для разности частот получаем шо-тн ш т(1З ) — ч(Н ) —, т(Н ) = — т(Н ).

шн Указанное различие не очень трудно обнаружить. При длине волн!а 6563 А оно составляет 4,12 см-'. Тяжелый водород был открыт Юри, Брикведде и Марфи в 1931 г., наблюдавшими у линии Но в спектре естественного водорода слабый сателлит В„Ягер, Зг1сйннг1г1е, Мнгрду, Рьуз. йеч., 40, ! (!932)]. 1дд Теорема еириала Задача 151. Теорема вириала Доказать, что для любой квантовомеханической системы частиц, удерживаемых вместе кулоновскими силами, справедлива теорема вириала: 2Е„„, + Е„„„= О. Решение.

Волновая функция системы 1Ч частиц с массами т! и электрическими зарядами с! удовлетворяет уравнению Шре- дингера а' ее !е — Х=,' Ч'+з ХХ вЂ”... Ч'=ЕЧ' е=! е=! л=! и емл! (151.1) и условию нормировки ~ пт, ~ бт,... ~ Ч ЧЧт„- 1. (151. 2) Средние значения кинетической и потенциальной энергий системы в состоянии Ч' определяются формулами — — — 3 еет! 3 е(те...

) Ч'*71% е(тли (151.3а) е=! Е„„,„= —,л ~Ч' ~, есауле(т,~с(те... ~Ч" — Че!(т,, (151.3б) е=! Ф=! Масштабное преобразование г;=Хе!, (151.4) оставляющее в силе условие (151.2), означает, что волновая функция Ч"(т„ т„ ° , и!е) заменяется функцией Чек =)~ее!1еЧ" () У'о ХФ'„..., Хгл!).

(151 5) Подставляя выражение (15!.5) в формулы (151.3а) и (151.3б) и гереходя к новым переменным интегрирования (151.4), а также учитывая, что 1 1 77= Х'7!', — = Х вЂ” е-, е!» Доказательство провести с помощью масштабного преобразования координат, сохраняющего нормировку волновой функции рас- сматриваемой системы. ТО )«' Мнозочастпичльм задачи.

А. Малое число частиц мы вместо истинного значения энергии Е = Ек пи + Епотеп получаем выражение Е (Л) = У Еккп + ХЕп„,п, (151.6) которое, очевидно, должно иметь минимум в том случае, когда из семейства функций (151.5) выбирается функция, являющаяся решением уравнения Шредингера, т. е. при условии 1=1. Следовательно, при Х=! выражение дЕ (й) «и«+ Епотеп должно обращаться в нуль, и поэтому 2Е«ик + Епотеп (151,7) что и требовалось доказать. Замечание, )(ля приближенных решений справедливость теоремы вириала не обязательна, тем более интересно, что ее можно доказать для статистической модели атома Томаса — Ферми (см.

задачу )75). Задача 152. Определитель Слэтера Пусть волновая функция системы из й) одинаковых частиц представлена в виде произведения одиочастичных волновых функций и антисимметрнзована в соответствии с принципом Паули. Выразить среднее значение оператора, описывающего действие внешних сил, через одночастичные интегралы. Решение. Обозначим через ит(ч) одночастичную волновую функцию ч-й частицы в состоянии ! (и означает совокупность пространственных и спинозой координат рассматриваемой частицы).

Тогда полностью антисимметричную' волновую функцию системы из )() одинаковых частиц можно записать в виде определителя Слэтера: и,(1) и,(2) ... ит(У) и,(1) и,(2) ... и,(й)) (152.! ) и (1) и (2) ... и (й)) раскрывая который, получаем ф= С~и( — !)'Р(и„и„..., и ). (152. 2) Здесь Р означает произвольную перестановку функций ит отно- 1йл. Определитель Слетера сительно их аргументов т, взятых в стандартном порядке 1, 2, ..., У.