Том 2 (З. Флюгге - Задачи по квантовой механике), страница 5
Описание файла
Файл "Том 2" внутри архива находится в папке "З. Флюгге - Задачи по квантовой механике". PDF-файл из архива "З. Флюгге - Задачи по квантовой механике", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "квантовая теория" из 6 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 5 страницы из PDF
В состоянии ф спин направлен против движения, н 6= — 1. Если разложить рассматриваемые спиноры по собственным функциям полного момента количества движения, то в обоих случаях тс=О, а сп!=+'1, для состояния ф и т = — '1, для состояния ф В задаче 133 было показано, что прн данном значении орбитального квантового числа 1 имеется два рода обших собственных спиноров операторов 7, и Р, а именно с' 2+ с~1 2 ! — 1+ — гп! У 2 ! ьт+ ! 2 сс(с) ! 'гс2!+1 (137. 2а) если / = 1+ '1„и (137.26) ~;+ — Г,+~'й* —, ) Г,=О, 2, l 1(1+!)т с с~ (137.3) и для регулярного в нуле решения (нормировка произвольная) мы имеем выражение г', = —, 1', (йг). ! (137.4) Теперь разложение плоской волны по решениям (137.2а) и (137.2б) можно записать в следуюшем виде: (137.5) Мы начнем со случая положительной спиральности и=+1, когда т,=+'1,.
Равенство (137.5) в этом случае принимает внд 1'(Л,Р'1+1+ВсУ1) Уьс если 1 — — 1 — '/„причем функция Р, (г) удовлетворяет радиальному уравнению Шредингера. Для свободной частицы оно имеет вид И7. Плоские волин для носииц со олином П, 3! г 1+! (137,7) Таким образом, получаем ф+ — — др(0 ~ Х~'., Ас ~/ ~ ! /с(йг)У"ь о (137 8) ~=о Из сравнения последнего выражения с обычным разложением плоской волны (см. формулу (81.13)], ом -ол'~ 4 (21-',-1)Рс(Ф)у, „ (137.9) с=о следует А,=- с 4 (!с1)е. (137.
10) поэтому окончательное выражение принимает вид О сР+ — — 1 4п ~(с(г'1+1 и. '1П+У(ис~,' б). (137.11) г=о В противоположном случае, когда й= — 1 и т~ — — — '7„равенство (137.5) записывается в виде /(А )с'1+ В, )сс1+ 1) Ус "с~=о )'Е1+! ' ~,( — Ас$'7+1+Вс 1 Уьв Теперь, согласно равенству (!37.1), должна обратиться в нуль первая компонента спинора, следовательно, (137.13) Далее из сравнения с разложением (137.9) вытекает А, = — )с 4п (1+ 1) с ', (137.14) поэтому окончательно мы приходим к разложению вида $ = — Рс4я Х!'()~Т+! и~ „— )с 1и~' б).
(137.15) !=о Чтобы вторая компонента спинора обратилась в нуль, как это требуется согласно равенству (137.1), мы должны положить зг Ш. Частицы со саином, А. Одночастичньи аодачи Задача 138. Спииовый резонанс для свободного электрона Свободный электрон помешен в полость, где имеется два магнитных поля: одно поле постоянное и однородное, зь„ направленное по осн г, другое поле, К', врашаюшееся в плоскости хуч Я о 0' ~с Я~о' (133 1 Я;= Я~'соз со(, .а,„'= Яо" з(пса(, ЯГ; = О.
В момент времени ( =0 спин электрона направлен по оси г; в этот же момент включается поле зь'. Найти вероятность Р обнаружения электрона, спин которого ориентирован против осн г, как функцию времени г'. Решение. Для нашей задачи гамнльтониан имеет вид И = )с (а,Я„+ а„уг '„+ а„Я~„), где — ра — оператор собственного магнитного момента электрона, а )с = ей!(2тс) (теоретико-полевые поправки не учитываются). Заметим, что а„Яе;+ аолго'= — Я~' (а+его '+а е'"') ! где аь = а„~ са„, поэтому уравнение Шредингера принимает вид — —; д~ = р ( ЖРс+ ~ ЯЕ' (Е-С"'О+ + Е' 'а ) ~ чр.
(138.2) получаем й — —. (ии + а()) = РЯс о (иа — о))) + )ьЯ' (е си'гчг + е'"и()). Собирая теперь коэффициенты при а и () и вводя обозначения Нас о = соо — =- со иЯе Й (138.4) Решение этого уравнения можно выразить через собственные функции оператора а,; ф(с) =и(()а+о(г) р. (138.3) Подставляя выражение (138.3) в уравнение (138.2) и пользуясь соотношениями !см.
формулы (129.10)1 а,се=со, а+а=О, а а=2р, а,))= — (), а,))=2а, а Р=О, С88. Гниновнб реэонанс для свободного электрона приходим к системе уравнений (ц = со ц + со е сонэ соо" +со е (138.6) Решение этой системы имеет вид ц Ае-ссв+'с нсс о Ве-сся-'сею с (138.6) Непосредственный подсчет показывает, что возможны два случая: ис — +и н и,= — а, где 51 = )сс (ос,— ! ос) +о»". (138.7) Потребуем теперь, чтобы решение (138.8) удовлетворило начальному условию ср(0) =а, нли А,+А,=1, В,+В,=О, (138. 10) Это требование с учетом соотношений (138.9) дает ! сн см ого 2 — с эр (!) = совЫ вЂ” с в!пЫ)' е а — — с в!пЫе )).
(138.11) Отсюда для вероятности обнаружения электрона с противопо- ложным направлением спина в момент времени ! получаем фор- мулу Р=( — ) в!п'Ы, 52 / (138.12) которая после усреднения по времени дает а со' Р= — — =— 2мэ 2 ( соо ос) +ос 2 (138. 13) эо с!7э Соответствующие этим случаям амплитуды обозначаются ниже посредством А„В, и А,, В,. Окончательный результат записывается в виде йо со — с ср (5) = (А,е-'о'+ А,е'о') е а+ (В,е-'о'+В,е'"') е (), (138.8) причем 2 ) В...=А„, (138.9) 34 т'т'С Частицы со спинолс Б. Двух- и трвхчастичныв задачи Если производить медленное изменение однородного поля тб„ а тем самым, согласно (138.4), и ларморовой частоты шв, то для значения — т.
е. Яб,=— 1 аы 0 о ' ' 0 (138.14) средняя вероятность обнаружения электрона с противоположным направлением спина (спин-флипа) станет максимальной. Мы на- зовем такое поле резонансным и обозначим его посредством Яр„, тогда Р =— (138.15) 'х (Я вЂ” Яо э.*)'+ ЯГ' При резонансе Р=х), независимо от напряженности вращающегося поля Яб", однако ширина резонансной области, разумеется, определяется величиной ЯР'. Замечание.
этот метод можно применять либо для определения иеличины и по напряженности резонансного поля, либо, если величина р достаточно хорошо известна, для определения разности между внешним полем и полем, действующим на электрон внутри молекулы. Для распознавания молекулярных структур похожим образом можно использовать и протонный резонанс. Б. Двух- и трехчастичиые задачи Задача 139. Спиновые функции двух частиц Имеется система из двух частиц со спином х!, (например, нейтрон и протон).
Найти спиновые функции системы, диагонализующие одновременно г-компоненту и квадрат оператора суммарного спина В= ~ М„+ он). й (139.1) Решение. Пусть а„, р„ — гильбертовы базисные векторы нейтрона, а сэр, (ар †базисн векторы протона. Тогда спиновая функция )( двухчастичной системы должна иметь внд т, = Аа„ар+ Ви„0р+ С(),сер+ ср()„()р. (139.2) Из определения спиновых операторов (см.
задачу 129) следует 2 — Ввт = (о„+ о ) )(= Асх„гхр+Вач()р — С!вар — 0()„()р+ + Аа„ар Вссчйр+Срчсср хррчрр (!39 3) Таким образом, каждый отдельный член в выражении (!39.2) является собственной функцией оператора В,: 36 ПУ. »»истицы го »пином. Б. Двух- и трехчастичпые задачи Зго дает два линейных уравнения для определения В и С: В+С=ИВ, В+С=)(С.
Десерминасст этой системы должен обратиться в нуль: 1 — Х 1 ~=-0, илн 1 — )ь= ~1. Таким образом, для двух собственных функций оператора 5', принадлежащих собственному значению 5,=0, получаем для ) =2 В=С, )(=а„)3 +й„ар, 5=1; (139.6а) для ).=0 В= — С, )(=а„()р — ~„ар, 5=0. (139.6б) Окончательные результаты собраны в приводимой ниже таблице, причем собственные функции нормированы с учетом ус- ловий <а)а>=1, <(3(~>=1, <а(й>=0. Триплет, 3= ! (симмет. ричная спиноваи функция) Б»=+! 8 =о Я»= — ! а,ар ! =- (апс:р-р ()пар) Р 2 ()п))р цинглет, 5=0 (антисим- метричная спиновая функция) —.— (апрр-р ар) 2 Замечание.
Из равенства (о„+ ар)з = 6+ 2 (а„о,) след)ет, что триплетиые и синглетная спиновые функции, Хс и Х», приведенные в таблице, являются также собственными функциями оператора (н„ар), аричем (" пр) хс = хс (ап' ор) Х» 3 ('» Зги результаты будут полезны в следующей задаче. Задача ИО. Центральное взаимодействие между нуклонами, зависящее от спина С разумной степенью точности взаимодействие нейтрона и протона в 5-состоянии можно описать с помощью центральных сил, имеющих различную величину для симметричного и анти- симметричного спиновых состояний.
Выразить указанное взаимо- Ид. е1ентроеьное оеаимодеаеомие мемду нунлонамы зт действие через зависящий от спина потенциал, используя для этого а) обменный спиновый оператор Х„р, б) операторы спина пл и и нейтройа и протона. Решение. Центральное взаимодействие означает, что энергия взаимодействия зависит только от расстояния е между двумя частицами. Эта энергия должна быть различной в состояниях разной спиновой симметрией, например У, (р) в триплетном состоянии, когда спины параллельны, и У,(г) в синглетном состоянии, когда спины антипараллельны.
а. Пусть Х(ел, зр) — двухчастичная функция. Определим обменный спиновый ойератор с помощью равенства Х.,Х(з., з,) =Х(з,. зл). (140. 1) Для симметричного триплетного состояния Хе (зл~ зр) Х! (зр~ зл)~ поэтому (140.2а) ~ори ХС' С другой стороны, для антисимметричного синглетного состояния Хе (зл зр) Х (зр зл) и, следовательно, ~лрХе Ке. (140. 26) Таким образом, оба типа функций являются собственными функциями обменного оператора н принадлежат соответственно собственным значениям +1 и — 1. Так как три триплетные и одна синглетная функции образуют полный набор, то равенства (140.2а) и (140.2б) определяют обменныя оператор полностью и притом единственным образом.
Если теперь определить энергию взаимодействия выражением вида У=У,(е)+У,(г) Х„р, то, согласно (140.2а) и (140.2б), должны выполняться равенства УХ = (У + У.) Х УХ =- (У вЂ” Уе) Х. поэтому, выражения У,=У,+У, и У,=У,— )', буду~ описывать энергию взаимодействия соответственно в триплетном и синглетном состояниях.
Отсюда следует У= —,(У,+Уе)+-, (У,— У,) Х„р. (140.3) Зв 1В. Частицы со саином. Б. Двух- и трехчастичиьи задачи б. В конце предыдущей задачи мы показали, что спиновые функции )1, и )(в являются собственными функциями оператора (о„пр), причем (пл ар) )1, = )(о (п„пр) )(, = — 3)(,. (140. 4) Отсюда следует, что оператор Х„р линейным образом выражается через оператор (п„пр). В самом деле, положив Х„р — — — (! + (п„пр)), мы убеждаемся, что такой выбор обеспечивает выполнение равенств (140.2а) и (140.2б).
Поскольку, далее, не существует других спиновых функций двухнуклонной системы, то оба оператора полностью определяются равенствами (140.2а), (140.2б) и (140.4), позтому соотношение (140.5) обладает всей вочможной степенью общности. Исключая с помощью (140.5) оператор Е„г из равенства (! 40.3), окончательно получаем 1 (31 с+(~в) + (1 е 1 в) (и» Ор) ! ! Задача 141. Степени спииовых операторов Показать, что оператор (и, и,)", где о, и и, — спиновые операторы частицы 1 и частицы 2, выражается линейно через оператор (а, пч). Гешеиие. Оператор (и, и,) полностью описывается равенствами (и, . и,) )(, = )(„(и, и,) )(, = — З)(„(141.! ) демонстрирующими его действие на три триплетные и одну синглетную функции, поскольку они образуют полный ортонормированный набор функций.