Вырезка из книги с задачами
Описание файла
PDF-файл из архива "Вырезка из книги с задачами", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "электродинамика" из 5 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
15.1. ®ç¥çë© § àï¤ q à ᯮ«®¦¥ à ááâ®ï¨¨ a ®â ¯®¢¥àå®á⨡¥áª®¥ç®© ¯à®¢®¤ï饩 ¯« áâ¨ë ⮫é¨ë h. ᯮ«ì§ãï ¬¥â®¤ ¨§®¡à ¦¥¨©, ¯®«ãç¨âì ᪠«ïàë© ¯®â¥æ¨ « '. ஢¥à¨âì ¯àאַ© ¯®¤áâ ®¢ª®©, çâ® à¥è¥¨¥ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢¥¨î ¨ ¢á¥¬ £à ¨çë¬ ãá«®¢¨ï¬. ëç¨á«¨âì ¯«®â®áâì ¯®¢¥àå®áâëå § à冷¢ S , í¥à£¨î ¨ ᨫ㢧 ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï § àï¤ á ¯®¢¥àå®áâìî.
©â¨ ¯®«ë© ¨¤ãæ¨à®¢ 멧 àï¤.¥â®¤ ¨§®¡à ¦¥¨© á®á⮨⠢ ¯®¤¡®à¥ â ª¨å ¤®¯®«¨â¥«ìëå 䨪⨢ëå § à冷¢, ª®â®àë¥ ¢¬¥áâ¥ á ¤ 묨 § àï¤ ¬¨ ᮧ¤ ¢ «¨ ¡ë ¯®«¥,¤«ï ª®â®à®£® ¯®¢¥àå®áâì § ¤ ®£® ¯à®¢®¤¨ª ᮢ¯ ¤ « ¡ë á ®¤®©¨§ íª¢¨¯®â¥æ¨ «ìëå ¯®¢¥àå®á⥩ ¯®«ï. áᬮâਬ ®¡« áâì ¯à®áâà á⢠, ®£à ¨ç¥ãî ¯à®¢®¤ï饩 ¯« á⨮©, ¢ ª®â®à®© 室¨âáï â®ç¥çë© § àï¤. ¢¥¤¥¬ ä¨ªâ¨¢ë© § àï¤q0 = ;q, à ᯮ«®¦¥ë© ¢ â®çª¥, ¯à¥¤áâ ¢«ïî饩 ᮡ®© §¥àª «ì®¥ ®âà ¦¥¨¥ â®çª¨ á § à冷¬ q ¢ £à ¨ç®© ¯«®áª®á⨠¯à®¢®¤ï饩 á।ë.®â¥æ¨ « ¯®«ï ¨¬¥¥â ¢¨¤1 1 ' = q r ; r0 + const:®£¤ § ¯¨è¥¬ ãà ¢¥¨¥ ã áá® 4' = ;4q((R~ ; ~r) ; (R~ ; r~0)) = ;4q(R~ ; ~r);â ª ª ª ¢ à áᬠâਢ ¥¬®© ®¡« á⨠(R~ ; r~0) = 0. £à ¨æ¥ à §¤¥« ¢ ᨫã ᨬ¬¥âਨ E = 0; ' = const.; ¡¥áª®¥ç®á⨠¯®«¥ ¢¥¤¥â á¥¡ïª ª ¯®«¥ â®ç¥ç®£® § àï¤ ' = O r + const.祢¨¤®, çâ® ¢ ¯à®¢®¤¨ª¥ ¨ ¯®«ã¯à®áâà á⢥, £¤¥ ¥â â®ç¥ç®£®§ àï¤ , ¯®â¥æ¨ « ï¥âáï ¯®áâ®ï®© ¢¥«¨ç¨®© ' = const, â ª ª ª¨ ç¥ ¢ ¯à®¢®¤¨ª¥ ⥪«¨ ¡ë ⮪¨, íâ® ¥¢®§¬®¦®, â ª ª ª à áᬠâਢ ¥âáï í«¥ªâà®áâ â¨ç¥áª ï § ¤ ç . á¯à¥¤¥«¥¨¥ § à冷¢ £à ¨ç®© ¯®¢¥àå®á⨠¤ ¥âáï ä®à¬ã«®©1@' = ; 4 @n =r r1=@= ; 4q @z0px + y 1+ (a ; z) ; px + y 1+ (a + z)2222122! = ; q a :z2 r3=0®«ë© ¨¤ãæ¨à®¢ ë© § àï¤ à ¢¥Z 1ZZqaqaQ = dS = ; 2 r dS = ; 2 (a +1 ) = dd' =SS1Z322 3 2Z d( + a ) 1 Z dpd1= ;qa ( + a ) = = ; 2 qa ( + a ) = = ; 2 qa p = = ;q:22122 3 222a0122 3 2a3 2ਠ㢥«¨ç¥¨¨ § àï¤ q dq í¥à£¨ï U ¥£® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï á ¯«®áª®áâìî ¢®§à áâ¥â dU = '0dq, £¤¥ '0 - ¯®â¥æ¨ « ¨¤ãæ¨à®¢ ëå ¯«®áª®á⨠§ à冷¢.
® íâ®â ¯®â¥æ¨ « á ¬ ¯à®¯®à樮 «¥ q: '0 =const q. ®í⮬ã í¥à£¨ï ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï à ¢ U=Zq01 '0q:dU = constq=222 ᫨ ¡ë ¯®â¥æ¨ « ¥ § ¢¨á¥« ®â q (¯®â¥æ¨ « ¢¥è¥£® ¯®«ï), â® í¥à£¨ï ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¡ë« ¡ë ¢¤¢®¥ ¡®«ìè¥.0U = 21 q 2qa = ; 4qa :¨« ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï (¯à¨â殮¨ï) § àï¤ á ¯«®áª®áâìî à ¢ q :F = ; @U=;@a4a15.4.
®ç¥çë© § àï¤ q 室¨âáï à ááâ®ï¨¨ a ®â æ¥âà § §¥¬«¥®£® ¯à®¢®¤ï饣® è à à ¤¨ãá R. ©â¨ ¯®â¥æ¨ «, ¯«®â®áâ쯮¢¥àå®áâëå § à冷¢ ¨ ¯®«ë© § àï¤, ¨¤ãæ¨à®¢ ë© è à¥, í¥à£¨î ¨ ᨫ㠢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï.¥â®¤ ¨§®¡à ¦¥¨© á®á⮨⠢ ¯®¤¡®à¥ â ª¨å ¤®¯®«¨â¥«ìëå 䨪⨢ëå § à冷¢, ª®â®àë¥ ¢¬¥áâ¥ á ¤ 묨 § àï¤ ¬¨ ᮧ¤ ¢ «¨ ¡ë ¯®«¥,¤«ï ª®â®à®£® ¯®¢¥àå®áâì § ¤ ®£® ¯à®¢®¤¨ª ᮢ¯ ¤ « ¡ë á ®¤®©¨§ íª¢¨¯®â¥æ¨ «ìëå ¯®¢¥àå®á⥩ ¯®«ï.®«¥, ᮧ¤ ¢ ¥¬®¥ â®ç¥çë¬ § à冷¬ q, 室ï騬áï ¢¥ è à , ¡ã¤¥â ᮢ¯ ¤ âì á ¯®«¥¬ ᮧ¤ ¢ ¥¬ë¬ í⨬ â®ç¥çë¬ § à冷¬ ¨ § à冷¬;q0, à ᯮ«®¦¥ë¬ ¯àאַ©, ᮥ¤¨ïî饩 æ¥âà è à ¨ § àï¤ q.¡®§ 稬 ç¥à¥§ r - à ááâ®ï¨¥ ®â § àï¤ q ¤® ¯à®¨§¢®«ì®© â®çª¨ 2222áä¥à¥, ç¥à¥§ r0 - ®â § àï¤ ;q0. ®£¤ ãá«®¢¨¥ í¢¨¯®â¥æ¨ «ì®á⨧ ¯¨è¥âáï ¢ ¢¨¤¥q = q0 :r r0® â ª ª ª r = R + a ; 2Ra cos ; r0 = R + b ; 2Rb cos , â®q (R + b ; 2Rb cos ) = q0 (R + a ; 2Ra cos ): ᨫ㠯ந§¢®«ì®á⨠㣫 q (R + b ) = q0 (R + a ); q b = q0 a:®£¤ ¯®«ãç ¥¬ ª¢ ¤à ⮥ ãà ¢¥¨¥ b ; b R a+ a + R = 0.
¥è ¥¬:b = Ra < a, b = a, ¯®í⮬ã b = Ra . ®£¤ q0 = q Ra , â.¥. 䨪⨢멧 àï¤ à ¢¥ ;q Ra . ®â¥æ¨ « ¯®«ï ¢¥ è à à ¢¥0' = rq ; rq0 + const = qr ; qRar0 + const:à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¤ îâ E = 0; En = 4, ¯®í⮬ã1@' = ; 4 @n =R01q@q= ; 4 @R p;p=R + a ; 2Ra cos R + b ; 2Rb cos q ;b q(R ; a cos )0(R ; b cos )1q= 4 (R + a ; 2Ra cos ) = ; (R + b ; 2Rb cos ) = :ç¨âë¢ ï, çâ® q0 = q Ra ; b = Ra , ¯®«ã稬2222222222222222222221222222222223 22202=const3 22qa ;R = ; 4R(R + a ; 2Ra cos ) = :祢¨¤®, çâ® ¯®«ë© § àï¤ áä¥à¥ à ¢¥ 䨪⨢®¬ã § àï¤ã, ®¬®¦® ¯®«ãç¨âì íâ®â १ã«ìâ ⠨⥣à¨à®¢ ¨¥¬22223 2ZRqQ = ; 4R (R + a a;;2Racos ) = 2R sin d =222223 203ZR:1= ; 2 q(a ; R )R (R + a dx=;q=; 2Rax)a1222;123 2ਠ㢥«¨ç¥¨¨ § àï¤ q dq í¥à£¨ï U ¥£® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï á è ஬ ¢®§à áâ¥â dU = '0dq, £¤¥ '0 - ¯®â¥æ¨ « ¨¤ãæ¨à®¢ ëå è १ à冷¢.
® íâ®â ¯®â¥æ¨ « á ¬ ¯à®¯®à樮 «¥ q: '0 = const q. ®í⮬ã í¥à£¨ï ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï à ¢ 01 R :U = 12 q a;;q b = ; 12 q a ;R=a=;R =a2a ;R®£¤ ᨫ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï (¯à¨â殮¨ï) § àï¤ á è ஬ à ¢ aR :F = ; @U=;@a(a ; R )16.2. ¢®¬¥à® § à殮 ï ⮪ ï ¨âì («¨¥© ï ¯«®â®áâì § àï¤ ) à ᯮ«®¦¥ à ááâ®ï¨¨ a ®â ®á¨ ¯à®¢®¤ï饣® ¥§ à殮®£®æ¨«¨¤à à ¤¨ãá R, a > R. ©â¨ ¯®â¥æ¨ « १ã«ìâ¨àãî饣® í«¥ªâà¨ç¥áª®£® ¯®«ï. ©â¨ ¯«®â®áâì ¯®¢¥àå®áâëå § à冷¢ 樫¨¤à¥.à ¥¢ ï § ¤ ç , á¢ï§ ï á à¥è¥¨¥¬ ãà ¢¥¨ï ¯« á ¯à¨ § ¤ ëå £à ¨çëå ãá«®¢¨ïå, ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥.
®í⮬㠥᫨ª ª¨¬-«¨¡® ®¡à §®¬ ©¤¥® à¥è¥¨¥ ª ª®©-¨¡ã¤ì ¤à㣮© § ¤ ç¨ á â ª¨¬ ¦¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥¬ § à冷¢ ¨ â ª¨¬¨ ¦¥ £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨,â® ®® ¡ã¤¥â 㤮¢«¥â¢®àïâì ¨ 襩 § ¤ ç¥. à殮 ï ¨âì ¢ë§ë¢ ¥â ¯¥à¥à á¯à¥¤¥«¥¨¥ § à冷¢ ¯à®¢®¤ï饬 樫¨¤à¥. ¨«¨¤à¨ç¥áª ï ¯®¢¥àå®áâì ï¥âáï íª¢¨¯®â¥æ¨ «ì®©, â ª ª ª ® ¯à®¢®¤ïé ï. ®«¥ ¢¥ 樫¨¤à¨ç¥áª®© ¯®¢¥àå®áâ¨à ¢® ¯®«î, ᮧ¤ ®¬ã ⮪¨¬¨ ¨âﬨ á «¨¥©®© ¯«®â®áâìî ¤«ï¨â¨, ¯à®å®¤ï饩 ¯® ®á¨ 樫¨¤à , ¨ ; - ¤«ï ¨â¨, ¯ à ««¥«ì®© ¯¥à¢ë¬ ¤¢ã¬ ¨ «¥¦ 饩 ¢ ¯«®áª®áâ¨, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ ¨å à ááâ®ï¨¨b ®â ®á¨ 樫¨¤à .222422 22;HHHH;HH r;HHHR ; HHH;; rHHH; ; H b ;12rrr। - ¢ ªãã¬,¯®í⮬ã D~ = E~ .
à ¢¥¨¥ ªá¢¥«« ¢ ¨â¥£à «ìI®© ä®à¬¥ D~ dS~ = 4Q. áᬮâਬ 樫¨¤à ¢ëá®â®© h ¨ à ¤¨ãSᮬ r, ®áìî ª®â®à®£® ï¥âáï à ¢®¬¥à® § à殮 ï ¨âì á «¨¥©®© ¯«®â®áâìî . ᨫã ᨬ¬¥âਨ ¯®«ï 2rhE = 4h ¨ E~ = 2r ~r,1'(r) = ;2 ln(r) = 2 ln r .á«®¢¨¥ íª¢¨¯®â¥æ¨ «ì®á⨠樫¨¤à¨ç¥áª®© ¯®¢¥àå®á⨠¤ ¥â £à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥: 'jS = ;2 ln(r ) + 2 ln(r ) ; 2 ln(R) = const, ¯®í⮬ã r = Cr .
® ⥮६¥ ª®á¨ãᮢ r = R + b ; 2Rb cos , r =R + a ; 2Ra cos .222212122222221R + b ; 2Rb cos = C (R + a ) ; 2CRa cos =) b = Cab ; ab (R + a ) + R = 0:¥è¥¨ï ¤ ®£® ª¢ ¤à ⮣® ãà ¢¥¨ï: b = a ¨ b = Ra < R. ®í⮬ã b = Ra < R. ®â¥æ¨ « ¢¥ 樫¨¤à¨ç¥áª®© ¯®¢¥àå®á⨠§ ¯¨è¥âáï¢ ¢¨¤¥r ' = 2 ln rr + const :222222222122152ãâਠ¦¥ 樫¨¤à ¨ ¥£® ¯®¢¥àå®áâ¨b ' = ln R a + const = ;2 ln a + const :®¢¥àå®áâ ï ¯«®â®áâì § à冷¢ à ¢ r + b ; 2rb cos 1@'@ = ; 4 @n = ; 4 @r ln r (r + a ; 2ra cos ) =r Rr R ; r ; a cos ; 1 == ; 2 r +rb;;b cos2rb cos r + a ; 2ra cos r r Raa R ; a cos ; R + a cos ; R ; R + 2a cos =;=2(R + a ; 2Ra cos ) := R +Ra;;a 2cosRa cos 17.2. ஢®¤ï騩 è à à ¤¨ãá R à §à¥§ ¤¢ ¯®«ãè à¨ï, ᮥ¤¨¥ë¥ ¬¥¦¤ã ᮡ®©, ¨ ¯®¬¥é¥ ¢® ¢¥è¥¥ ®¤®à®¤®¥ ¯®«¥ E , ¯à ¢«¥®¥ ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà® ¯«®áª®áâ¨ à §à¥§ .
©â¨ ᨫã, ¤¥©áâ¢ãîéãî ª ¦¤®¥ ¨§ ¯®«ãè ਩.¯à¥¤¥«¨¬ ¯®«¥ ¢®ªà㣠¯à®¢®¤ï饣® è à , ¯®¬¥é¥®£® ¢® ¢¥è¥¥®¤®à®¤®¥ ¯®«¥ E (E~ jjz). ¥§ã«ìâ¨àãî騩 ¯®â¥æ¨ « ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¢¢¨¤¥ = ' + ', £¤¥ ' = ;E~ ~r - ¯®â¥æ¨ « ¢¥è¥£® ¯®«ï. ®â¥æ¨ «' ¨é¥¬ ¢ ¢¨¤¥ à §«®¦¥¨ï ¯® è à®¢ë¬ äãªæ¨ï¬X1 X n Bnm m'=Anmr + rn Yn (; ):n m ᨫã ᨬ¬¥âਨ ¯®«¥ ¥ § ¢¨á¨â ®â 㣫 ¨X1 n Bn '=Anr + rn Pn (cos ):n«¨ï¨¥ «¨ç¨ï è à ¯®«¥ ¤®«¦® ¡ëâì ¯à¥¥¡à¥¦¨¬® ¬ «ë¬ ¡¥áª®¥ç®áâ¨, ¯®í⮬ã á â®ç®áâìî ¤® ¤¤¨â¨¢®© ª®áâ âëX1 Bn' = rn Pn (cos ):n222=222222=2=22222200000+(+1=0++1=0++1=06)®¢¥àå®áâì è à ï¥âáï íª¢¨¯®â¥æ¨ «ì®© ¯®¢¥àå®áâìî, £à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥X1 Bn;E R cos + Rn Pn (cos ) = const :+0+1n=0§ í⮣® á«¥¤ã¥â, ç⮠१ã«ìâ¨àãî騩 ¯®â¥æ¨ « ¨¬¥¥â ¢¨¤ = ;E r cos + ErR cos + const : ¯à殮®áâì í«¥ªâà¨ç¥áª®£® ¯®«ï ¨¬¥¥â ¢¨¤ R 2RE~ = ; grad = E cos + r cos ; ; sin r ; r ; 0 : ¯®¢¥àå®á⨠è à r = RE~ = 3E cos f1; 0; 0g:á®, çâ® ¯®«¥ ¬¥¦¤ã ¯®«ãè à¨ï¬¨ à ¢® ã«î, â ª ª ª ¯®«ãè à¨ï¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢ë© ¯®â¥æ¨ «.
®¢¥àå®áâ ï ¯«®â®áâì ᨫ, ¤¥©áâ¢ãîé¨å è à, à ¢ f~ = ~n E8 :®í⮬㠯®«ãè à¨ï ®ââ «ª¨¢ îâáï ¤à㣠®â ¤à㣠. ¨« ®ââ «ª¨¢ ¨ï¢ ᨫã ᨬ¬¥âਨ ¯à ¢«¥ ¢¤®«ì ¢¥ªâ®à E~ ¨ ¯® ¬®¤ã«î à ¢ 300233032020Z=Z9ER1x dx =F = Fz = 8 (9E cos ) cos 2R sin d = 4220220201230= 9E16R :18.3. àï¤ q à ᯮ«®¦¥ à ááâ®ï¨¨ a ®â ¯«®áª®© £à ¨æë à §¤¥« ¤¢ãå ¯®«ã¯à®áâà áâ¢ á ¤¨í«¥ªâà¨ç¥áª¨¬¨ ¯à®¨æ ¥¬®áâﬨ " ¨" . ©â¨ ¯®â¥æ¨ « ¨ ᨫã, ¤¥©áâ¢ãîéãî § àï¤.ãáâì z = 0 - £à ¨æ à §¤¥« ¤¢ãå ¤¨í«¥ªâਪ®¢, z > 0 - ¯®«ã¯à®áâà á⢮ á " , z < 0 - á " .
㤥¬ ¨áª âì à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ ¬¥â®¤®¬§¥àª «ìëå ¨§®¡à ¦¥¨©. ãáâì O - â®çª , ¢ ª®â®à®© 室¨âáï § àï¤,20212127O0 - ᨬ¬¥âà¨ç ï ¥© â®çª ®â®á¨â¥«ì® ¯«®áª®áâ¨ à §¤¥« ¤¨í«¥ªâਪ®¢. ¡®§ 稬 § r à ááâ®ï¨¥ ®â «î¡®© â®çª¨ ¯à®áâà á⢠¤® â®çª¨O, § r - ¤® â®çª¨ O0.®â¥æ¨ « ¢ ¯¥à¢®© ®¡« á⨠(z > 0) ¨é¥¬ ¢ ¢¨¤¥' = " qr + "Ar ; ¢® ¢â®à®© ®¡« áâ¨' = "Cr + "Dr :®â¥æ¨ «ë ' ¨ ' ¤®«¦ë 㤮¢«¥â¢®àïâì ãà ¢¥¨î ¯« á ¢ ᮮ⢥âá¢ãîé¨å ®¡« áâïå, ¯®í⮬ã â ª ª ª ¢® ¢â®à®© ®¡« á⨠¥â ॠ«ì®£®§ àï¤ , â® D = 0.
ª¦¥ ¯®â¥æ¨ «ë ¤®«¦ë 㤮¢«¥â¢®àïâì ãá«®¢¨îá訢 ¨ï £à ¨æ¥ à §¤¥« ¤¢ãå á।( 'j ='j'z ; " ' z = 0:" @n@n 121211 11 22 12 221=011222=0z=0®¤áâ ¢¨¬ ¯®â¥æ¨ «ë ¢ íâ® ãà ¢¥¨¥, ¯®«ã稬 á¨á⥬ã8 q A C< + = ;: q" ; A"; C =" 0:¥è ¥¬ á¨á⥬㠨 室¨¬, çâ®; " ; C = q 2" :A = q "" +"" +"®â¥æ¨ « ¢ ¯¥à¢®© ®¡« á⨠¨¬¥¥â ¢¨¤' = " qr + " q(("" +;"" ))r ; ¢® ¢â®à®©' = (" +2q" )r :®«¥ áâ®à®¨å § à冷¢ ¤¥©áâ¢ã¥â § àï¤ á ᨫ®© q (" ; " ) 1 qF~ = qE~ = ;q grad ' ; " r = ; " (" + " ) grad r r2111212221111 121121221 1181121212122a=2== 4aq "("(";+" ") ) ~ez :221211218.4. ¨í«¥ªâà¨ç¥áª¨© è à à ¤¨ãá a á ¤¨í«¥ªâà¨ç¥áª®© ¯à®¨æ ¥¬®áâìî " ¯®¬¥é¥ ¢ ®¤®à®¤®¥ ¢¥è¥¥ í«¥ªâà¨ç¥áª®¥ ¯®«¥ E . ©â¨¯®â¥æ¨ «.ãáâì ¯®â¥æ¨ « ¢ è à¥ à ¢¥ ' , ¢¥ è à - ' .