Г.Е. Пустовалов - Погрешности измерений, страница 4

Вычисление относительной погрешности∆yвеличины y, измеряемой косвенно, в случае ее зависимости от неyсколько исходных величин a, b, c, ... аналогично вычислению абсолютной14погрешности с тем лишь отличием, что для нахождения частных относительных погрешностей берутся частные производные от натурального логарифма y(a,b,c,...):∂ ( ln y ) ∆y ∆a, =∂a y a ∆y  y =b∂ ( ln y )∆b,∂b∂ ( ln y ) ∆y ∆ c, ... =∂c y c(13)После дифференцирования сюда следует подставить на место величинa, b, c, ... их средние арифметические значения a, b , c, ...Относительная погрешность, обусловленная всеми частными погрешностями (13), вычисляется по формуле∆y=y222 ∆y  ∆y  ∆y  + + + ... y a  y b  y c(14)Особый случай вычисления погрешностей. Ранее предполагалось,что при прямых измерениях каждая из величин a, b, c, ...

измеряется по несколько раз в неизменных условиях и что в ее полную погрешность включена приборная погрешность. Однако возможны случая, когда вели-чины a,b, c, ... имеют принципиально разные значения, сознательно изменяемые впроцессе опыта (например, ускорение свободного падения определяется попериодам колебаний математических маятников нескольких разных длин).В таких случаях рекомендуется вычислить значения искомой величины yдля каждого из n опытов по отдельности:y1 = y(a1, b1, c1, ...),y2 = y(a2, b2, c2 , ...), ...

, yn = y(an, bn, cn , ...) .В качестве наиболее вероятного значения берется среднее значение:y =y 1 + y 2 + . . .+ y n.n(15)Случайная погрешность ∆yсл величины y вычисляется так же, как ислучайная погрешность при прямом измерении (формулы (2),(4),(5), в которых вместо a1, a2, ... , an фигурируют y1, y2, ... , yn .Вычисление приборной погрешности ∆yпр производится следующимобразом.

Находят формулы (10) для частных абсолютных погрешностей величины y. В эти формулы в качестве ∆ a , ∆b, ∆c, ... подставляют приборные погрешности соответствующих величин, а для a, b, c, ... берут их средние значения. За квадрат приборной погрешности величины y при-нимают15сумму квадратов частных погрешностей. Окончательно полная погрешность величины y подсчитывается по формуле∆y = ∆y сл2 + ∆y п2р .(16)Погрешности табличных значений.

Если в формулу для вычислениявеличины, измеряемой косвенно, входят величины, значения которых берутся из математических или физических таблиц, то их вклады в погрешность искомой величины учитываются на общих основаниях на ряду с погрешностями величин, полученных прямыми измерениями.В описаниях работ физического практикума и в табличках на лабораторных столах указаны погрешности с доверительной вероятностью 0,95.Если для физических величин, приводимых в справочниках, указываютсяпогрешности, то под ними, как правило, подразумеваются стандартные отклонения, имеющие доверительную вероятность 0,67.

Для того, чтобы доверительная вероятность составляла 0,95, значения этих погрешностей следует умножать на 2.Если для величин, приводимых в физических или математическихсправочниках, погрешность не указана, то подразумевается, что погрешность не превышает половины единицы последнего разряда числа. Например, в значении синуса 0,479 последняя цифра 9 стоит в разряде тысячных.

Поэтому погрешность данного значения не превышает 0,0005 с доверительной вероятностью 1.В случаях, когда для расчетов в физическом практикуме используютсякалькуляторы или компьютеры, погрешностей математических величин(числа π, значений тригонометрических функций и т.п.) учитывать не следует - они пренебрежимо малы по сравнению с погрешностями измеряемыхвеличин.5. Общие советы к расчету погрешностейРасчет погрешностей обычно представляет собой достаточно трудоемкую часть экспериментальной работы.

Этот расчет можно заметно облегчить, используя приводимые далее приемы.1. Если в расчетную формулу в качестве слагаемого входит поправочный член, численная величина которого значительно меньше остальныхчленов, то при выводе формул (10) или (14) для частных погрешностей егоможно заранее отбросить. Наличие такого члена может быть оговорено втеории, или он может быть обнаружен при численном расчете искомой величины.2.

В случае расчетных формул, представляющих собой сумму различных членов, вычисление погрешностей следует начинать с нахождения16формул (10) для частных абсолютных погрешностей. Относительную погрешность получают делением абсолютной погрешности на искомую величину уже после нахождения численных значений.3. Если расчетная формула состоит из множителей и делителей в разных степенях (формула удобна для логарифмирования), то вычисление погрешностей начинают с нахождения формул (13) для частных относительных погрешностей.

В этом случае абсолютную погрешность находят послерасчета численных значений умножением относительной погрешности наискомую величину.4. Во всех случаях после нахождения формул (10) или (13) для частныхпогрешностей нужно найти их численные значения, которые и следует подставить в формулы (11) или (14) соответственно. При этом погрешности,величина которых меньше наибольшей из погрешностей в пять раз и более,отбрасываются.5. При вычислении погрешностей в числах, участвующих в арифметических операциях сохраняют не более трех значащих цифр.Применение правил нахождения погрешностей в конкретных случаяхподробно разбирается в задачах 1 и 2.Литература1. З а й д е л ь А.Н. Ошибки измерений физических величин.

-Л., «Наука», 1974.2. Д е д е н к о Л.Г., К е р ж е н ц е в В.В. Математическая обработка иофрмление результатов эксперимента. -М., Изд-во МГУ, 1977.3. Т е й л о р Дж. Введение в теорию ошибок. -М., «Мир», 1985.17.