Г.Е. Пустовалов - Погрешности измерений

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТИМ. М.В. ЛОМОНОСОВАФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТКАФЕДРА ОБЩЕЙ ФИЗИКИ ДЛЯ ЕСТЕСТВЕННЫХ ФАКУЛЬТЕТОВМетодическая разработкапо общему физическому практикумуПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙСоставитель доцент Пустовалов Г.Е.Москва - 2001ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ1. В в е д е н и еПонятие о погрешностях. Измерения не могут быть выполнены абсолютно точно. Всегда имеется некоторая неопределенность в значении измеряемой величины. Эта неопределенность характеризуется погрешностью- отклонением измеренного значения величины от ее истинного значения.Приведем некоторые из причин, приводящих к появлению погрешностей.1. Ограниченная точность измерительных приборов.2.

Влияние на измерение неконтролируемых изменений внешних условий (напряжения в электрической сети, температуры и т.д.)3. Действия экспериментатора (включение секундомера с некоторымзапаздыванием, различное размещение глаз по отношению к шкале прибора и т.п.).4. Неполное соответствие измеряемого объекта той абстракции, которая принята для измеряемой величины (например, при измерении объемапластинка считается параллелепипедом, в то время как у нее могут быть закругления на ребрах).5. Нестрогость законов, которые используются для нахождения измеряемой величины или лежат в основе устройства прибора.Классификация погрешностей.

В зависимости от причин, приводящих к возникновению погрешностей, различают их следующие виды.Промахи - грубые ошибки в значениях измеряемой величины.Систематические погрешности - такие погрешности, которые соответствуют отклонению измеряемой величины от ее истинного значения всегда в одну сторону - либо в сторону завышения, либо в сторону занижения.При повторных измерениях в тех же условиях величина погрешности остается неизменной. При закономерных изменениях условий погрешность также меняется закономерно.Случайные погрешности.

Даже при очень строгом соблюдении однихи тех же условий повторные измерения одной и той же величины, как правило, приводят к значением, отличающимся друг от друга, Эта разница взначениях может вызываться причинами самой различной природы. Отклонения от истинного значения при этом могут быть как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения, причем величина отклонения также может быть различной.2Приборные погрешности - погрешности, связанные с точностью изготовления прибора, используемого для измерения.

Они могут носить каксистематический, так и случайный характер.В зависимости от того, каким способом получается значение измеряемой величины, различают погрешности прямых (непосредственных) икосвенных измерений. Прямыми называются измерения, в результате которых значение измеряемой величины получается сразу по шкале прибора(например, измерение длины штангенциркулем) или при помощи какоголибо способа сравнения с эталоном (например, взвешивание на рычажныхвесах).

Косвенные - это такие измерения, когда для нахождения некоторойфизической величины сначала измеряют прямыми измерениями несколькодругих величин, а затем по их значениям с помощью каких-либо формулвычисляют значение искомой величины. Одну и ту же величину часто можно найти путем как прямых, так и косвенных измерений. Например, скорость автомобиля может быть определена по спидометру (прямое измерение) или найдена делением пройденного расстояния на время движения(косвенное измерение).2.

П р о м а х иПромахи, как правило, вызываются невнимательностью (например, приизмерении диаметра отверстия штангенциркулем часто забывают учестьтолщину его ножек). Они могут возникать также вследствие неисправностиприбора. От промахов не застрахован никто, однако по мере приобретенияэкспериментальных навыков вероятность промахов заметно уменьшается.3. Систематические погрешностиСистематические погрешности могут возникать по ряду причин, Вотнекоторые из них.1. Несоответствие прибора эталону (например, пластмассовые линейкис течением времени обычно укорачиваются на несколько миллиметров, секундомер может иметь неправильный ход - спешить или отставать на несколько секунд в сутки).2.

Неправильное использование прибора (например, перед взвешиванием не установлено равновесие ненагруженных весов).3. Пренебрежение поправками, которые нужно ввести в результаты измерения для достижения требуемой точности (например, не учтена зависимость температуры кипения воды от атмосферного давления).Систематические погрешности, обусловленные некоторыми из этихпричин, могут быть сведены к минимуму проверкой приборов, их тщательной установкой, анализом необходимых поправок и т.д. Погрешности, вы3званные некоторыми причинами могут быть скрыты в течение длительноговремени и обычно обнаруживаются при нахождении тех же физических величин принципиально другими методами.

Анализ подобного рода систематических погрешностей может в ряде случаев привести к открытию неизвестных ранее явлений природы.В учебных лабораториях систематические погрешности обычно игнорируются и анализ их не производится.4. Случайные погрешностиСлучайные погрешности вызываются большим числом неконтролируемых причин, влияющих на процесс измерения. Такие причины могутбыть объективными (неровности на поверхности измеряемого предмета;дуновение воздуха, ведущее к изменению температуры; скачкообразное изменение напряжения электрической сети и т.п.) и субъективными (разнаясила зажима предмета между ножками штангенциркуля, неодинаковое расположение глаза по отношению к шкале прибора, различное запаздываниепри включении секундомера и т.п.).

Эти причины могут сочетаться в различных комбинациях, вызывая то увеличение, то уменьшение значения измеряемой величины. Поэтому при измерениях одной и той же величины несколько раз получается, как правило, целый ряд значений этой величины,отличающихся от истинного значения случайным образом.Закономерности, описывающие поведение случайных величин, изучаются теорией вероятностей. Под вероятностью мы здесь будем подразумевать отношение числа случаев, удовлетворяющих какому-либо условию,к общему числу случае, если общее число случаев очень велико (стремитсяк бесконечности). Максимальное значение вероятности равно единице (всеслучаи удовлетворяют заданному условию).

При описании случайных погрешностей обычно используются следующие предположения.1. Погрешности могут принимать непрерывный ряд значений.2. Большие отклонения измеренных значений от истинного значенияизмеряемой величины встречаются реже (менее вероятны), чем малые.3. Отклонения в обе стороны от истинного значения равновероятны.Эти предположения справедливы не всегда.

Опыт, однако, показывает,что все же в подавляющем большинстве случаев они выполняются достаточно хорошо.Среднее арифметическое. Пусть при измерении физической величины а получено n значений: a1, a2, ..., ai , ..., an . Предполагается, что среднееарифметическое этих значений (обозначаемое чертой над буквой)4a =Σain(1)стремится к истинному значению измеряемой величины, если n стремится кбесконечности.

При конечном числе измерений среднее арифметическоепредставляет собой наиболее вероятное значение измеряемой величины.Теория вероятностей позволяет оценить возможное отклонение среднегоарифметического от истинного значения измеряемой величины.Погрешности отдельных измерений. За меру погрешности значенияai , полученного при отдельном измерении, принимают разность междуэтим значением и истинным значением а. Но так как истинное значение анеизвестно то вместо него берут среднее арифметическое a серии измерений.

Разности∆ a1 = a1 − a ,∆a2 = a2 − a ,(2)...................∆an = an − aмы будем называть абсолютными погрешностями отдельных измерений.Среди погрешностей ∆a1, ∆a2, ..., ∆ an встречаются как положительные, таки отрицательные. Легко показать что алгебраическая сумма абсолютныхпогрешностей равна нулю.Средней квадратичной погрешностью, или стандартным отклонением, отдельного измерения называется величинаS ai =∆ a 12 + ∆ a 22 + . . . + ∆ a n2=n−1Σ ∆ a i2.n−1(3)Здесь n - число измеренных значений.

Заметим, что для случая, когдапроведено лишь одно измерение (n = 1), формула (3) неприменима, и дляоценки погрешности следует пользоваться другими соображениями. Однимизмерением ограничиваются, если заведомо известно, что приборная погрешность значительно превышает случайную.Стандартное отклонение имеет следующий смысл. При большом числеизмерений вероятность того, что модуль значения ∆ai не превышаетS ai или, что то же самое, что значение ai лежит в пределах от a − S ai доa + S ai , составляет 0,67 ≈ 2/3. Иначе говоря, если величина a измерена, например, 100 раз, то около 67 случаев будет таких, что a − S ai < ai < a + S ai .5Погрешность среднего арифметического.