Г.Е. Пустовалов - Погрешности измерений, страница 3

Поскольку значения физических величин, полученные в результате измерений, имеют погрешности, они выражаются не точными, а приближенными числами. Незначащими цифрамиприближенного числа называются нули, стоящие слева в деся-тичных дробях до первой отличной от нуля цифры, и нули, поставленные в конце числа, вместо цифр, отброшенных при округлении. Остальные цифры называются значащими. Например, в числе 0,0123 значащие цифры 1,2,3; в числе508000, полученном округлением числа 507893, три нуля - незначащие (незначащие нули подчеркнуты).

В конце числа могут быть и значащие нули.Так, например, во втором числе выражения 5 км = 5000 м нули не заменяютотброшенные при округлении цифры, а выражают точное соотношениемежду единицами длины.Для того, чтобы числа не содержали незначащих нулей, их принято записывать в показательной (экспоненциальной) форме с запятой после первой значащей цифры.

В этом случае числа предыдущих примеров имеют10вид: 0,00123 = 1,23⋅10-2; 508000 = 5,08⋅105. Значащие нули при такой записине отбрасываются: 5 км = 5,000⋅103 м.В числах, выражающих значения, для которых указана погрешность,последняя цифра (сомнительная) стоит в том же разряде, что и первая значащая цифра погрешности.

Цифры, находящиеся в следующих разрядах каксамого числа, так и его погрешности, должны быть отброшены как неверные по правилам округления, причем погрешность округляют всегда в сторону увеличения. Таким образом, сама погрешность содержит только однузначащую цифру. Однако, если первая цифра погрешности единица, то впогрешности оставляют две цифры, а в самом числе сохраняют лишнийразряд. Наконец, если данное число не является окончательным результатом, а будет участвовать в каких-либо вычислениях, то в нем, как и в егопогрешности сохраняют лишний разряд.Запись окончательного результата измерения.

В записи окончательного результата измерения должны содержаться:1) название измеряемой величины и ее буквенное обозначение;2) наиболее вероятное значение измеряемой величины, т.е. значение,получающееся в результате отсчета по прибору, если измерение проводилось однократно, или среднее арифметическое этих отсчетов, если измерение проводилось несколько раз.3) полная абсолютная погрешность измеряемой величины;4) единица измерения, в которой выражена измеряемая величина и ееполная абсолютная погрешность;5) доверительная вероятность результата;6) относительная погрешность, выраженная в виде десятичной дробиили в процентах.При записи результата измерения следует соблюдать приведенныевыше правила записи приближенных чисел.П р и м е р.

Пусть при измерении пять раз длины L предмета с помощью формул (1), (2) и (4) получены среднее арифметическое значениедлины L = 64,945 мм и стандартное отклонение среднего арифметического SL = 0,057879186 мм. Измерения проводились с помощью штангенциркуля с допустимой приборной погрешностью ∆Lпр = 0,05 мм. Задавшисьдоверительной вероятностью α = 0,95, находим по таблице 1 коэффициентСтьюдента для пяти измерений tαn = 2,8.

Умножив на него SL , получим случайную погрешность ∆Lсл = 0,16206172 мм. Полагая, что доверительная вероятность приборной погрешности не менее 0,95, по формуле (6) найдемполную абсолютную погрешность измерения ∆L = 0,16959953 мм и его от11носительную погрешность ∆L / L = 0,0026114332 . Здесь предполагалось,что расчет проводился на калькуляторе с восемью значащими цифрами.Перед окончательной записью результата полученные при расчете числа следует округлить. При этом в абсолютной погрешности ∆L, первая значащая цифра которой 1, следует оставить две значащих цифры, а в относительной погрешности ∆L / L - одну, т.е.

записать ∆L = 0,17 мм и ∆L / L =0,003. Так как последняя значащая цифра абсолютной погрешности 7 находится в разряде сотых, то результат измерения длины также следует округлить до сотых, т.е. записать L = 64,95 мм.Таким образом, запись окончательного результата измерения должнаиметь следующий видL = (64,95 ± 0,17) мм,∆L / L = 0,003 = 0,3%(7)(доверительная вероятность 0,95).Если результат желательно представить в метрах, то первая строкапримет видL = (6,495 ± 0,017)⋅10-2 м.7. Погрешности косвенных измеренийОценка погрешностей, возникающих при косвенных измерениях, основывается на следующих предположениях.1. Относительные погрешности величин, полученных прямыми измерениями и участвующих в расчете искомой величины, должны быть малыпо сравнению с единицей (на практике они не должны превышать 10%).2.

Для погрешностей всех величин, участвующих в расчете, принятаодна и та же доверительная вероятность. Эту же доверительную вероятность будет иметь и погрешность искомой величины.3. Наиболее вероятное значение искомой величины получается, еслидля ее расчета используются наиболее вероятные значения исходных величин, т.е.

их средние арифметические значения.Погрешность в случае одной исходной величины. Как будет видноиз дальнейшего, в одних случаях нахождение погрешности величины, приее косвенном измерении удобно начинать с абсолютной погрешности, вдругих - с относительной.Абсолютная погрешность. Пусть искомая величина y, измеряемая косвенно зависит только от одной величины a, полученной прямым измерением. Границы интервала, в котором с заданной вероятностью лежит величина a, определяются средним арифметическим значением a и полной12абсолютной погрешностью ∆a величины a. Это значит, что значение a может лежать внутри интервала с границами a ± ∆ a .При косвенном измерении для величины y(a) такие границы будут определяться ее наиболее вероятным значением y = y ( a ) и погрешностью ∆y,т.е.

значения y лежат внутри интервала с границами y ± ∆y . Верхней границей для y (при монотонном возрастании) будет значение, соответствующее верхней границе a, т.е. значение y + ∆y = y ( a + ∆ a ) . Таким обра-зом,абсолютная погрешность ∆y величины y имеет вид приращения функцииy(a), вызванного приращением ее аргумента a на величину ∆a его абсолютной погрешности. Следовательно, можно воспользоваться правилами дифференциального исчисления, согласно которому при малых значениях ∆aприращение ∆y можно приближенно выразить в виде∆y =Здесьdy∆a .da(8)dy- производная по a функции y(a) при a = a. Таким образом, абсоdaлютная погрешность окончательного результата может быть вычислена спомощью формулы (8), причем доверительная вероятность соответствуеттой доверительной вероятности, которую имеет ∆a.Относительная погрешность.

Чтобы найти относительную погрешность значения y, поделим (8) на y и примем во внимание, что1 dyy da пред-ставляет собой производную по a натурального логарифма y. В результатеполучится∆ y 1 dyd (ln y )=∆a =∆a .yy dada(9)Если в это выражение подставить a = a и y = y, то его значение и будет относительной погрешностью величины y.Погрешность в случае нескольких исходных величин. В общемслучае в формулу, по которой вычисляется величина y, измеряемая косвенно, может входить несколько исходных величин a, b, c, ...

, для которыхпрямыми измерениями получены средние значения a, b , c, ... и полныеабсолютные погрешности ∆ a , ∆b, ∆c, ... . Нахождение погрешности ∆yвеличины y в этом случае основывается на следующих предположениях.1. Наличие погрешности одной из исходных величин не влечет за собой обязательного появления погрешностей других исходных величин, т.е.13погрешности различных величин, найденных прямыми измерениями, представляют собой независимые случайные числа. Поэтому частную погрешность (вклад в общую погрешность одной из исходных величин) можно находить, полагая погрешности всех других исходных величин равными нулю.2.

При нахождении общей погрешности искомой величины складываться должны квадраты ее частных погрешностей так, как это делается длянахождения полной абсолютной погрешности прямого измерения, обусловленной независимыми между собой случайной и приборной погрешностями.Абсолютная погрешность. Из пункта 1 следует, что правило для нахождения любой частной погрешности величины y такое же, как и в том случае, когда y зависит только от одной исходной величины.

Но при дифференцировании в формуле (8) следует брать частную производную y по данной исходной величине, так как предположение об отсутствии погрешностей у других исходных величин соответствует постоянству этих величин.Таким образом, частные погрешности ∆ya, ∆yb, ∆yc, ... величины y(a,b,c,...)вычисляются по формулам( ∆ y )a=∂y∆a,∂a( ∆ y )b=∂y∆b,∂b( ∆ y )c∂y∆ c , ...∂c=(10)Здесь в выражения (10), полученные в результате дифференцирования, следует подставить средние арифметические значения исходных величинa , b , c , ...Абсолютная погрешность величины y, обусловленная всеми частнымипогрешностями, как это следует из пункта 2, равна∆y =( ∆ y )2a+ ( ∆ y )b + ( ∆ y )c + .

. .22(11)или∆y = ∂y∆a ∂a2 ∂y+∆ b ∂b2 ∂y+∆ c + ... . ∂c2(12)Так как выражения (10) для частных погрешностей могут быть довольно громоздкими, то легче сначала по формулам (10) найти их численныезначения, а затем воспользоваться формулой (11). Формулу же (12) вообщепри этом писать не требуется.Относительная погрешность.