П.С. Украинский - Исследование сходимости рядов и функциональных последовательностей, страница 2

~ ~, '( — 1)п и . Исследовать на абсолк1тную и условную сходимость. п=1 ~/п Начнем с исследования на абсолютную сходимость. Рассмотрим ~~, ~а„~ =,> . Имеем > — для п > 3. Из расходимости ряда 1пп 1пп 1 и:1 и:1 — и первого признака срав1ьения следует, ~1то абсол1отной сходимости 1 п=1 П~ нет. Далее по признаку Лейбница 1. Ряд зпакочередуютцийся 1 — и и' 2 3. Для проверки монотонности рассмотрим функцию д = для х > 1. 1пх Найдем произыодную д = . Если 2 — 1пх < О, откуда х > е, то 2 — 1пх 2 2~Гх д'(х) < О и функция убывает. Вместе с ней при и > е последовательность монотонно убывает.

Ряд сходится по признаку Лсйбница. Сходимость условная. Пример 16. 2,' сов(4-+ ли) яп —. 1 77= 1 Решение. сов( — — яи) = ( — 1) —, яп — > О. Рассмотрим ряд 1г ~ ~ъ72 1 4 1 2' ~а ~ = 2 ~ ыш —. Сравним с расходящимся рядом ~ — по признаку 77=1 77=1 77=1 1 яп— сравнения с пределом. 1пп и = 1.

Ряды ведут себя одинаково. Абсолют- 77 — 7 со и ной сходимости нет. Далее по признаку Лейбница: 1 ъ72 „, 1 ~ сов( — + 1ги) яп — = ~( — 1)" яп— 4 и 2 и 77= 1 77=1 1) Чередование знаков есть; 2) 1пп ~а„~ = 1пп ~( — 1)" ыш и~ = 1пп яп и —— О. 77 — 7 7777 П вЂ” 7 ~Х~ 77 — 7 7777 3) Так как О « — 1, а япх для О < х < — монотонно возрастает, то 1 7Г из неравенства — > 1 следует яп — > яп 1. По признаку Лейбница и "и+1 ' ' ' и и+ 1' ряд сходится. Сходимость условная.

Напомним дыа важных равенства из элементарной тригонометрии. вш((Х + 1) а,7'2) ыш(№1 772) ы1п(а/2) сов ((и + 1) а/2) ыш(иа,7'2) ы1п(с7,7'2) где а~27гт, таей, 11 Из равенств очевидпгям образом следует два неравенства: 1 ~ вш(а/2) ~ ышпа п=1 1 < ~ яп(а/2) ~ ' сов па п,=1 где аф21гт, тЕЖ. Пример 17. (О < х < тг). Исследовал ряд па, абсолютную и условную п=1 сходимость. Решение. По признаку Дирихле и неравенству (Я) имеем: а 1 х 7г ыш их <,, где О « — — (по нсраыснстыуЯ) ~ яп(х/2) ~ 2 2 п=1 — — + О монотонно. Очевидно. Ряд сходится. 1 п Докажем, что абсолютной сходимости нет. Рассмотрим 2 Явит .

Из п=1 неравенства ~ ыших~ ) яп их следует ~ яппх~ ыш2пх 1 — сов 2пх ) п п 2п (1.16) Пример 18. + сов п. Исследовать на сходимость. п+ По признаку Дирихле, используя неравенство (С) 1 1),> сов и < п=1 яп— 2 2) 1пп ~/ = 1пп =О, Й+ П1 „, 1О «уп + Ряд х~, — 2 х~, расходится 1аккак ряд 2 п=1 п=1 п=1 п=1 сходится по признаку Дирихлс, а ряд — х~, — расходится. В силу нсраыснстыа 1 1 2 и п=1 (1.16) и первого признака сраынсния ряд из модулей расходится.

12 3) Для доказательства монотонности рассмотрим функцию г (х) = — — 10 ~/х х+ 0 для х>1. х+ 10 2,,Гх 10 — х (х+ 10)2 2у'х(х+ 10) Если 10 — х < 0 откуда х > 10, то ~'(х) < 0 и 1(х) убывает. Вместе с 1(х) последовательность 10 ~о~о~о~~о убывйет для п > 10. '1о, что ъ/и п+ 10 монотонность не для всех п, не опасно. Можно рассмотреть остаток ряда для и > 11. Ряд сходится. Абсолютной сходимости нет. Доказательство от противного, как в предыдущем примере. Пример 19. ( — 1) 2, .

Исследогать на абсолютную и условную сходимость. Рассмотрим ~, ~а,„~ = ~ 1, . Имеем 71, 1, 1п и|и+ 1 1 п 1п(п + 1) (п + 1) 1п(п + 1) Рассмотрим 2 ' . Применим интегральный признак сходи- 1 мости дх, /' дх, ( д(1п(х+ 1)) 1пп 1пп (х+ 1) 1п(х+ 1) и. +к / (х+ 1) 1п(х+ 1) л-~+,/ 1п(х+ 1) 1ш~ (1п1п(х+1) ~ = 1пп (1п1п(В+1) — 1п1п2) =+ос. Л вЂ” >+сю ' 1 / Л вЂ” ~+ос Интеграл расходится.

вместе с ним ряд расходится. Из нерйвенства вытекйет, что ряд из модулей расходится. Абсолютной сходимости нет. Исследуем на условную сходимость. Непосредственная проверка показывает, что знаки членов изменяются так: — — + + — — + + — — . Применим нриз~ак Дирихле. ~( — 1) -' < 2. и=1 1 1 1 > 1пп = О. и. 1п(и+ 1) (и+ 1) 1п(и+2)' — ~х и1п(и+ 1) По признаку Дирихлс ряд сходится. Сходимость условная. ~ 4. Функциональные ряды. Поточечная сходимость Следствие 4.2 Пусть ап ) 0 и 1пп ~уап = д > 1, тпо 1пп ап у'= О. и — )00 п-~ОО Доказательство аналогично предыдущему. Пример 4.1. Найти область абсо1потиой и условной сходимости ряда, й(в ~-2) Решение. Пусть х ~ — 2.

Ряд может быть и положительным и знакопеременным. На~~с~ с исследовйния йбсолк1тной сходимости. Т.к, если ряд окажется положительным, то сходимость ряда равносильна абсолютной сходимости. Рассмотрим 2 — ~ — + ~) = ~ — + 2 . По признаку Коши п=1 п=1 1 х 1 1пп = 1пп х п х+2 х+2 х+2 ( (уп — 'т 1, см.

пример 2.13). Если + 2 < 1, то ряд сходится. Неравенство — + 2 < 1 решаем методом интервалов: )х < )х+ 2) 1) Если х < — 2, то — х < — х — 2., 0 < — 2. Решений нет. 2) Если — 2 < х < О, то — х < х+2, 2Х > — 2, х > — 1 с учетом условия получим х Е ( — 1; 0). 3) Если х > О, то х < х+ 2, 0 < 2 верно при всех х б (О, +ОС). Получим при х Е ( — 1, +Ос) рЯД схОДитсЯ абсолютно. Рассмотрим ряд У, 'ЙУп(х), Где Йтп(х) функции., задйпп1>1е па Об!цем п=1 множестве З. При фиксированном х функциональный ряд прсвращастся в числовой.

Совокупность всех х, при котор11х ряд сходится, называется областью сходимости функционального ряда. При разных х ряд может быть знакопостоянным или знакопеременным. Далее применяют соответствуннцие признаки. Извсстныс признаки Даламбера и Коши имеют одно полезное следствие. Следствие 4.1 Пустпи плспы ряда 2 ап полоо1сителыт, 1пп а+ =д п,=1 п — «ск3 и и о ) 1. Тогда, 1пп ап ф О. ДРУгими словили, если РЯд Расходип1сЯ, по п — ~~ приопаау Дилаллбера, тпо для ряда ис оыполт1епо исобходилаое. условие сходилостпи.

ап-е1 Доказательство. Так как 1пп "+ = о ) 1, то тю свойству предела и — ~ж последовательности 3 п~в Е И, Чп > пв получим "'"1 > 1. Откуда ап+1 > ап п и ап+1 > а„> О. Пусть х > 1. Решая аналогично, получим при х Е ( — оо — 2) п2 х+2 7 — 2 — 1) дбсопю оо с од ос о". По с. сдс ю 4.2 — ( ) О. 1У х 7 п 1,х+2 Откуда, — ~ -б0 О. Необходимое условие сходимости ряда пе выпол' п1,х+ ноно. Ряд расходится.

Пусть 2 — — 1 откуда х = — 1. Признак Коши х+2 ответа пе дает. При х = — 1 исходный ряд примет вид ,'2 ( — 1)" —. Такой ряд а=1 абсолн2тно расходится. Сходимость условия по признаку Лейбница. Ответ: При х 7= ( — 1:+ос) ряд сходится абсолютно, при х = — 1 ряд сходится условно, при х Е ( — оо; — 2) 7 7' ( — 2; — 1) ряд расходится. ~ 5. Функциональные последовательности Рассмотрим последовательность функций 1'7,(х), заданных на общем для всех множестве З.

Зафиксируем х 7= З. Если числовая последовательность ~71(х) имеет консчныи предел, го говорят, что последовательность ~77(х) сходится в точкс х. Множество таких х' называют областью сходимости функциональной последовательности Ях). Определение 5.1 Последовательность 1п(х) ииаыоастся сходящейся к ~(х) (потообе био) ~ш миоэ(сестие Х, если Чх Е Х, Чя > О, 3пп Е 1771 такое., что для ~п > п72 .

!~„(х) — ~(х)/ < с. Заметим, что п71 — — п77(ссх), а 1(х) низьит7оп7, предельной функцпей. Пример 5.1. Исследовать на сходимость и найти предельную функцию для ~„,(х) = х" при х 7== ~ — 1;2). Решение. Рассмотрим следующие случаи: 1. Пусть х = — 17 тогда 1пп ( — 1)" — нс существует. 71 — 7 00 2. Пусть ~х~ < 1, тогда 1пп х" = О. 71 — 7 00 3.

Пусть х = 1, тогда 1пп х" = 1. П вЂ” 700 4. Пусть 1 < х < 2, тогда 1пп х" = оо. 77,— 700 Ответ: Последовательность сходится для х Е ( — 1, 1) ) О, если — 1<х<1, 1, если х= 1. Замечание. Т.к. при фиксированном х 1'„(х) превращается в числовую последовательностьс то для вычисления предельной функции надо использовать способы, примснясмыс к числовым последовательностям. 2 Пример 5.2. Найти предельную функцию для ~71(х) = 1+ Зп+ х Решение. х2 х2 + 2их — + 2х 1пп 2 — — 11ш л ~х 1+3и+х л ~х' 1 ,2 — +3+— п п Ответ: ~(х) существует для х Е К, ~(х) = — х. 2 Пример 5.3.

Найти предельнук~ функцию для ~„(х) = п в1п х. х х в1п— х 1пп па1п — = 1пп = х. 71,— ~Х и и — ~ж 1 х— п ~(х) =х, х ЕК. 1п па Пример 5.4. Найти предельную функцию для х Е (О, +ос), п патуральпое. Решение. При п -+ сс имеем неопределенность ваться правилом Лопиталя, будем считать. что п Е Применим правило Лопиталя. — Чтобы воспользоК+ и х фиксировано.

1 1, '*, 1 1пп = 1пп пх = 1пп — = О. ,-~, 2п+ Зх — м 2 — ~ж 2п )~,„(х) — ~(х)) ( е. Критерий 5.1 равномерной сходимости Ях) равномерно сходлатся к ~(х) для х е Х погда и только тогда, если 1пп апр ~~„(х) — ~(х) ~ = О. ~ тех Замечание. Критерий 3.1 позволяет доказывать как наличие равпомерной сходимости, так и ее отсутствие. Пример 5.5. ~„(х) = ~'~~~, х б К.