П.С. Украинский - Исследование сходимости рядов и функциональных последовательностей

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ РЯДОВ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Практическое пособие для студентов Специальность "Прикладная математика и информатика" (010200) Воронеж 2003 Утверждено научно-методическим советом факультета ПММ ~"23"декабря 2003 г..протокол М 3) Составитель Украинский П.С.

Практическое пособие подготовлено на кафедре дифференциальных уравнений факультета Прикладной математики, информатики и механики Воронежского государственного университета. Рекомендуется для студентов первого курса дневного отделения факультета ПММ ВГУ и его филиалов. Введение Исследование сходимости числовых, а особенно исследование на равномерную сходимость функциональшях последовательностей и функциональных рядов представляет довольно трудную задачу из-за большого числа признаков сходимости и множества применяемых приемов.

Целью настоящей мстодической разработки является показ па конкретных примерах основных способов исследования. В данной разработке из теоретического материала приведены только основныс опрсдслсния, теоремы и признаки сходимости. За полным изложением теории отсылаем читателя к соответствук»цим учебникам или курсу лекций. В ~ 1 приводятся основныс определения и свойства числовых рядов.

В ~ 2 рассматривается сходимость положительных числовых рядов. В ~ 3 излагаются способы исследования сходимости знакопеременных рядов. В ~ 4 изучается поточсчная сходимость функциональных рядов. В ~ 5 рассмотрена поточсчпвя и равномерная сходимости функциопвльшях последовательностей. ~ 6 посвягцен изучении) равномерной сходимости функциональных рядов. ~ 1. Числовые ряды Пусть имеем пекотору1о числовую последовательность а1, а2,..., а„,..., тОГДа ВЫРажЕНИЕ (ИЛИ СИМВОЛ) а1+ аи+... + аи+... НаЗЫВаЕтСЯ ЧиСЛОВЫМ рядом. Сокращенная запись х~ а„.

Частичной суммой ряда назовем и=1 СУММУ П ПЕРВЫХ ЧЛЕНОВ Яи = а1+ 2+ + аи. Определение 1. Ряд пизьта1от сходящимсц сс1и суи1естпоувт (конечный) 1пп Я„= Я. Если 1пп Я„нс УЩссто11ст или бссконс мни то РЯд и — ~х и — ~х назыеа от расходящимся. Теорема 1 (необходимое условие сходимости). Если ряд 2 ' аи и=1 сходится, то 1пп аи = О. Обратное утверждение неверно. Например, ряд 1 + — + ... + ч + .. 1 1 расходится, тогда как — — + О.

1 п Доказательство теоремы см. учебник 1Ц. С помощью необходимого условия нельзя доказать сходимость ряда. Но если необходимое условие пе выполнено, то ряд расходится. Например, исследуем на сходимость ряд 2 ' ( — 1)". Решение 1пп ( — 1)" нс существует. и=1 и — 1х х Необходимое условие нс выполнено. Ряд расходится. Ряд х ~аь называстй=и+1 :х ся остатком ряда ,'~, 'а1, 1=1 Теорема 2.

Ряд и, его остаток сходятся или расходятся одновременно. Дальнейшее изучение сходимости рядов делится па две ветви: ряды положительные и рядь1 знакопеременные. ~ 2. Положительные числовые ряды Назовем РЯД х ~а„положительпь1м., если Дли пекотоРого пс, пРи и > на и=1 вьшолнсно аи ) О. Поскольку при изучении сходимости ряда всегда можно изучать сходимость некоторого остатка, то будем считать., что аи ) О при п > 1. Приведем осповшяе признаки сходимости положительшлх рядов. Признак сравнения 1 (с неравенством).

Пусть даны два ряда: х ~, 'а ряд А и ~ би - ряд В. и=1 и=1 Пусть О < а„< Ьи, п = 1, 2,..., тогда из сходимости ряда В вытекает сходимость ряда А, из расходимости ряда А вытекает расходимость ряда В. 1 ,1~ 4п — 1' ~. ъ/и+1 — /и „~. ъ/и+1 — 4п — и+1 ' —" ~" 2п+1 77=1 77= 1 Для выбора ряда для сравнения применяют "правило старшей степени".

;Ы 00 Ряд 1 сравним с рядом 2 -~~ —— 2 — расходится, По признаку сравне„=1 и ния 2 2п+ 1 1пп Зп2+ и+ 1 77 — 77777 1 и 1 2п~+ и 2+ 2 1пп = 1пп Зп~+и+1 1 1 3 3+ — + —. и и Ь = о -7= О. Получили, что ряды ведут себя одинаково, следовательно, ряд 2 расходится. Признак сравнения 2 (с пределом). а„ Пусть существует конечный или бесконечный 1пп —" = Л, тогда: ь„ 1) если О < Ь < +оо7 то ряды А и В или оба сходятся или оба расходятся; 2) если Л = О, то из сходимости ряда В вытекает сходимость ряда А; 3) если Л = +ос, то из расходимости ряда В вытекает расходимость ряда А. Признак Даламбера (г1редельная форма).

а„11 Пусть для ряда ~ , 'а„суьцествует 1пп "+1 = 7;7. Тогда при 71 < 1 ряд а=1 сходится, при Ч > 1 ряд расходится, при д = 1 ответа нет. Признак Коши (предельная форма). Пусть для ряда 2, 'а„су1цествует 1пп „'Га = д. Тогда нри 7у < 1 ряд сходится, при 71 > 1 ряд расходится, при д = 1 ответа нет. Интегральный признак сходимости. Если функция ~(х) нсотрицательна и убывает на полупрямой х > 1, то для того, чтобы ряд 2 ~(п) сходился, необходимо и достаточно, чтобы 77=1 сходился интеграл / ~(х)дх. 1 Для пользования признаками сравнения нужен некоторый запас рядов с известной сходимостькь Такими рядами являются обобщенно гармонические ряды 2,' —.

При р > 1 ряд сходится, при р ( 1 ряд расходится. Дока- 1 п=1 зательст1ю проводится с поминанью интегрального признака сходимости, см. И В первук7 группу примеров вклкп1им ряды, общий член которых зависит от степени переменной и. 2и-71 — „, 2~~' -7и — 7' ъ/и+1 — ~/и Ряд х ~, 'из примера 4 сначала надо преобразовать так, и+2 чтобы убрать неопределенность ,)и+ 1 — ~/п. 4и+ 1 — ~п (у'и+ 1 — ~и) (ъ и+ 1+ ~гп) а и + 2 (и + 2) ( /и+1 = ~гп) (и + 2) (ъ и + 1 + ~гп) Далее сравнить с рядом ~ .

Ряд сходится. „,=1 и Ряд 5 сравнить с рядом х~ .. Ответ: расходится. Для следующей группы примеров применяются эквивалентныс бесконечно малые. Определение. Пусть ири х >. хв а(х) и,З(х) яо,ллются бетонечно милыми. Тогда а(х) и Д(х) называются эквивалентньсми, если а(х) 1пп = 1. Приведем список основных эквивалентных бесконечно малых при х — ~ О. х яп х $и х 1п(1+ х) атее~ х вЬ х (е"' — 1). Для поиска ряда для сравнения фупкцик> заменяя>т па более простую эквивалентную бесконечно малую. П1>име1> 6. Š—;— —,— яп — сравнить 1 1 и а=1 ъ' и с рядом 1 ,, 1ъ/и 1, 1 — яп— ,/и и = 1пп 1 3/2 1 яп— и 1 и 1пп Ряды ведут себя одинаково. Ряд сходится.

Замечание. Если при применении признака сравнения с пределом получается. что А = О или А = оо, то это может означать, что ряд для сравнения выбран неудачно. Но если ответ получен, то с этим можно мириться (см. пример 10). Ряд 2 сравнить по признаку сравнения 2 с рядом 2,' —. О>инеи>> схо- 1 , 1и дится. РЯд 3 сРавпить с РЯдом х~ а~, . О>иве>и. сходитсЯ. „,=1и ~ Пример 11. ~,е ~ п=1 Для доказательства сходимости сравнить со сходящимся рядом ~ — р, где 1 п=1 Пример 12. п=1 Рсшснис. По признаку Даламбера 1 3 =3 1пп = — >1, 11+-„)и следовательно, ряд расходится. Пример 13.

=1 (з - -г и По признаку Коши и» 1 11п1 п — ~х 1 3 и 1пп .'„уа„= 1пп п-+~ п — ~ж Так как з м„„ПО ПраВИЛу ЛОПИтаЛя, а 1;„, 1 1пп и ° = 1пп е ° =е - и=е п — ~ж и — ~ос считая и Е Л Пример 14. 5-~-3 ( — Ц' 2" п=1 р > 1. Например, с рядом 2 — ~. применить признак сравнсния с пределом. 1 „1И Признак Даламбера применяют к рядам, общий член которых содержит и.', ап или аналогичные по скорости роста функции.

Признак Коши применяют, если общий член ряда содержит а', ип или аналогичные по скорости роста функции. Ряд положитсльныи. Имеем „, ( — „,. Ряд 8 . ~ — „сходится как 5+ 3( — 1)п 8 1 п=1 сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии (или по признаку Коши). По первому признаку сравнения ряд сходится. ~ 3, Знакопеременные ряды ПУст1. Дан 2 ап, гДе члены ап пРоизвольного знака. РассмотРим РЯД п,=1 ~ап~.

Известно. что если ряд из модулей сходится., то сходится и исходный п=1 ряд (см. учебник). В этом случае сходимость ряда называк1т абсолютной. Если ряд из модулей расходится, а исходный сходится, то ряд называют условно сходящимся. Для исследования па абсолтотпую сходимость примепя1от признаки сходимости для положительных рядов. Для исследования на неабсолютную сходимость применяют признаки Лейбница и Дирихле. Признак Лейбница х Пусть дан ряд ~ ап. Если п=1 1) знаки ап чередуются, ( ап = ( — 1)" ~ а„~ при п > пв ), 2) 1пп )а,! = О, 3) )а„) > )ап+1) ПрИ П > ПС, то ряд сходится. Признак Дирихле Ряд ~, апбп сходится, если п=1 1) существует ЛХ такое, что для всех Х к < ЛХ, п=1 2) Ьп монотонная последовательность, 1пп бп = О. и — ~00 Пример 15.