П.С. Украинский - Исследование сходимости рядов и функциональных последовательностей (1111815), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Исследовать па равномерную сходимость. Ответ: ~(х): — О., для х Е (О, +ос). Переходим к понятию равномерной сходимости. Это частный случай поточсчной сходимости. Пусть 1 (х) предельная функция последовательности ~„(х) в смысле поточечпой сходимости для х Е Х. Определение 5.2 Последовательность ~(х) равномерно сходится к ~(х) для х Е Х, если Че > О, Лпа = па(е,) Мп > па и Чх Е Х: Решение. Найдем сначала, предельную функцию. аших, 1 1пп = 11ш — в1ппх = О. и — «х п и — «хи (Произведение бесконечно малой — на ограниченную вшпх.) Получили 1 п ~(х) = О.
Далее но определению 5.2 возьмем е ) О. Решаем последнее в цепочке неравенство п < е, и > —. Положим пи = [ — ]. 1, 1 Г11 Тем самым найден номер па, завися«ций только от е. Определение 5.2 вы- нолпепо. . Исследова«ь па равномерную сходимость. пх + пх' б) 0<х<+оо.
Пример 5.6. ~и(х) = а) 0<с<х<+д, Ре«пение. пх х 1пп = 1пп = 1. 1'(х) = 1 для 0 < х < +ос. — «с 1+ пх — «х 1 — +х и В случае а) ~~и(х) — 1(х)~ = — 1 — = < < < е 1+ пх 1+ пх 1+ пх их ио /~,(х) — 1(х)/ = Для х Е (О, +со) + монотонно убывает, поэтому 1 +их 1, 1 апр /~„(х) — ~(х)/ = впр = 1пп = 1.
,.е«в+ 1,,е1а+х1 1+ пх .:-«+а 1+ пх 1 1пп впр = 1пп 1=1. «'е«0 +х1 1 + пх и — «х Равномерной сходимости нет. 1 ~ О. Пример 5.7. ~и(х) = пх.е "'. Исследовать на равномерную сходимость. а) 0<х<1, б) х>1. Рсшснис. Для нахождения предельной функции временно будем считать, что п Е З.", и применим правило Лопиталя но переменной п. 1 1пп пх. е "' = 1пп — „= 11ш „,, = 11ш — „, = О.
~(х) = О. и — «х и — «хе и — «хеи' Х и — «хел 1 ... 1 = ( — '-1 пд Ы < е откуда и ) —. Положим пи = 1 — 1. По определению сходится равномерно. В случае б) воспользуемся критерием 5.1. 17 ~~„(х) — 1'(х)~ = ~пхе "'~ = пх е "" = г„(х). Для нахождения впрг„(х) изучим г„(х) как функцию от ванном п. г,',(х) = пе '" — и'е "= пе "'(1 — пх). г',(х) = О, сели 1 — их = О, то критическая точка х = При 0 < х < — г„'(х) > 0 и г„(х) возрастает от 0 до е ~. При — < х+ оо г,',(х) < 0 и г„(х) убывает от е 1 до О.
Имеем х = — точки локального максимума, й — Е (О, 1) 1 1 х при фиксиро- 1 и нри п>2. гпах г„(х) = впр г„(х) = е ~е1а,ц „ф 11 1пп впр г„(х)= 1ппе ~=е ~~0. и — ~х ~а 1~ и — +оо Равномерной сходимости нот. Во втором случае при х > 1 г„(х) монотонно убывает. Максимум будет нри х=1. 1пп ыпрг„(х) = 1пп г„(1) = 1пп и е "= 1пп —,, = 0 П вЂ” ~00 Р— ~СЮ -~ж е" По критерию 5.1 сходимость равномерная. Примеры 5.8 -- 5.10. Исследовать на раыномсрную сходимость. жал п~х и +х Указанис. Воспользоваться определением равномерной сходимости и ограниченностью атс1ц х.
Сходится равномерно. 5.9. 7„,,(х) = в1п(пе "'), х Е [1,+со). Указание. ( ы1п(пе ""')) < пе ""'. Далее по критерию 5.1. Сходится равномерно. 2 510. 1'„(х)= — ~ — '* — ~, а) 0<х<1; б) х>1. п +х Указанис. Найти гпах~~ (х) — 1'(х)~, считая и фиксироыанным. Обратите внимание, где лежит точка гпах. Далее по критерию 5.1.
Ответ: а) сходится равномерно; б) сходится неравномерно. ~ 6. Равномерная сходимость функциональных рядов Определение 6.1. Фднкционаявнът ряд 2', Г„(х) навьтается равноа=1 мерно сходяиимся на мноэкееапве Х, если Я„(х) равномерно сходится к Я(х), аде Я,„(х) — мастичная сумма ряда, а 5(х) — сулла ряда. 18 Легко доказать следующуго теорему. Теорема 6.1. Для того чтобы ряд сходился равномерно на мнооесестве Х, необходимо и достапгочно7 чтобы г)оследовательносп)ь остиатков ряда х„(х) = 2 1))7(х) равномерно сходились к фупкиии пгоэ)сдеспгве)гно реганой 1=77+ 1 идл)о ни Х. Свойство 6.1. Равномерная, сходимость ряда, и его ос)иатка происходи7)), Г)дновр)еменнх).
Приведем два основных признака равномерной сходимости. Признак Вейерштрасса Если существует последовательность чисел с„ ) О такая, что ~Г.„(х)) < < с, для х е Х и ряд х~, с, сходится, то ряд х~, Г„(х) сходится равномерно п,=1 77=1 на Х. Признак Дирихле Ряд х~, а„(х)6„,(х) сходится равномсрно на множестве Х, сели вьшоля=1 невы следук)щие услОВия: 77, 1) 5ЛХ ) О, Мп 7== И, Чх 7== Х: 2, а~(х) < ЛХ. й=1 2) Последовательность 6 (х) монотонно и равномерно стремится к нулю при и -+ оо, т.с. 677(х) ) 677+1(х)7 6,(х):) О, при х Е Х, п — 7 оо.
Напомним, что значит 677(х)::1 О на Х. Определение 6.3. 6„(х):4 О ири и — ~ оо и х Е Х, если Че ) О, Лпа = па(е), Мп ) па и Чх е Х: !677(х)/ < е Пример 6.1. Доказать. что для — 1 < х < 1 ряд 2,' х" сходится. но не 77=1 равномерно. Х7 Решение. Рассмотрим ряд из модулей х ~~х" ~. По признаку Коши 1пп )а77 = 1пп ~)) х'~ = 1пп ~/х"'~ = )х и — )х и — )со 77 — )ж Если ~х~ < 1, то ряд сходится. Поточечная сходимость доказана. Рассмотрим остаток ряда. По формуле суммы члснов бесконечно убывающей гсомстричсской прогрессии находим и+1 „о= Е.-= * Л=77+1 Примеры 6.2.
— 6.6. Пользуясь признаком Вейерштрасса, доказать рав- номерную сходимость рядов. Замечание. Для получения мажорирукгщего ряда 2 с„использук1т очеп=1 видные или известные неравенства. В более трудных случаях функцию Г„(х) мажорируют (ограничивают сверху) ее максимумом или впр Г„(х). и=1 П +Х а1п2 2их < 1 < 1 0пс ~хо,'/пс хс и" ' Решение: Ряд 2 ', сходится. Исходный ряд сходится равномерно.
1 и=1 пт 6.3. 1,' -с'— ~ —" — *, — со < х < ~-оо. сссххпх <х 1 <х 1 х ~;п4п ~ х ~-пхп ~ п~ Решение: Ряд 2, —, сходится. Исходптй ряд сходится равномерно. 1 „=1П 2 64. х ~*,, — ~ < <+~. „11+и / х х2 х2 х2 Решение: 1+п х 1+п х п х п 3/2 2 3/2 2 3/2 2 3/2 ' Ряд ~, сходится. Исходныи ряд сходится равномерно. а=1 П И.~. К вЂ” "хс — х, — со < х < -~со. , 11+и х Напомним известное неравенство для а ) О, 6 ) О. а + 6 ) 2ъ' а6. ПРИМЕНЯЯ К ЗН<аМЕН<атЕЛК1, ПОЛУЧИМ их п )х п )х) п. Х) 1 1 + и" х2 1 + и'Х2 2 п "х2 2п'/2'Ы 2пз/2 Для равномерной сходимости ряда необходимо и достаточно., чтобь1 г„(х):Ф О при п — + оо и х б ( — 1; 1).
Воспользуемся критерием 5.1 равномерной сходимости. и+1 и-~1 Т.к. 1пп ~ — — — — +ос, то и впр ~ — — — — +ос :г (1 отсюда г„(х) не сходится равномерно к нулкх Равномерной сходимости ряда нет. 20 Ряд 2 ~ сходится. Исходный ряд сходится равномерно. 1 „— 12п у 6.6.
2 ' пхе ' ', О < х < +со. 11 =1 —.88 (~8 Рассмотрим С~.„(х) = ихе "'" для х > О и будем искать максимум функции при фиксированном и. Е,(х) = пе "' " + пх е ' " ( — 2хп') = п е " " (1 — 2п'х2). 1 '8 1 1 1 1 ~) а 32 ъу2п~ 2и" ъу2е п ' Ряд 2 ' сходится. Исходныи ряд сходится равномерно. ъ2е„=,ип~' 6.7.
Пользуясь признаком Дирихлсу доказать равномерную сходимость ряда ~,, 6 <х<~г. „1 ~уп+ х Решение. Используя неравенство ® 33, получим 1 1 1 в1пих « =, п=1 в1п — в1п — в1п— 2 2 12 7Г х ус тк. — « — —, 12 2 2' 1 1 ) очевидно. ус; х суп -~- 1 -у х 1пп = О. Равномерное стремление к нулю докажсм по опрсдс- 1 — у~,/и+ х ленин~ 6.3. 1 1 1 1 — « е. Откуда п ) —. ъ/и+ х пуп+ х 8уп Положим ив = ~ — 2 ~. все условия признака Дирихлс выполнены. Сходимость Г18 равномерная.
8.8. 8' ,у — оо < х < уса. соа'СппУ81 па -уха Рс~с~~г. По р .з аку Дпр~ю~с Л' 1 ~ сов(7гп(3) <,, по нсравснству (С). п=1 81п— 6 Приравнясм нулю, решим уравнение, получим х = критическая 1 ъl2п' тоу|ка. х = — не рассматриваем по условикх Производная меняет знак 1 ъ' 2па с + па, —, значит, это точка максимума. С учетом того, что Г„(х) > О при х > О, имеем 21 рввпомврпо в мопотоппо отрвмл тю к пулю.
Доквзвтсссвство юю- 1 о' -,- мв всю ~но првпмпушвму. а=1 Решение. По признаку Дирихле 1 11тн = О. — х+ 1ип 1 1 > х+ 1ип х+ 1и(п+ 1) 1 1 х+1пп х+1ип Рсшая последнее в цепочке неравенство, пд = ~ехр( — )). Сходимость равномерная. 1 1 < (е. 1нп получим и > ехр( — ). Положим 1 22 Литература 1. Демидович Б.П. Сборник задач и унражнений но математическому анализу,' Б.П. Демидович.
М, 2002. — 558 с. 2. Фихтенгольц Г.Н. Курс дифференциального и интегрального исчисления: В 3 т., Г.Н. Фихтенгольц. Снб., 1997. Т. 2. 800 с. 3. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа,' Л.Д. кудрявцев. М.. 1981. — Т. 1, — 687 с. 4. Сборник задач но математическому анализу. Интегралы. Ряды,' Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов и др. — М, 1986.
— 528 с, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
