С.А. Теляковский - Конспект лекций по математическому анализу, страница 9

Гладкие многомерные поверхностиТакой трюк заведомо не пройдёт, если всё расположено в плоскости, параллельной (x, y). Но тогда n = const, инесложно показать, что формула Стокса утверждает равенство типа 0 = 0.Следствие 2.5. Ротор векторного поля не зависит от системы координат. Рассмотрим нормаль n в какой-либо точке области G и рассмотрим перпендикулярную ей плоскость,проходящую через её начало. Рассмотрим в этой плоскости диск σε радиуса ε. Здесь мы используем рассуждения,похожие на те, которые были при доказательстве независимостидивергенции от системы координат. Из формулыRСтокса получаем формулу (rot a, n)(A) = lim µ(σ1 ε ) (a, ds), где Γε = ∂σε .

Это выражение для ротора можетε→0Γεслужить его геометрическим определением. Рассмотрим вопрос о потенциальности полей. Мы доказывали, что из потенциальности поля следует равенство rot a = 0. Обратное, вообще говоря, неверно, но если нам удастся в некоторой области G для любогоконтура выбирать поверхность, Rзатягивающуюэтот контур, то из формулы Стокса и критерия потенциальностиRследует потенциальность поля: (a, ds) = (rot a, n) dS = 0.ΓS3.

Начальные сведения о дифференциальных формах3.1. Дифференциальные формы3.1.1. Гладкие многомерные поверхностиПусть задано пространство Em , и 1 6 k 6 m. Сейчас мы заново определим k-мерные поверхности, несмотряна то, что в трёхмерном пространстве это уже было сделано. Пусть сначала k = 1.Определение. Будем говорить, что задана гладкая одномерная поверхность, если Φ : G → Em биективнои имеет класс гладкости C1 в области G ⊂ E1 . В координатной форме Φ(t) = ϕ1 (t), . .

. , ϕm (t) . Потребуемтакже, чтобы ранг дифференциала отображения Φ был полным, иначе говоря, rk dΦ = rk(ϕ′1 , . . . , ϕ′m ) = 1.Направление обхода такой гладкой поверхности, которую можно называть гладкой кривой, задаётся вдольвозрастания параметра t.Замечание. Мы будем называть матрицей Якоби матрицу дифференциала отображения, даже если она неквадратная. По этой причине приходится говорить о рангах, а не об определителях.Теперь рассмотрим случай k = 2.Определение. Будем говорить, что задана гладкая двумерная поверхность, если Φ : G → Em биективно иимеет класс гладкости C1 , причём rk dΦ = 2, а G удовлетворяет следующим свойствам:1◦ .

G ⊂ E2 — выпуклая и ограниченная область.2◦ . Отображение Φ и его частные производные могут быть продолжены по непрерывности на Cl G.3◦ . ∂G — одномерная поверхность.Ориентация на поверхности задаётся так. Пусть на ∂G задана ориентация, тогда рассмотрим касательныйвектор v = (ϕ′1 , ϕ′2 ) к этой кривой.

Рассмотрим также внешнюю нормаль n = (n1 , n2 ) к области G. Будемговорить, что параметризация ∂G согласована с внешней нормалью, еслиvn1 ϕ′1 n ven2 ϕ′2 > 0.GРаскрывая определитель, получаем n1 ϕ′2 − n2 ϕ′1 > 0, но это условие означает, что угол междувекторами n и (ϕ′2 , −ϕ′1 ) =: ve положителен. Заметим теперь, что v получается из ve поворотомна угол + π2 , поэтому ve и n сонаправлены.Переходим к общему случаю, и будем считать, что уже определены поверхности размерности k − 1.Определение. Будем говорить, что задана гладкая k-мерная поверхность, если задано биективное отображение Φ : G → Em класса гладкости C1 , причём rk dΦ = k, а G удовлетворяет следующим свойствам:1◦ . G ⊂ Ek — выпуклая и ограниченная область.2◦ .

Отображение Φ и его частные производные могут быть продолжены по непрерывности на Cl G.3◦ . ∂G является поверхностью размерности k − 1.Замечание. Часто поверхностью называют не отображение Φ, а его образ S = Φ(G) ⊂ Em .Определение. Границей поверхности S называется множество Φ(∂G) и обозначается ∂S.Из определения следует, что граница k-мерной поверхности является гладкой поверхностью размерностиk − 1.

Действительно, пусть χ задаёт границу ∂G, тогда d(Φ ◦ χ) = dΦ ◦ dχ, но это композиция невырожденных линейных отображений, поэтому rk d(Φ ◦ χ) = max. Гладкость следует из теоремы о дифференцируемостикомпозиции.23243.1.2. Определение дифференциальной формыОстаётся разобраться с ориентацией. Если χ(τ )будем говорить, что ориентации согласованы, еслиn1 ∂χ1∂τ1 ... .. .knk ∂χ∂τ1задаёт границу ∂G, то, по аналогии с двумерным случаем,.........∂χ1 ∂τk−1 ...∂χk∂τk−1 > 0,где n = (n1 , .

. . , nk ) есть вектор внешней нормали к области G. Напомним, что для упрощения жизни мырассматриваем выпуклые области.Посмотрим, что нужно потребовать, если мы хотим сохранить ориентацию при переходе к другой системекоординат. Пусть сделана замена τ ↔ ν, тогда, дифференцируя сложные функции, получаем 0...0 ∂χ1 ∂χ1 1n1 ∂χ1 . . .n1 ∂χ1 . . .∂τ11 ∂ν1∂νk−1 ∂τ1∂τk−1 0.

. . ∂ν∂τk−1 . . ∂ν1...... ........=·.... ....... ... .. .... .kkkknk ∂χ nk ∂χ . . . ∂ν∂χk−1. . . ∂τ∂χk−1∂τk−1∂τk−1 ∂ν1∂τ10...∂ν∂ν1k−1 Из этого соотношения сразу следует, что нужно условие ∂τ∂ν > 0. Действительно, мы хотим, чтобы определительслева был положителен, а первый сомножитель справа положителен по условию. Таким образом, выбраннаяориентация на ∂G индуцирует некоторую ориентацию на ∂S.Рассмотрим частный случай, когда поверхность задана графиком функции.

Для удобства положим p := k−1.В нашем случае имеемt1 = t1 ,. . .∂t= id ⇒ rk = p.∂tt=t,pptk = f (t1 , . . . , tp ),Рассмотрим уравнение касательной плоскости:tk − t0k − ft1 (t1 − t01 ) + . . . + ftp (tp − t0p ) = 0.Следовательно, вектор нормали имеет координаты −ft1 , . . . , −ftp , 1 .

Чтобы проверить, согласован ли векторнормали с ориентацией, необходимо вычислить знак определителя−ft1 1 .... ..D := .−f1 tp 1f... f 00t1tpЭтот определитель легко вычислить, транспонировав его матрицу и разложив по первому столбцу. Получаем,что при нечётных k он равен 1 + ft21 + . . . + ft2p , а при чётных — тому же числу, но со знаком «−». Таким образом,для нечётных k нормаль согласована с ориентацией, а для чётных необходимо брать нормаль с другим знаком.Замечание. Выведенное соотношение достаточно важно, поскольку оно будет использовано при доказательстве общей формулы Стокса.3.1.2. Определение дифференциальной формыОпределение.

Пусть V — векторное пространство над полем K. Отображениеf: V. . × V} → K| × .{zkназывается полилинейным, или, точнее, k-линейным, если оно линейно по каждому своему аргументу при фиксированных остальных: f (. . . , αx + βy, . . . ) = αf (. . . , x, . .

. ) + βf (. . . , y, . . . ), для любых x, y ∈ V и α, β ∈ K.Определение. Пусть задано пространство Em , а в нём область G. Дифференциальной формой порядка k наG называется формальное выражениеXω(x, dx) :=Fp1 ,...,pk (x) dxp1 ∧ . . . ∧ dxpk ,p1 <...<pk24253.1.3.

Замена переменных в дифференциальной формегде x ∈ G, а Fp1 ,...,pk ∈ C1 (G) для любого набора индексов {pi }, где pi ∈ {1, . . . , m}. При этом внешнее произведение дифференциалов обладает следующими свойствами:1◦ . Полилинейность.2◦ . Кососимметричность: dx ∧ dy = −dy ∧ dx.3◦ .

Ассоциативность: (dx ∧ dy) ∧ dz = dx ∧ (dy ∧ dz).Следствие 3.1. dx ∧ dx = 0.Замечание. Символом p ↑ k будем обозначать запись p1 < . . . < pk , а вместо p1 , . . . , pk будем писать p[k] .Хотя мы не определили, где действуют значки, участвующие в записи дифференциальной формы, всё этоочень похоже на внешнюю алгебру. Поливекторы dxp1 ∧ .

. . ∧ dxpk являются базисом этого пространства, адифференциальная форма — их линейной комбинацией с коэффициентами из пространства C1 .Дифференциальные формы можно перемножать внешним образом: произведение ω k ∧ ω l форм порядка k иl есть дифференциальная форма порядка k + l.3.1.3. Замена переменных в дифференциальной формеПусть x = Φ(t), где Φ : Em → Em класса гладкости C1 . Ввиду линейности, многие свойства форм достаточно изучить на базисных векторах. Рассмотрим базисный элемент ω0 = dxp1 ∧ . .

. ∧ dxpk . Тогда, подставляядифференциалы для координат x, получаем!!mmXXX∂ϕp1∂ϕpk∂ϕp1∂ϕpkω0 =dts1 ∧ . . . ∧dtsk =sgn σ ·· ...·· dtσ(s1 ) ∧ . . . ∧ dtσ(sk ) .∂t∂t∂t∂tsksss11ks =1s =11s↑kkПоясним, откуда берётся такое выражение. Сначала мы расписали все слагаемые по линейности, затем вынеслив начало все скалярные множители (в нашем случае — все частные производные). Заметим, что можно неписать те слагаемые, где есть повторяющиеся индексы si , поскольку при внешнем перемножении они дадутнуль.

Наконец, можно упорядочить все индексы по возрастанию, а от этого в качестве коэффициента прикаждом слагаемом появится знак чётности подстановки индексов.Чтобы понять, что представляет собой это выражение, рассмотрим пример, в котором k = 2, а m = 3.∂ϕОбозначим для краткости cji := ∂tij , а ei := dti . Тогдаω0 = dxp1 ∧ dxp2 = cp11 e1 + cp21 e2 + cp31 e3 ∧ cp12 e1 + cp22 e2 + cp32 e3 == cp11 cp12 e1 ∧ e1 + cp21 cp12 e2 ∧ e1 + cp31 cp12 e3 ∧ e1 ++cp11 cp22 e1 ∧ e2 + cp21 cp22 e2 ∧ e2 + cp31 cp22 e3 ∧ e2 ++cp11 cp32 e1 ∧ e3 + cp21 cp32 e2 ∧ e3 + cp31 cp32 e3 ∧ e3 == (cp11 cp22 − cp21 cp12 ) e1 ∧ e2 + (cp11 cp32 − cp31 cp12 ) e1 ∧ e3 + (cp21 cp32 − cp31 cp22 ) e2 ∧ e3 = p1c= 1p1c2 p1ccp12 12e ∧ e + p11cp22 c3 p1ccp12 13e ∧ e + p21cp32 c3cp22 2e ∧ e3 .cp32 В общем случае можно провести те же выкладки, и мы получим следующее:X ∂ (ϕp , .