А.Н. Матвеев - Атомная физика, страница 105

Таким образом, реляти­вистское уравнение (72.7а) в нереля­тивистском случае переходит в урав­нение (30.1).Ч тобы для решения уравнения3 9 4 14. Релятивистские эф ф екты в атом ной ф и зи к е(72.7а) воспользоваться результатамирешения нерелятивистского уравне­ния (30.1), введем число Г по формуле/'(/' + 1) = /(/ + 1) - a 2Z 2 ,(72.9)ные нулю, находим_ m 0Z 2eA 1a 2& _ ( _ п ____3 '1+32тг2е20 П2 п2п2 \ 1 + 7г 4;(72.14)где п = I + к + 1 - главное квантовоечисло. Главный член этой формулы/' = - 1/2 + ^ ( Т Т Т д р ^ а 2? .(72.10)совпадает с выражением (30.24) дляС помощ ью Г уравнение (72.7а) уровней энергии частицы в нереляти­вистской теории. Член, пропорцио­записывается следующим образом:нальныйквадрату постоянной тонкой1dструктуры a 2 = (1/137)2, дает реляти­г 2 dr) +вистскую поправку к уровням энер­,2В/'(/'+ 1 )гии, которая учитывает релятивистс­+ - А Н----------------- ^----- R = 0.

(72.11) кий эффект зависимости массы отскорости.Это уравнение совпадает с нереляти­Принципиальное отличие форму­вистским уравнением (30.1). Надо лы (72.14) для атом а водорода отлишь потребовать, чтобы в качестве нерелятивистской формулы состоит в/ ' было взято положительное значе­ том , что в релятивистском случаение корня в (72.10), т.е. значение со энергия зависит от орбитальногознаком плюс перед корнем, считая, квантового числа, т.е.

снимается вы­что z a < l / 2 . Тогда при решении рождение по /. Благодаря этому каж­уравнения (71.11) можно повторить дый энергетический уровень с глав­буквально все утверждения, которые ным квантовым числом п расщепля­были сделаны при решении уравнения ется на п подуровней, соответствую­(30.1) с заменой / на /'. Условие об­ щих значениям / от 0 до п — 1. Рас­рыва ряда (30.23) принимает видщепление энергетических уровнейпропорционально а 2, т.е.

мало. ОноB / J a - Г - 1 - к = B / J a - 1/2 приводит к расщеплению соответст­- 7 ( / + 1/2)2 - a 2 Z 2 - к = 0.(72.12) вующих линий излучения и порож­Э то условие обрыва ряда является дает тонкую структуру линий излу­условием квантования энергии.чения. С помощ ью формулы (72.14)Выражая в (72.12) величины А и В нетрудно подсчитать расщеплениепо формулам (72.76) и (72.7в), полу­ линий излучения. В частности, длячаем следующие формулы для уров­ дублетного расщепления серии Б аль­ней энергии бесспиновой частицы в мера (п — 2) получается формулакулоновском поле ядра:Асо = (Е 21 — Е 20)/Н = а 2т 0е4/(192т12£ой3) .1/2(72.15)Еи = 1+Э та величина примерно в три раза( k + \ / 2 + ^ ( l + \ / 2 ) 2- a 2Z 2)2превосходит величину, полученнуюх т0с — т0с(72.13)для расщепления соответствующейлинии излучения атом а водорода изВыражение, стоящее в квадратных эксперимента.

Причиной этого рас­скобках, можно разложить в ряд по хождения является наличие у элект­рона спина, который не учитываетсяa 2Z 2 « 1.Сохраняя первые два члена, не рав- уравнением К л ей н а-Г о р д о н а. Тоноткуда-§ 72. Релятивистские эф ф ек ты в атом ной ф и зи к е 395кая структура линий излучения обу­словливается не только релятивистс­ким эффектом зависимости массы отскорости, который учитывается фор­мулой (72.14), но и наличием спина уэлектрона. Спин несколько ослабляетрелятивистский эффект расщепленияуровней.

Это еще раз подтверждает,что уравнение Клейна - Гордона не­пригодно для описания частиц с не­нулевым спином.Мы рассмотрели случай Z а < 1/2,когда Г в уравнении (72.11) положи­тельно. Если же Z a > х/ 2, то /' неможет быть выбрано положительными решение релятивистского уравненияпринципиально отличается от реше­ния нерелятивистского уравнения.Как показывает анализ, в этом случаепроисходит падение частицы на ядрои отсутствует стационарное решение.Таким образом, по уравнению Клей­на - Г ордона, устойчивые состояниядвижения частицы в кулоновском по­ле ядра возможны лишь для ядер, укоторых Z < 137/2.Как уже было отмечено при рас­смотрении расщепления энергетичес­ких уровней, спин несколько ослаб­ляет влияние релятивистского изме­нения массы от скорости.

Это при­водит к тому, что релятивистскиеэффекты с учетом спина обусловли­ваю т неустойчивость атом ов лишьдля значений Z, лежащих за предела­ми существующей периодической сис­темы элементов.Тонкая структура уровней энергииатома водорода. Чтобы найти уровниэнергии электрона с учетом реляти­вистской поправки на изменениемассы со скоростью с учетом спина,необходимо решить задачу для атом аводорода с помощ ью уравнения Ди­рака. При наличии потенциальнойэнергии е 2 /(4ке 0 г) электрона в куло­новском поле протона уравнение Ди­рака имеет вид[_Ё — с(а-р) —т 0 с2 р3 + е2/(4ле0г)] Ч* = 0.(72.16)Для того чтобы при вычислениивоспользоваться результатами пре­дыдущего параграфа, удобно от урав­нения первого порядка (72.16) перей­ти к уравнению второго порядка, т.

е.«квадрировать» уравнение (72.16).Квадрированное уравнение содержитвсе решения уравнения первого по­рядка, поскольку оно получается изэтого уравнения с помощ ью операцийдифференцирования. Но могут по­явиться и другие решения, которыеуравнению первого порядка не удов­летворяю т; эти побочные решениядолжны быть отброшены.Для «квадрирования» уравненияДирака (72.16) применим к нему слеваоператорЁ + с(сгр) + т 0 с2 р3 + е2/(4яе0г).

(72.17)В результате получается уравнениеВ8c2 H2 V 2 т%сА +i dt 4 0 ,ie2cH(72.18)(a г)|]ч» = 0,+4ne0 r3я еггде учтены свойства м атриц а д, выра­жаемые равенствами (71.28), и при­нято во внимание, что(1/r) V - V(l/r) = - grad ( 1/г) = г/г3. (72.19)Будем искать стационарное решениеи положим*Р(г, t) = Ч'(г)е-,'<£ + т"'2)'/л.(72.20)Тогда в уравнении (72.18) исключают­ся производные по<b>Текст обрезан, так как является слишком большим</b>.