К расчёту распределения тока по поверхности плоских идеально проводящих листов с отверстиями и разрезами (Измерение магнитного поля), страница 2

В частности для прямолинейной щели длиной а и шириной 2б, ис6 пользовав значение М из справочника [ ], получаем рота рота В— (24) )п 4а 1 1 1.46а Численные расчеты [~] дают результат рота В=— Е (25) который мало отличается от (24), если а » б. Можно показать, что полученное выражение связано простым соотношением с взаимной индуктивностью двух параллельных токовых нитей длиной 1, расстояние между которыми равно б [о] Влияние длинной изоляционной щели в тонком листе иа поле в соленоиде При получении сильного импульсного магнитного поля в соленоидах с большим отношением внешнего радиуса к внутреннему длина изоляционной щели, по которой проводится ток, может намного превышать диа метр соленоида. Влияние щели на поле в таком соленоиде может быть существенным вследствие перераспределения тока по поверхности торца.

Этот эффект наиболее заметен у соленоидов малой длины 1отверстие в тонком листе). В качестве модельной задачи, позволяющей показать влияние длинной щели на поле в отверстии и допускающей аналитическое решение, рассчитаем поле в системе (рис. 5,а), в которой ток подводится к соленоиду радиуса В с помощью разреза, имеющего три участка: на участке пр разрез имеет форму эллипса длиной 2а с малой полуосью 6 « а, а на участках упп и рд щель является идеальной (ее ширина равна нулю).з Примем дополнительное условие В « д„позволяющее принять значение скалярного потенпиала в плоскости отверстия таким же, как в точке с (центре отверстия) при свободном растекании тока по листу вне эллипса.

Пусть индукпия в центре отверстия есть В,. Ей соответствует ток вблизи отверстия определяемый по формуле (1), зо = тЯВ,/по. Ток, пересекающий прямую СР, равен полному току г и при условии с1, » Я может быть приближенно представлен как сумма 1о и з„наведенного полем щели. Последний определяется формулой (10), где х, + а = 2а + И„ х, — а.= с1,. Таким образом, 1п зкИ, 1 = 1о + з = хВВ /1го + 1 Ы, 21п з' (26) Отсюда (27) Второе слагаемое учитывает влияние эллиптической щели на индукцию.

В пределе а » Ис и при фиксированном отношении Н,/6 индукция Рис. 5. Влияние щели на поле в соленоиде. а — геометрия ирокадиикои иа участке, где щель близка к идеьльиой. 156 з Практически щель является идеальной, т.е. не оказывает влияния на токораспределение по поверхности листа не только при нулевой ширине, но и при использовании в качестве токоведущих частей плоских шин, как ото показано на рис.б,б уменьшается вдвое по сравнению со случаем, когда для подвода тока к наг узке используется идеальная щель. 3 пенку влияния прямолинейной щели длиной 2а постоянной ширины 2б на поле в центре отверстия, соединенного со щелью, можно получать, используя аналогичный подход и считая поток на единицу длины щели постоянным.

Расчет будет отличаться лишь тем, что в формуле (11) для (, надо использовать для потока выражение Ф = Ьг, где 6 определяется формулой (25). В результате получаем выражение, близкое к (27), (28) Рс 21 (2 4а) Лист конечной толщины Влияние изоляпионной щели на поле в соленоиде уменьшается, если толщина листа Ь, равная длине соленоида, отлична от нуля (рис. 6).

Ток, подводимый к соленоиду, проходит как по плоскостям торпов, так и по границам щели. В предельном случае, когда ширина разреза 26 исчезающе мала, поле за его пределами быстро убывает, тогда можно считать, что ток на плоскости пренебрежимо мал. Рассмотрим влияние конечной ширины разреза при условии, что она много меньше его длины. Скалярный потенциал в точке М на плоскости симметрии Е, параллельной поверхности листа, принимает постоянное значение и(М) = (лог/2, где 1 — полный ток. На границах щели (участки твп и уп'п' на рис. 6) и на плоскости листа ди/дп = О.

Хотя распределение индукции вдоль оси у, лежащей в плоскости листа на краю щели (рис. 6,6), отлично от (13), можно и в рассматриваемом расчету токораспределения на поверхности листа конечной толщины (а, о) и влияние щели длиной 1 на поле соленоида (в). 61М') 1 ~' ~' В(х), у)2(убх) ) 2* ~*-*)*' -61М') (29) где х = х(У'), х) — — х(М').

Это можно сделать, не конкретизируя вид зависимости В(х),у), которая для щели в листе конечной толщины остается четной функцией аргумента у и не меняет свой знак. Ограничимся случаем прямой узкой щели с б = соп81. Представим и(12") в виде и(У') = ие(Л') + Ьи(У)), где а Ф')*,)Ф*, м)22') = )*) = — ) 2" )*-*,)' -2 (30) а 6 .( )- .(.)- — ' ( 1) 2 ) ) );(ф Ф )* — ,)' 22 2 ФФ' Ф )* — *,)' ) -а -б (31) Палее преобразуем подынтегральное выражение в формуле (31) | В(х), у) Ф'(х)) у' + (х — х1)' 2б б' + (х — х))' )' Ну= 6 ~ ? ~ ~~ ~ 1 1 1 — В(х1, у) х Ыу— х 1 У 2' Ф )* - * )' Ф Ф' Ф ) - * )') 62' Ф )* — * )' б х В(х1, у) — Ыу.

(32) Последний интеграл (32) равен нулю, а для оценки оставшегося интеграла воспользуемся теоремой о среднем б | 1 1Ф2' Ф ~* -* )' В(х), у) -б 1 22У = ФФ' Ф)* — )') б = 2В(х1, сб) х 1 1 Ну= 122*~Я:Й)' РФ'ФФ)*: )') о 158 случае использовать приближенное выражение (21) для потенциала. Надо лишь заменить в нем т- ку М на М', лежащую на пересечении двух поверхностей, первая из которых совпадает с поверхностью листа, а вторая проходит на равных расстояниях от границ щели. Покажем, что в случае Ь ф 0 применима формула (21) и выражение для магнитного скалярного потенциала в точке .Ж) (рис. 6) имеет вид ~ф'(*)) ~+ Р+)*-*)' 1п (33) б б ;)б'";) -*,)'~ где 0 < с < 1, а число д = 2бВ(х), сб)/Ф'(х1) порядка единицы. Магнитное поле относительно мало меняется по длине щели в листе конечной толщины.

Поэтому для оПенки можно принять Ф'(х)) = Ф' = сопзп При этом Здесь использовано завышенное значение интеграла (34), равное 2б. Оно соответствует пределам хоо. Оценку для ие(М) можно получить, также принимая Ф'(х1) - Ф', Ф' — * + ~)б' +()) Ф' ие(х) = — 1и > — 1п —. (35) 2 — — .~,)б.,) .~ ) 2 б (36) При произвольном отношении б/Ь имеем (рис. 6,6) Ф'(М') = 2бВВ(М), (37) (Л~)= (~)- В,Ы,= —— (38) где численные множители /1 и о являются функпиями отношения б/Ь и могут быть найдены путем расчета плоского поля в щели методом конформных отображений.

В пределе б/Ь» 1 имеем Д = )г/2, о = О, а в пределе б/Ь « 1 а = )3 = 1. Подставляя (36) и (37) в формулу (38), приходим к интегральному уравнению второго рода для индукпии 2 1' б(М)В(М))3(М)аг(М) р ' — а(Л) ХВ(Х), (39 р ~~~ )ло ) где р = рм ))) . Таким образом, как и в приведенном выше примере для тонкого листа с эллиптической целью, отношение Ьи/ио имеет порядок [А1п(9)а/б)] где А и )р — числа порядка единипы. Следовательно, для приближенного расчета скалярного магнитного потенпиала в точке М' на краю щели можно сохранить лишь член ие(х), определяемый по формуле (30). Естественно обобщить этот вывод на случай щели с криволинейной осевой линией, если ее радиус кривизны много больше б, Интегральное уравнение (39) допускает решение методом последовательных приближений, причем разложение быстро сходится, если толщина листа велика.

В первом приближении можно пренебречь полем вне щели, тогда В(У) = В,(Ж) = рог/[Ьо(У)). Во втором приближении нахо. в (х) = в (х)— 2 / 6(М)Д(М)Вг(М)й (М) хааа(У) /,,г+бг(М) (40) ! Воспользуемся этим методом для приближенного расчета распределения поля в прямой узкой щели (1» 26, б = сопзг) (рис.б, в). Поскольку при Ь» 26 имеем о = 1, то в первом приближении В(х) = Вг = аог/Ь. Лалее находим второе приближение, считая /1 = 1, В начале и конце щели индукпия принимает значениее )гог / 26 4а) Вг(ша) = — (1 — — 1п — / .

Ь ~, Ь 6) (42) Если б/Ь = 0.05, 2а/гХ = 20, то индукция на концах примерно на 12% меньше, чем в случае щели исчезающе малой ширины. Это же формула дает приближенное значение индукции в соленоиде, присоединенном к краю щели, если радиус соленоида меньше толщины листа Ь. Аналогичная оценка может быть выполнена и для поля, создаваемого в концентраторе магнитного потока (рис. 1,6). Примем, что радиус отверстия Яг мал по сравнению с толщиной листа гг, так что поле в отверстии близко к однородному.

Индукция на оси в первом приближении не отличается от Вг = )гог/Ь, а во втором может быть рассчитана по формуле (40), где о = Д = 1, б = сопят, а интегрирование следует распространить на всю щель, включающую в себя прямолинейный участок длиной АО и окружность радиуса Вг. Интеграл по прямому участку 1 = 2а уже вычислен в предыдущем примере. Интеграл по окружности, радиус которой Вг» б, дает вклад в Вг(0), не зависящий от Вг и равный ( — 4/Ь)Вы В результате получаем 1гог / 26 21 46 1 В,(0) = — ~1- — 1 — — — ~. хЬ 6 Ьl (43) При тех же соотношениях размеров, что и в предыдущем примере кольцевая щель приводит к дополнительному снижению индукции на 201~ вследствие перехода на поверхность листа значительно большего тока, чем в примере, где кольцевой разрез отсутствовал.

4 В (41) отброшены члены порядка ог/(гаЬ). 160 е р~ н Р+г — о + Вг(х) = Вг — 1 — — 1и /,,~б+~~* — )) (41) Список литературы Санкт-Петербургский государственный технический университет Поступило в Редакцию 1О февраля 1992 г. И Журнал технической физики, № 8, 1993 г. 181 [!] Дааьук П.Н., Загуенп С.Л., Кольельнов В.С.

и др. Техника больших импульсных токов и магнитных полей: М.: Атомиздат, !979. [2] Кнопфель Г. Сверхсильные импульсные магнитные поля. Мл Мир, 1972. [З] Шнсерсон Г.А. Полл и переходные процессы в аппаратуре сверхсильных токов. Л л Энергоиздат, 1981. [4) Мшга Н., Кгь!о 6., Сосо Т, еь а1. // 1Льга1ыг8п Ма8пейс Р1е!бз [РЬуз1сз. ТесЬп1опез. Аррйсас!опз! / Ег!. Ч.М.Т!Ьоч, С.А.51ьчеьзоч.

М., 1984. Р. 118-129. [5] Иоссель Ю.Я., Кочанов Э.С., Сгарунсхип М,Г. Расчет електрической емкости. Лл Энергоиздат, 1981. [8] Каланггьаров П.Л., Пейпьлин Л.А. Расчет индуктивностей. Справочная книга. Л.: Энергия, 1970. .