К расчёту распределения тока по поверхности плоских идеально проводящих листов с отверстиями и разрезами (Измерение магнитного поля)

ЖУРНА Л ТЕХНИ ЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Том 63, в. 8 1993 10НКМА1 ОР ТЕСНМ1САЕ РНУБ1СН 1993 'г'о1. 63, Н 8 01;12 ©1993 г. К РАСх1ЕТ~' РАСПРЕЛЕЛЕНИЯ ТОКА ПО ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКИХ ИЛЕАЛЬНОПРОВОЛЯШИХ ЛИСТОВ С ОТВЕРСТИЯМИ И РАЗРЕЗАМИ Г.А.Н1иеерсон Разрезы в плоских проводящих листах, необходимые для подвода тока к толстостенным соленоидам, могут существенно повлиять на распределение тока и на величину поля. для тонких листов задача аналогична електростатической и может быть сведена к решению интегрального уравнения первого рода для индукции на оси щели. Выполнены оценки влияния длинной еллиптической щели и щели постоянной ширины, используемых для подвода тока к соленоиду, на поле в нем.

для листов конечной толщины получено интегральное уравнение более общего вида, позволяющее учесть протекание тока как по границам разреза, так и по поверхности листа. Получены его приближенные решения для прямолинейной щели постоянной ширины и для концентратора магнитного потока, представляющего собой комбинацию круглого отверстия с прямолинейным и кольцевым разрезами.

Введение Плоские листы с разрезами и отверстиями являются элементами многих устройств, используемых в импульсной и высокочастотной технике. В частности, при получении сильных импульсных магнитных полей находят широкое применение одновитковые соленоиды, толщина стенки которых много больше радиуса [1 з). В простейшем случае такой соленоид представляет собой круглое отверстие в плоском листе, в котором имеется также радиальная щель (разрез) для подвода тока (рис. 1,а). Более сложной является конфигурапия конпентратора потока, в котором ток подводится к отверстию путем трансформаторной связи (рис. 1,6).

Если щель замкнута или является идеальной (имеет сколь угодно малую ширину Ь), а толщина бесконечного листа А равна нулю, то индукция магнитного поля в центре отверстия радиуса Н, обтекаемого током 1, есть (1) 148 Рис. 1. Толстостенный соленоид (а) и поперечный разрез концентратора потока (о). Рис. 3. Отверстие в листе исчезающе малой толщины. В этом случае линии тока являются коаксиальными окружностями, а зависимость поверхностной плотности тока от радиуса имеет вид (2) Радиальная щель конечной ширины существенно влияет на распределение тока по поверхности листа вследствие того, что линии тока не могут пересекать разрез.

Его влияние проявляется в конечном счете в том, что поле в центре отверстия будет меньше, чем рассчитанное по формуле (1), соответствующая поправка будет зависеть от длины и ширины разреза, а также от толщины листа, если последняя отлична от нуля. Аналогичным является влияние щели на поле в концентраторе потока: индукция в центре снижается, если щель имеет конечную ширину. В некоторых работах дополнительные короткозамкнутые разрезы создаются целенаправленно для коррекции распределения тока )4]. Расчет растекания тока по листу с разрезом делает задачу трехмерной.

В данной работе вначале рассмотрен предельный случай тонкого листа, когда задача аналогична электростатической: инлукция в щели соответствует плотности заряда на тонком плоском проводнике. В случае эллиптической щели использованы готовые решения, а для длинной узкой щели задача сведена к решению приближенного интегрального уравнения, позволяющего найти индукпию на оси разреза.

В случае листа конечной толщины также получено интегральное уравнение для индукции и дано его приближенное решение. Все расчеты выполнены для квазистационарного поля, т.е. принято,что размеры области много меньше длины электромагнитной волны. Бесконечно тонкие листы (электростатическая аналогия) 149 Рассмотрим плоский идеально проводящий лист исчезающе малой толщины с отверстием произвольной формы, в котором задан магнитный поток (рис. 2). Поле создается лишь токами, обтекающими отверстие.

Лругие источники, возбуждающие поле, отсутствуют. Вследствие симметрии касательная составляющая инлукпии равна нулю в плоскости отверстия, а также за пределами листа (В,(езл) = 0), тогда как на м ум /Ы Рис. 3. Эллиптическое отверстие в тонком листе (о — линии тока вблизи отверстия; Б — зависимости для тока на участке С.с); 1 — Ы,/Ь = 2, г — 4, 3 — 8. поверхности листа отсутствует нормальная компонента В„(лз) = О. Случай, когда отверстие является кругом, рассмотрен вьппе. Скалярный потенциал магнитного поля удовлетворяет уравнению Лапласа с граничными условиями и(81) = Уг — — сопкг; и(52) = Уг = сопкг; (дн/ди)„ек О и дополнительному условию Уг — Уг = з/(2по), где г' — ток.

Аналогичным граничным условиям удовлетворяет потенциал электростатического поля разноименно заряженных пластин, расположенных в одной плоскости и совпадающих с обла.стями Яг и 52. Индукпия магнитного и напряженность электрического полей в рассматриваемых задачах пропорпиональны, поэтому имеет место равенство 2 г ) ВН1 1Есй (' В„~Ьг ( Е„4151 ' (3) 51 5с Первое из этих отношений есть г/(2Ф) = 1/(2Ь); второе со(Уг — Уг)/ / ( сссЬг — — 28а/с, где 1 — индуктивность контура, образованного плос- 51 ким проводником Яз с отверстием Вг, и — плотность заряда на одной стороне пластины 51 в электростатической задаче; С вЂ” емкость между пластинами 51 и Яг. Отсюда находим формулу, связывающую Ь и С, Ь = —.

реС (4) 48а Используя справочные данные о емкостях плоских фигур, можно рассчитать индуктивности соответствующих контуров. Например, емкость тонкой эллиптической пластины, согласно (ь], есть С = 4хеоа/К(й), следовательно, индуктивность эллиптического отверстия в плоском бесконечном листе (рис. З,а) есть Ьзоха 1 =— К(й) ' 180 роизвольиой формы в е (а) и область вблизи Ф/(2а) а 2и(с) 2 / Ф с(х Ф 2а+ с(а 1(с) = = — — — — 1и . (11) ььо 1ьо 1 2а 2т(а+ с(с — х) 2хиоа Нс -а Выражая поток через индуктивность узкой щели (6) и ток, получаем 1и тат-"; 1п( — '" + 1) 4, 4 1(с) = 1 4а 21 а +1 4а ь ь (12) При заданном И,/Ь отношение 1(с)/1 стремится к 1/2, если а/41, -+ оо.

Примеры зависимостей з(с)/1 = Да/И„Н„/Ь) приведены на рис. З,б. Токораспределение в бесконечном тонком листе с длинной узкой щелью, отличной от эллиптической Рассмотрим случай, когда длина щели и ее радиус кривизны много больше, чем ширина 6 = 2б, которая меняется плавно 1, тьл, 5/(Ы/Йт) » 6, где Йт — элемент длины осевой линии, проходящей а равном расстоянии из щели исчезает, на поверхности листа отсутствует индуктированный ток. Следует заметить, что, как видно из формулы (10), снижение тока 1, при убывании Ь/а идет весьма медленно.

Рассмотрим далее, как меняется отношение ь,/1о при заданном расстоянии от края щели до линии тока (х, — а = Н, = сопзь) и при фиксированном значении малой полуоси эллипса, если длина щели растет. В этом случае вместо исследования асимптотического поведения функции Е при а/х, — со можно непосредственно рассчитать скалярный потенциал в точке с, считая, что по оси щели распределены линейные источники потока со свойственной эллиптической щели равномерной плотностью от краев щели (рис. 4). При указанных условиях распределение индукции поперек щели можно приближенно считать таким же, как в прямой щели бесконечной длины, когда поле является плоским 1 В(т) = В(М, у(т)) = В(М) В этой формуле М вЂ” точка на осевой линии; В(М) — индукпия в этой точке; В(гп) — индукпия в точке т, смещенной от осевой линии по нормали на расстояние у(т); б(т) — полуширина щели в окрестности точки М.

Скалярный потенциал в произвольной точке (рис. 4) можно выразить как сумму потенпиалов, создаваемых источниками с интенсивностью НФ(т) = В(т)йу(т)с1т(М) распределенными по плоскости щели. Каждый из этих источников создает магнитное поле со скалярным потенциалом пи = НФ/(2тра ), где р,) — расстояние от источника до точки А. Потенпиал в точке А есть б(м) 1 /" /' В(М) !1у(т)!2т(М) "'-'- ЯеГ '" (14) где Рл = ~РАм + У (т) — 2рлму(т) сов!Р1 2 2 1!'2 После интегрирования по переменной у(т) получаем и(А) = — В(М)Т(М,А)Нт(М), ! где Т(М,А) = — К б(М) /1 /Я '12 р, л = ~ром ~ 2б(М)РАм сов Р+ б~(М)]. В точках А, находящихся на оси щели (А = Л), потенциал принимает значение и(21') = )282/2, а равенство (15) становится интегральным уравнением с ядром Т вЂ” В(М)Т(М, 11!)Ыт(М).

2 ! (16) 183 В эллиптическом отверстии, согласно (8), такое распределение индукции имеет место при любом отношении полуосей. В частном случае прямолинейной щели длиной 1 = 2а и шириной 2Б «1 имеем2 сов ба = О, р = б7 = (р2 + б')172, р = (х — х1). Уравнение (16) в этом случае принимает вид а х1бог / В(х1, 0)б(х1) ( 6(х1) К . (17) 2 У (х — х1)2 + б2(х1) ), (х — х1)2 + 62(х1)/ -а Полный эллиптический интеграл, фигурируюший в выражении для ядра интегральных уравнений (16), (17), имеет слабую (логарифмическую) особенность при р = 0 и становится равным х/2, когда р» 6.

Можно предположить, что в пределе а» Б допустима замена К на х/2, в результате чего вместо (17) приходим к приближенному уравнению для прямолинейной щели а В(х1, 0) о(х1) б1х1 Ров = ~ ~б а (18) Правильность этого предположения можно проверить в частном слувб.*„б)бб*,.б=в бпбхб бб-б б 2, пр этом правая часть уравнения (18) равна 1бов а+ ~/н2 2— 62 1п 2оа = 1бох Ь / Ь а — Й~:'ох 1 т' 2 1 — — К 1 —— п2 п2 где сохранены главные члены разложения по параметру Ь/а.

В пределе 1б/а — б 0 равенство (18) выполняется с погрешностью порядка 1п 2/1п(а/6). На основе сказанного будем далее использовать приближенное уравнение (18) для длинной прямолинейной щели (1 » Ь). Аналогичное упрощение (замена К на х/2 в ядре уравнения (16)) можно использовать и для криволинейной шели, длина и радиус кривизны которой много больше ширины. Кроме того, множитель (рб7) 1б~ в ядре можно заменить на (р2+о2) 1б2. действительно, произведение рб7 можно представить в виде рд = (1 — 7)172(р2+о2), где число 7 = 4рзб2(р2+62)1!2 сон2 бр. В частном случае, когда шель есть дуга окружности радиуса йь, 7 не превосходит (6/Ях)2.

Эта же оценка относится и к щели произвольной формы, если Вь — радиус кривизны осевой линии. Таким образом, при условии б/Яь « 1 приходим вместо (16) к следуюшему приближенному интегральному уравнению для одиночной щели произвольной формы: В(М)о(М)й.(М) бббб бб бнб 2 абалее обозначено рмк = р, х = х(лб), хб = х(м1. 154 Введем вместо произведения Вб поток на единипу длины Ф' = тВ(М)б(М). Тогда (19) переходит в уравнение для Ф' ф'(М)б, (М) 1,Г~'„.го ~ и ' (20) Аналогичные преобразования приводят к следующему выражению для потенциала в произвольной точке Ч на плоскости листа: 1 1 ф'(М)дг(М) (о~- ~/ (21) Лля приближенных расчетов можно пользоваться методом средних потенциалов, широко применимым как в электростатике ['], так и при расчетах индуктивности. При таком расчете следует в случае щели постоянной шириной Ь = 2б принять В(М) = Ф'/(тб1) и в выражение для индук ивности В = Ф/1 вместо тока подставить величину 2(и)/ро, где усредненное значение потен- циала 1 Г ! ф'(М)б (М)й Ю) Ф' ! ! И (М)й Ю) 2т1,/ .1 г + бг 2т1у .1 рг + бг Рме+ ! Рм~~ В итоге имеем ро1ф' рот1г 2(и) с1т(М)дт®) ,/6,+ ' (22) „г1г Ь о 4М' (23) где М вЂ” упомянутая взаимная индуктивность.