термин (Теормин), страница 2

Определение конформного отображения.Локальная конформность: Отображение, осуществляемое непрерывной функциейw = f ( z ) , конформно в точке z 0 , если оно сохраняет углы между кривыми, проходящимичерез эту точку.Глобальная конформность: Пусть w = f (z ) отображает область G в область F = f (G ) .Это отображение конформно, если соответствие между точками G и Fвзаимнооднозначно и w = f (z ) конформно в каждой точке z 0 ∈ G .52. Определение аналитической функции.f ( z ) ∈ A(G ) (аналитическая в области G ), если ∃f ′( z ), z ∈ G и f ′( z ) ∈ C (G ) .53. Свойства линейной функции комплексного переменного.w = az + b ; z = re iϕ ; a = ρe iψ ; b = x + iy54.55.56.57.w = ρre i (ϕ +ψ ) + x + iyфигура на плоскости z переходит в подобную фигуру на плоскости wСвойства обратной функции комплексного переменного.1 1w = = e − iϕz rзеркальное отражение (инверсия) в единичном кругеокружности на плоскости z переводит в окружности на плоскости wокружность на плоскости z , проходящие через O , переводит в прямую на плоскости wточки, симметричные относительно окружности, переводит в точки, симметричные относительно образа.Свойства степенной функции комплексного переменного.w = z n ; z = re iϕ ; w = r n e inϕсектор на плоскости z переходит в сектор на плоскости wСвойства дробно-линейной функции комплексного переменного.a + bz a bw=;≠0c + dz c d1α +z α −β +z+βλ (α − β )w=λ=λ=+ λ ⇒ верны свойства w = (см.

п. 54)β+zzβ+zβ+zβ −αw′ = λ≠0(β + z) 2Свойства функции комплексного переменного ez .Переводит полосу {−∞ < x < ∞; 0 < y < π } в верхнюю полуплоскостьw = ez ⇒58. Свойства функции комплексного переменного sin z.π⎧ π⎫Переводит полуполосу ⎨− < x < ; y > 0⎬ в верхнюю полуплоскость2⎩ 2⎭w = sin z ⇒59. Свойства функции Жуковского.1⎛1⎞w = ⎜ z + ⎟ — аналитическая на C2⎝z⎠1⎛1 ⎞w′ = ⎜1 − 2 ⎟ ⇒ конформное отображение в окрестности любой точки z , кроме точек ± 1 .2⎝ z ⎠производит конформное отображение области внутри единичного круга z < 1 на плоскости z наплоскость w , разрезанную по отрезку [−1, 1] действительной оси. Аналогично область z > 0 внеединичного круга на плоскости z отображается на второй экземпляр плоскости w , разрезанной поотрезку [−1, 1] действительной оси.60.

Определение интеграла от функции комплексного переменного.⎧ξ = ξ (t )t ∈ [t 0 , T ]γ :⎨⎩η = η (t )t 0 < t1 < ... < t n = Tζ i = ζ (t i )Δζ i = ζ i +1 − ζ id = max Δζ i — диаметр разбиенияin −1σ = ∑ f (ζ i* )Δζ i , ζ i* = ζ i (t * ) , t * ∈ [t i , t i +1 ]i =0∫γ f (ζ )dζ= lim σ , если он существует и не зависит от разбиения и выбора ζ i*d →0∫γ f (ζ )dζ = ∫γ (u + iv)d (ξ (t ) + iη (t )) = ∫γ udξ − vdη + i ∫γ udη + vdξ61. Теорема Коши.Теор.

f ( z ) ∈ A(G ) , C ∈ G ⇒∫ f ( z )dz = 0C62. Теорема о первообразной комплексной функции.Теор. f ( z ) ∈ C (G ) , ∀C ∈ G : ∫ f ( z )dz = 0 ⇒CzΦ ( z) =∫ f (ζ )dζ( z , z 0 ∈ G ) : Φ ( z ) ∈ A(G ) , Φ ′( z ) = f ( z )z063. Формула Коши.Теор. f ( z ) ∈ A(G ) , C ∈ G , z 0 ∈ int C ⇒ f ( z 0 ) =f (ζ )1dζ∫2πi C ζ − z 064.

Теорема о максимуме аналитической функции.Теор. f ( z ) ∈ A(G ) , f ( z ) ∈ C (G ) ⇒ либо f ( z ) = const , либо max f ( z ) достигается награнице65. Формула для производных аналитической функции.Теор. f ( z ) ∈ A(G ) и f ( z ) ∈ C (G ) , Γ = ∂G ⇒ ∀z ∈ G1 f (ζ )f ( z) =dζ2πi ∫Γ ζ − z∃ производная ∀ порядка:n!f (ζ )f (n) ( z) =dζ∫2πi Γ (ζ − z ) n +166. Теорема Морера.Теор. f ( z ) ∈ C (G ) , ∀C ⊂ G : ∫ f (ζ )dζ = 0 ⇒ f ( z ) ∈ A(G )C67. Теорема об ограниченной в С аналитической функции.Теор.

f (z ) — аналитическая в С, f ( z ) — равномерно ограничен ⇒ f ( z ) ≡ const68. Теорема Жордана.Теор. f (z ) — непрерывна в z ≥ R0 , f ( z ) → 0 при z → ∞ ⇒ ∀m > 0 lim ∫ e imz f ( z )dz = 0 ,R →∞где ΓR — дуга z = R .ΓR69. Разложение элементарных функций комплексного переменного в степенные ряды.∞∞∞∞zn(−1) n z 2 n(−1) n z 2 n +1(−1) n ( z − 1) nze = ∑ ; cos z = ∑; sin z = ∑; ln z = ∑;(2n)!nn =0 n!n =0n = 0 ( 2 n + 1)!n =1m(m − 1) 2m(m − 1)...(m − n + 1) n(1 + z ) m = 1 + mz +z + ...

+z + ... ;2!n!∞1= ∑ zn1 − z n =070. Теорема Абеля о комплексных степенных рядах.Теор. Если ряд сходится в z1 ≠ z 0 ⇒ абсолютно сходится ∀z : z − z 0 < z1 − z 0 и сходитсяравномерно ∀z : z − z 0 ≤ ρ < z1 − z 071. Теорема о радиусе сходимости комплексного степенного ряда.1∑ cn ( z − z 0 ) n ⇒ радиус сходимости R = lim n cnn →∞72. Теорема Тейлора для функции комплексного переменного.Теор.

f ( z ) — аналитическая в z − z 0 < R ⇒ f ( z ) может быть однозначнопредставлена сходящимся степенным рядом∞f (ζ )1f ( z ) = ∑ cn ( z − z 0 ) n , cn =dζ , ρ < R∫2πi C ρ (ζ − z 0 ) n +1n =0f (n) ( z 0 )cn =n!73. Теорема о счетном числе нулей аналитической функции.Теор. f ( z ) ∈ A(G ) , f ( z ) ≡/ 0 ⇒ всякий компакт F ⊂ G содержит лишь конечноечисло нулей функции f (z ) .74. Определение нуля комплексной функции к-го порядка.f (z ) имеет 0 к-го порядка в точке z 0 , если c0 = c1 = ... = c k −1 = 0 при разложении в точкеz0 , f ( z) = ( z − z0 ) k g ( z) , g ( z0 ) ≠ 075. Определение ряда Лорана.∞∑cn = −∞n( z − z 0 ) n — ряд Лорана76.

Теорема о разложении комплексной функции в ряд Лорана.Теор. f ( z ) — аналитическая в R2 < z − z 0 < R1 , однозначно представляется рядомf (ζ )1Лорана: c n =dζ , n = 0,±1,±2,...∫2πi C (ζ − z 0 ) n +11, R2 = lim n c nR1 =n → −∞lim n c nn →∞77. Определение изолированной особой точки.z 0 — изолированная особая точка, если f (z ) аналитическая в 0 < z − z 0 < R и z 0 — особая точка.78. Определение устранимой особой точки.c −n = 0 , ∀n ∈ N — устранимая особая точка79. Теорема об устранимой особой точке.Теор. f ( z ) — аналитическая в 0 < z − z 0 < R и ограниченная ⇔ z 0 — устранимаяособая точка.80. Определение полюса к-го порядка.c −n = 0 , ∀n ≥ k + 1 — полюс к-го порядка81. Теорема о полюсе к-го порядка.Теор.

f ( z ) — неограниченно возрастает при любом стремлении z → a ⇔ a —полюс функции.82. Определение существенной особой точки.∀n > 0 ∃k > n : c −k ≠ 0 — существенно особая точка83. Теорема о существенной особой точке.Теор. При различном стремлении z → a можно получить ∀z 0 ∈ C ⇔ a —существенно особая точка.84. Классификация бесконечно-удаленной особой точки.1º c n = 0 , ∀n ≥ 0 — устранимая особая точка2º f ( z ) =k∑cn = −∞nz n (k > 0) — полюс порядка k3º ∀n ∃k > n > 0 : c k ≠ 0 — существенно особая точка85. Определение вычета.Вычет аналитической функции в изолированной особой точке z 0 :1res[ f ( z ), z 0 ] = c −1 =f (ζ )dζ2πi C∫86. Теорема о вычетах комплексной функции.Теор. f ( z ) — аналитическая в G ( γ + = ∂G ) за исключением изолированных особыхточек z k ∈ int G , k = 1,..., N ⇒∫γ+Nf (ζ )dζ = 2πi ∑ res[ f ( z ), z k ]k =187.

Вычисление вычета в полюсе 1-го порядка.z 0 — полюс 1-го порядка ⇒ res[ f ( z ), z 0 ] = c −1 = lim ( z − z 0 ) f ( z )z → z088. Вычисление вычета в полюсе m-го порядка.[1d m −1z 0 — полюс m-го порядка ⇒ res[ f ( z ), z 0 ] =lim m −1 ( z − z 0 ) m f ( z )z(m − 1)! → z0 dz2π89. Вычисление интеграла∫ R(cos ϕ , sin ϕ )dϕс помощью вычетов.0z = e iϕ ⇒ ϕ ∈ [0, 2π ] ⇔ z = 1cos ϕ =e iϕ + e − iϕ 1 ⎛1⎞= ⎜z + ⎟22⎝z⎠1⎛1⎞e iϕ − e − iϕsin ϕ == ⎜z − ⎟2i2i ⎝z⎠dzdz = ie iϕ dϕ = zdϕ ⇒ dϕ =iz−1−1z−z ⎞1 1 ⎛z+z1⎟⎟dz =I = ∫ R⎜⎜,i z =1 z ⎝ 2i2i ⎠k~~R(z)dz=2π∑ res[R ( z ), z j ]∫z =1j =1+∞90.

Вычисление интеграла∫ f ( x)dxс помощью вычетов.−∞Теор. f ( z ) <Mz1+δ, δ > 0 , z > R0 , Im z ≥ 0 ⇒]limR →∞∫ f ( z )dz = 0C R++∞k−∞j =1(v. p.) ∫ f ( x)dx = 2πi ∑ res[ f ( z ), z j ] ,Im z j > 091. Вычисление интегралов с помощью теоремы Жордана.Лемма f ( z ) ∈ C ( D) , где D = { z ≥ R0 > 0, Im z ≥ 0} и f ( z ) → 0 при z → ∞ , Im z ≥ 0 .Если a > 0 , то J = ∫ e iaz f ( z )dz → 0 при R → ∞ .C R+Теор. f ( z ) ∈ A( P+ = {Im z > 0}) и f ( z ) ∈ C{Im z ≥ 0} за исключением особых точекz1 , z 2 ,..., z n ∈ P+ . Пусть f ( z ) → 0 при z → ∞ , Im z ≥ 0 . Если a > 0 , то+∞n−∞k =1(v.

p.) I = (v. p.) ∫ e iax f ( z )dz = 2πi ∑ res[e iaz f ( z ), z k ].