термин (Теормин)

Вопросы к зачету по мат.анализу и ТФКП4 семестр.1. Теорема о непрерывности собственного интеграла зависящего от параметра.Ω = {x ∈ [a, b], y ∈ [c, d ]} , a = ϕ ( y ), b = ψ ( y )f ( x, y ) — определена на Ω и ∀y ∈ [c, d ] интегрируема по [ϕ ( y ),ψ ( y )]ψ ( y)F ( y) =∫ f ( x, y)dx — собственный интеграл, зависящий от параметраϕ ( y)Теор. f ( x, y ) ∈ C (Ω) , ϕ ( y ),ψ ( y ) ∈ C[c, d ] ⇒ F ( y ) ∈ C[c, d ]2. Теорема о предельном переходе в собственном интеграле зависящем от параметра.Теор. f ( x, y ) ∈ C (Ω) , ϕ ( y ),ψ ( y ) ∈ C[c, d ] ⇒y 0 ∈ (c, d ) : lim F ( y ) = F ( y 0 ) =y → y0ψ ( y0 )∫ f ( x, y0)dxϕ ( y0 )3.

Теорема о дифференцируемости собственного интеграла зависящего от параметра.Теор. ∃f y′ ( x, y ) ∈ C (Ω) , ϕ ( y ),ψ ( y ) ∈ D[c, d ] ⇒ F ( y ) ∈ D[c, d ] ,F ′( y ) =ψ ( y)∫ f ′ ( x, y)dx + f (ψ ( y), y)ψ ′( y) − f (ϕ ( y), y)ϕ ′( y)yϕ ( y)4. Теорема об интегрируемости собственного интеграла зависящего от параметра.bТеор.

f ( x, y ) ∈ C ({x ∈ [a, b], y ∈ [c, d ]}) ⇒ F ( y ) = ∫ f ( x, y )dx интегрируема на сегментеa[c, d ] . Кроме того, справедлива формулаd bb d⎡⎤⎡⎤==F(y)dyf(x,y)dxdyf(x,y)dy⎢⎥⎢⎥ dx∫c∫c ⎣∫a∫∫a ⎣c⎦⎦5. Определение несобственного интеграла зависящего от параметра.df ( x, y ) — интегрируема в [a,+∞) × [c, d ]+∞⇒∫ f ( x, y)dx = I ( y) — несобственный интеграл, зависящий от параметраa6. Определение равномерной сходимости интеграла зависящего от параметра.Несобственный интеграл I ( y ) сходится равномерно ∀y ∈ [c, d ] , если∀ε > 0 ∃A(ε ) ≥ a : ∀R ≥ A(ε ) ∀y ∈ [c, d ] ⇒+∞∫ f ( x, y)dx < εR7. Критерий Коши равномерной сходимости интеграла зависящего от параметра.Теор.

I ( y ) сходится равномерно ⇔∀ε > 0 ∃A(ε ) ≥ a : ∀R ′, R ′′ ≥ A ∀y ∈ [c, d ] ⇒R′′∫ f ( x, y)dx < εR′8. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости интеграла зависящего от параметра.Теор. Пусть выполнено:1) f ( x, y ) — интегрируема по [a, R] ∀R ≥ a ∀y ∈ [c, d ] ;2) ∃g ( x) : f ( x, y ) ≤ g ( x) ∀( x, y ) ∈ P∞ = [a,+∞) × [c, d ] ;+∞3)∫ g ( x)dx— сходится.a⇒ I ( y ) сходится равномерно.9. Признак Дини равномерной сходимости интеграла зависящего от параметра.Теор. Пусть выполнено:1) f ( x, y ) — непрерывна, f ( x, y ) ≥ 0 на P∞ ;2) I ( y ) — сходится ∀y ∈ [c, d ] ;3) I ( y ) — непрерывна ∀y ∈ [c, d ] .⇒ I ( y ) сходится равномерно.10. Признак Дирихле-Абеля равномерной сходимости интеграла зависящего от параметра.Теор.

Пусть выполнено:1) f ( x, y ) — интегрируема по [a, R] ∀R ≥ a ∀y ∈ [c, d ] ;x2) ∃M > 0 :∫ f (t , y)dt ≤ M , ∀( x, y) ∈ P ;∞a3) g (x) монотонно не возрастает, g ( x) → 0 при x → +∞ .+∞⇒∫ f ( x, y) g ( x)dxсходится равномерно.a11. Теорема о непрерывности несобственного интеграла зависящего от параметра.Теор. Пусть выполнено:1) f ( x, y ) — непрерывна в [a,+∞) × [c, d ] ;+∞2) I ( y ) =∫ f ( x, y)dx— равномерно сходится ∀y ∈ [c, d ] .a⇒ I ( y ) непрерывна.12.

Теорема о дифференцируемости несобственного интеграла зависящего от параметра.Теор. Пусть выполнено:1) f ( x, y ) ,∂f ( x, y )— непрерывны в [a,+∞) × [c, d ] ;∂y+∞2)∫ f ( x, y)dx— сходится ∀y ∈ [c, d ] ;a+∞3)∂f ( x, y )dx — сходится равномерно ∀y ∈ [c, d ] .∂ya∫⇒ ∃I ′( y ) =+∞∂f ( x, y )dx∂ya∫13. Формула Фруллани.+∞f ( x) ∈ C ,∫Af ( x)dx — имеет смысл ∀A > 0x+∞⇒∫0f (ax) − f (bx)bdx = f (0) ln , a > 0, b > 0xa14. Теорема об интегрируемости несобственного интеграла зависящего от параметра.+∞Теор. Пусть f ( x, y ) ∈ C{x ∈ [a,+∞), y ∈ [c, d ]} , I ( y ) =∫ f ( x, y)dxсходится равномерноadd+∞+∞dccaacна [c, d ] . Тогда ∃∫ I ( y )dy = ∫ dy ∫ f ( x, y )dx =∫ dx ∫ f ( x, y)dy .Теор.

Пусть f ( x, y ) ∈ C{x ∈ [a,+∞), y ∈ [c, d ]} , f ( x, y ) ≥ 0 , I ( y ) ∈ C[c, d ] . Тогдаdd+∞+∞dccaac∃∫ I ( y )dy = ∫ dy ∫ f ( x, y )dx =∫ dx ∫ f ( x, y)dy .Теор. Пусть f ( x, y ) ∈ C{x ∈ [a,+∞), y ∈ [c,+∞]} , f ( x, y ) ≥ 0 ,+∞I ( y) =∫+∞f ( x, y )dx ∈ C[c,+∞) , K ( x) =ac+∞+∞ac∫ K ( x)dx = ∫ I ( y)dy⇒при сходимости одного из них.15.

Интеграл Эйлера-Пуассона.+∞I = ∫ e − x dx =20π216. Интеграл Лапласа.+∞L=cos αx∫ 1+ x2dx =0π2e−α17. Интеграл Френеля.+∞∫ sin x0+∞2∫ f ( x, y)dy ∈ C[a,+∞)dx = ∫ cos x 2 dx =01 π2 218. Интеграл Дирихле.+∞sin αxπD(α ) = ∫dx = sgn αx2019. Определение Г-функции.+∞Γ( x) = ∫ t x −1e −t dt , x > 0020. Определение В-функции1Β( x, y ) = ∫ t x −1 (1 − t ) y −1 dt , x, y > 0021. Свойства Г-функции.1) Γ( x + 1) = xΓ( x)2) Γ(n) = (n − 1)!1 ⎞ (2n − 1)!!⎛3) Γ⎜ n + ⎟ =π2⎠2n⎝π4) Γ( x)Γ(1 − x) =sin πx22. Свойства В-функции.1) Β( x, y ) = Β( y, x)y2) Β( x, y + 1) =Β( x , y )x+ yx3) Β( x + 1, y ) =Β ( x, y )x+ yΓ ( x )Γ ( y )4) Β( x, y ) =Γ( x + y )23.

Теорема о разложении функции в ряд Фурье.Теор. Пусть f (x) , f ′(x) — кусочно-непрерывные функции на (−l , l ) . Пусть точкиf (ξ k + 0) + f (ξ k − 0)разрыва функции f (x) ξ k регулярны, т.е. f (ξ k ) =. Тогда2∞aπnxπnx ⎞⎛f ( x) = 0 + ∑ ⎜ a n cos+ bn sin⎟ — тригонометрический ряд Фурье,2 n =1 ⎝ll ⎠11πnxπnxdx , bn = ∫ f ( x) sindxf ( x) cos∫lll −ll −llгде a n =l24. Теорема о разложении четной функции в ряд Фурье.Если f (x) — четная функция. Тогда121πnxπnxπnxdx, , bn = ∫ f ( x) sindx = 0 иf ( x) cosdx = ∫ f ( x) cos∫lll −lll 0l −llan =lla0 ∞πnx+ ∑ a n cos2 n =1l25. Теорема о разложении нечетной функции в ряд Фурье.f ( x) =Если f (x) — нечетная функция.

Тогда121πnxπnxπnxdx = 0, , bn = ∫ f ( x) sindx иf ( x) cosdx = ∫ f ( x) sin∫lll −lll 0l −llan =ll∞f ( x) = ∑ bn sinπnxl26. Теорема о представлении функции интегралом Фурье.Теор. Пусть f (x) , f ′(x) — кусочно-непрерывные функции на R , точки разрыва f ( x)n =1+∞регулярны, f ( x) — интегрируема по Риману на ∀[a, b] ⊂ (−∞,+∞) ,∫f ( x) dx —−∞∞сходится. Тогда f (x) = ∫ (a (λ ) cos λx + b(λ ) sin λx )dλ — интеграл Фурье, где01+∞1+∞f ( x) sin λxdxπ −∫∞π −∫∞27. Теорема о представлении четной функции интегралом Фурье.a (λ ) =f ( x) cos λxdx , b(λ ) =∞Если f (x) — четная функция. Тогда b(λ ) = 0 , f ( x) = ∫ a (λ ) cos λxdλ .028. Теорема о представлении нечетной функции интегралом Фурье.∞Если f ( x) — нечетная функция.

Тогда a(λ ) = 0 , f ( x) = ∫ b(λ ) sin λxdλ .029. Определение комплексного числа.Комплексным числом называется упорядоченная пара действительных чисел z = ( x, y ) ,x = Re z , y = Im z , x, y ∈ R30. Определение суммы, произведения, частного комплексных чисел.z1 = ( x1 , y1 ), z 2 = ( x 2 , y 2 ) ⇒z1 + z 2 = ( x1 + x 2 , y1 + y 2 )z1 z 2 = ( x1 x 2 − y1 y 2 , x1 y 2 + x 2 y1 )z1 ⎛ x1 x 2 + y1 y 2 x 2 y1 − x1 y 2 ⎞⎟,=⎜z 2 ⎜⎝ x 22 + y 22x 22 + y 22 ⎟⎠31.

Определение комплексно-сопряженного числа.z = ( x, y ) ⇒ z = ( x, − y )2z = z , zz = z , z + z = 2 Re z, z − z = 2 Im z32. Тригонометрическая форма записи комплексного числа.ρ = z , ϕ = Arg z ⇒ z = ρ (cos ϕ + i sin ϕ )33. Экспоненциальная форма записи комплексного числа.ρ = z , ϕ = Arg z ⇒ z = ρe iϕ34. Формула Эйлера.e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ35. Формула Муавра.z n = ρ n (cos nϕ + i sin nϕ )36. Вычисление корня комплексного числа.ϕ + 2πkϕ + 2πk ⎞⎛z = n ρ ⎜ cos+ i sin⎟ , k = 0,1,..., n − 1nn ⎠⎝Определение внутренней точки комплексной области.Точка z называется внутренней точкой области, если существует ε -окрестность точкиz , все точки которой принадлежат этой области.Определение внешней точки комплексной области.z — внешняя точка, если она не принадлежит области вместе с некоторойокрестностью.Определение граничной точки комплексной области.z — граничная точка, если в любой ε -окрестности этой точки найдутся как внешние,так и внутренние точки.Определение односвязной области.Любые две точки области можно соединить ломанной, все точки которой принадлежатобласти.Определение замкнутой области.Область, содержащая все свои предельные точки.Определение предела функции комплексного переменного.A = lim f ( z ) ⇔ ∀ε > 0 ∃δ = δ (ε ) : z − z 0 < δ , z ≠ z 0 ⇒ f ( z ) − A < εn37.38.39.40.41.42.z → z043.

Определение непрерывной функции комплексного переменного.f (z ) непрерывна в точке z 0 , если lim f ( z ) = f ( z 0 )z → z044. Определение равномерно-непрерывной функции комплексного переменного.f (z ) равномерно непрерывна в G , если ∀ε > 0 ∃δ = δ (ε ) :∀z ′, z ′′ ∈ G : z ′ − z ′′ < δ ⇒ f ( z ′) − f ( z ′′) < ε45. Определение сходимости ряда комплексных чисел.n∞k =1k =1S n = ∑ a k — частичная сумма ряда ∑ a k . Ряд сходится, если ∃lim S nn →∞46.

Определение абсолютной сходимости ряда комплексных чисел.Ряд ∑ a k сходится абсолютно, если сходится ряд ∑ a k47. Определения элементарных функций комплексной переменного.Линейная функция: w = αz + β , α ≠ 0az + bДробно-линейная функция: w =cz + d1⎛1⎞Функция Жуковского: w = ⎜ z + ⎟2⎝z⎠nСтепенная функция: w = z , n ∈ N , n > 1Показательная функция: w = e zТригонометрические и гиперболические функции:e iz − e − ize iz + e − izsin z =cos z =22iz−zze +ee − e−zch z =sh z =22sin zcos ztg z =ctg z =cos zsin zsh zch zth z =cth z =ch zsh zФункция w = n z , n ∈ N , n > 1Логарифмическая функция: w = Ln z = ln z + i Arg z , z ≠ 0Обратные тригонометрические функции48.

Определение производной комплексной функции.Производная функции комплексной переменной f ′( z 0 ) = limz → z0f ( z) − f ( z0 )Δf= limΔz →0 Δzz − z0если он существует.49. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости комплексной функции.Теор. f (z ) дифференцируема в точке z 0 ⇔ Δf = AΔz + ε ( z 0 , Δz )Δz , где A = const ,ε ( z 0 , Δz ) → 0 при Δz → 0 .50. Геометрический смысл производной комплексной функции.f ′( z 0 ) ≠ 0 ⇒f ′( z 0 ) — коэффициент растяжения в точке z 0 под действием w = f (z ) ;Arg f ′( z 0 ) — угол поворота кривой, проходящей через точку z 0 , под действием w = f ( z ) .51.